wykl 9, Obwody i sygnały
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
x(t )
n
h
Stabilno´s´c
2.Ilustracjadefinicji
Rozpatrzymyrównaniejednowymiarowe˙x=f(x,t)
obwodówelektrycznych
t t
n n+1
x(t)
x(t)
x(0)
x(0)
ε
δ
Ilustracjastabilno´scirozwi˛azaniawukładziejednowymiarowym
t
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
1.Stabilno´s´crozwi˛azania
3.Stabilno´s´casymptotycznarozwi˛azania
x
n+1
1
Δ
α
n
Rozpatrywa´cb˛edziemyrównanie
Definicja0.0.2
Rozwi˛azanie
b
x(t)jestasymptotyczniestabilneje
˙
zelijeststabilne
orazzachodzi
x(t )
n+1
˙x=f(x,t),
któredlawarunkupocz˛atkowegox(0)majednoznacznerozwi˛azaniex(t)
" #
x(t )
n
h
lim
t!1
kx(t)−
b
x(t)k=0.
t t
n
n+1
Niech
b
x(0)ix(0)oznaczaj˛adwaró
˙
znewarunkipocz˛atkowe,któreprowadz˛a—odpo-
wiednio—dorozwi˛aza
´
n
b
x(t)orazx(t).
x(t)
x(t)
Definicja0.0.1
Rozwi˛azanie
b
x(t)jeststabilneje
˙
zelidladowolnego">0istnieje
takie>0,
˙
zeje
˙
zeli
x(0)
kx(0)−bx(0)k<tozachodzikx(t)−bx(t)k<"8t0.
x(0)
δ
t
Ilustracjastabilno´sciasymptotycznejrozwi˛azaniawukładziejednowymiarowym
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
^
^
x
^
^
4.Stabilno´s´cukładu
6.Sprowadzenierozwi˛azania
x
(0)
do
0
Stosuj˛acpodstawieniey=x−x
(0)
iuwzgl˛edniaj˛ac
˙
ze˙y=
˙xotrzymujem
ynowerównanie
x
n+1
x
n+1
Definicja0.0.3
UkładjeststabilnywsensieLagrange’a,je
˙
zeliwszystkiejegoroz-
wi˛azaniapozostaj˛aograniczone.Czylidlaka
˙
zdegowarunkupocz˛at-
kowegox(0)istniejestałaMtaka,
˙
ze
Δ
α
x
n
Δ α
x
n
x(t )
˙x=f(x))
n+1
˙y=f(y+x
(0)
))
x(t )
˙y=g(y)
x(t )
n+1
x(t )
n
n
^
δ
^
x(0)
x(t)
" #
^
δ
x(t)
h
h
kx(t)k<M8t0.
t t
n
n+1
t t
Ilustracjazamianyzmiennychdlarównaniajednowymiarowego
˙
x=f(x)
ipunkturównowagix
(0)
n
n+1
" #
1
.
Definicja0.0.4
Układjestcałkowiciestabilny,je
˙
zelika
˙
zdejegorozwi˛azaniespełnia
warunek
f(x)
g (x)
1
lim
t
kx(t)k=0.
x
(0)
1
x
(0)
y
(0)
2
2
x
y
y
(0)
y
(0)
1
x
(0)
=0
3
3
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
5.Stabilno´s´cpunkturównowagi
Rozwa
˙
zymyrównanieautonomiczne(opisuj˛aceukładbezwymusze´n):
7.Sprowadzenierozwi˛azania
x
(0)
do
0
c.d.
Dlanowegorównania
˙
y=g(y)zachodzi
˙x=f(x).
g(0)=f(0+x
(0)
)=f(x
(0)
)=0,
Definicja0.0.5
Punktemrównowaginazywamyrozwi˛azanierównaniaautonomicz-
negox
(0)
,spełniaj˛acewarunek
Zatemrozwi˛azaniey=0=y
(0)
jestpunktemrównowaginowegorównania.
" #
Badaniestabilno´scipunkturównowagix
(0)
równania˙x=f(x)mo
˙
zemyzast˛api´cbadaniem
stabilno´scipunkturównowagiy
(0)
=0równania˙y=g(y)
x
(0)
(0)=x
(0)
(t)8t0.
" #
Dlapunkturównowagizachodzi
˙x
(0)
=0
)
f(x
(0)
)=0
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
x(0)
^
!1
2
8.Punktrównowagistabilny
10.Punktrównowagi
stabilnywsensieLagrange’a
Rysunekprzedstawiatrajektorieukładu
opisanegorównaniem
Rysunekprzedstawiatrajektorieukładu
opisanegorównaniem
˙
y=
−510
−10−5
·y,
˙
y=
010
−100
·y,
przywarunkachpocz˛atkowych
przywarunkachpocz˛atkowych
y
1
(0)=[11]
T
,
y
2
(0)=[−11]
T
,
y
3
(0)=[−1−1]
T
,
y
4
(0)=[1−1]
T
.
y
1
(0)=[0,10,1]
T
,
y
2
(0)=[22]
T
,
y
3
(0)=[33]
T
,
y
4
(0)=[44]
T
.
Trajektorieukładuautonomicznego
(y
(0)
=0)ostabilnymasymptotycznie
punkcierównowagi
" #
Warto´sciwłasnemacierzywspółczynni-
ków
1
=−5+j10oraz
2
=−5−j10
Trajektorieukładuautonomicznego
(y
(0)
=0)stabilnegowsensie
Lagrange’a
" #
Warto´sciwłasnemacierzywspółczynni-
ków
1
=+j10oraz
2
=−j10
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
3
9.Punktrównowaginiestabilny
11.Badaniestabilno´sci
równaniazlinearyzowanego
Bada´cb˛edziemylokaln˛astabilno´s´cpunkturównowagix
(0)
równania˙y=f(y+x
(0)
)
Rysunekprzedstawiatrajektorieukładu
opisanegorównaniem
510
−105
˙y=
·y,
˙x=f(x)
)
˙y=f(y+x
(0)
)
)
˙y=g(y)
Rozwijamyfunkcj˛eg(y)wszeregTaylora,wpunkcierównowagiy=0równaniawramce
przywarunkachpocz˛atkowych
0
+
@g(y)
@y
y
1
(0)=[1010]
T
,
y
2
(0)=[−1010]
T
,
y
3
(0)=[−10−10]
T
,
y
4
(0)=[10−10]
T
.
g(y)=g(0)
|{z}
0
y+reszta.
Wdostateczniebliskimotoczeniupunktuy=0mo
˙
zemypomin˛a´creszt˛e
˙y=g(y)
@g(y)
@y
0
y=Ay
)
˙y=Ay
|{z}
A
" #
Warto´sciwłasnemacierzywspółczynni-
ków
1
=5+j10oraz
2
=5−j10
Trajektorieukładuautonomicznego
(y
(0)
=0)oniestabilnympunkcie
równowagi
" #
Twierdzenie:Je
˙
zeliwszystkiewarto´sciwłasnemacierzyAmaj˛aujemnecz˛e´scirze-
czywiste,topunktrównowagiy=0równania
˙
y=Ayjestasymptotyczniestabilny.
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
n n+1
12.Badaniestabilno´sci
równanianieliniowego
14.Przykład
Wniosek1.:Je˙zeliwszystkiewarto´sciwłasnemacierzy
Zbada´cstabilno´s´cpunktówrównowagi
równania
f(x)
y=0
maj˛aujemnecz˛e
´
scirzeczywiste,topunktrównowagiy=0równanianielinowego
˙y=g(y)jestasymptotyczniestabilny.
" #
Zauwa˙zmy,˙ze
A=
@g(y)
@y
˙x=f(x),
wiedz˛ac,˙zefunkcjaf(x)makształt
przedstawionynarysunku.
x
(0)
1
x
(0)
2
x
x
(0)
3
3
równania˙x=f(x)zaznaczononarysunkuzapo-
moc˛apunktówumieszczonychnaosix.
1
,···,x
(0)
2
3
5
y=0
y=0
=
@f
y+x
(0)
@y
4
@f
y+x
(0)
·
@
y+x
(0)
@(y)
x=x
(0)
A=
@g(y)
@y
=
@f(x)
@x
=
@
y
+
x
(0)
|{z}
@f(x)
@x
2.Obliczamymacierze
|{z}
1
x=x
(0)
1
x=x
(0)
2
x=x
(0)
3
x=x
(0)
y=0
A
1
=
@f(x)
>0,A
2
=
@f(x)
<0,A
3
=
@f(x)
@x
@x
@x
>0.
3.Okre´slamywarto´sciwłasne(
1
,···,
3
)macierzyA
1
,···,A
3
:
1
=A
1
,
2
=A
2
,
3
=A
3
.
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
13.Badaniestabilno´sci
równanianieliniowegoc.d.
Wniosek2.:Je˙zeliwszystkiewarto´sciwłasnemacierzy
@f(x)
@x
4.Punktyrównowagix
(0)
1
ix
(0)
3
s˛aniestabilne,a—x
(0)
2
jeststabilny.
x=x
(0)
maj˛aujemnecz˛e´scirzeczywiste,topunktrównowagix=x
(0)
równanianielinowego
˙x=f(x)jestasymptotyczniestabilny.
" #
PierwszametodaLapunowa
1.Wyznaczamypunktyrównowagix
(0)
1
,···,x
(0)
p
równaniaró
˙
zniczkowego˙x=f(x)roz-
wi˛azuj˛acrównaniealgebraicznef(x)=0.
2.Obliczamymacierze
x=x
(0)
1
x=x
(0)
p
A
1
=
@f(x)
@x
,···,A
p
=
@f(x)
@x
.
3.Okre´slamywarto´sciwłasne(
1,1
,···,
n,1
),···,(
1,p
,···,
n,p
)macierzyA
1
,···,A
p
.
4.Napodstawiewniosku2.ustalamystabilno´s´cpunktówrównowagix
(0)
1
,···,x
(0)
p
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
t t
1.Punktyrównowagix
(0)
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]