wykl mechanika budowli 02 praca sil wewnetrznych, studia, Budownctwo, Mechanika budowli
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymber
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J
ERZY
R
AKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 2
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Praca sił normalnych
Siła
normalna
przypomnienie (N):
Jest to siła działająca wzdłuż osi pręta, decydując o rozciąganiu bądź ściskaniu elementu.
Innymi słowy, to suma naprężeń normalnych na powierzchni całego przekroju:
N
=
A
dA
(2.1)
Rys. 1.
Umowne znakowanie siły normalnej
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
2
Korzystając ze wzoru (2.1) i prawa Hooke’a można napisać zależności dla wycinaka
pręta o długości ds:
ds
Rys. 2.
Przyrost długości pręta
N
=
N
dA
=
N
A
A
Gdzie
E- moduł Younga
A- pole powirzchni
przekroju
=
u
=
=
N
=
N
N
u
ds
N
E
E
A
dL
=
1
N
=
1
N
N
ds
N
2
2
E
A
Całkowita praca siły normalnej w pręcie o długości l:
1
l
N
2
L
=
∫
⋅
ds
(2.2)
N
2
E
A
0
Element pracy siły normalnej:
1
N
2
dL
N
=
ds
(2.3)
2
E
A
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
3
Praca momentów zginających
Moment zginający
przypomnienie: Def
∫
M
)
(
z
zdA
(2.4)
Jest to para sił równo oddalonych od siebie, których wynikiem działania jest ściskanie
części włókien i rozćiąganie pozostałych.:
M>0
rozciąganie dolnych włókien
M<0
rozciąganie górnych włókien
Rys. 3. Umowne znakowanie momentó zginających
W przekroju występują naprężenia stałe (od siły normalnej) i zmienne (od momentu
zginającego)
stałe
naprężenia
normalne
zmienne
naprężenia
od momentu
Rys. 4. Naprężenia stałe i zmienne
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
=
A
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
4
Naprężenia występujące od momentu zginającego decydują o ściskaniu części włókien i
rozciąganiu pozostałej części:
σ
z
= σ
Rys. 5. Naprężenia zmienne od momentu zginającego
Górna rzędna naprężenia od momentu σ
g
Górna rzędna naprężenia od momentu σ
d
Korzystając ze wzoru (2.4) i zależności geometrycznych (twierdzenie Talesa)
otrzymujemy:
z
=
z
=
z
(2.5)
h
h
d
d
d
d
M
=
zdA
=
d
z
2
dA
=
d
I
(2.6)
z
h
h
y
A
A d
d
Wobec tego:
d
=
h
z
d
(2.7)
M
=
z
I
y
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
5
Biegun
chwilowego
obrotu
promień
krzywizny
dx=ds
2
na wysokości z
Rys. 6. Nieskończenie mały element, poddany momentowi zginającemu
ρ- promień krzywizny,
d
ϕ
- połowa kąta zawartego między promieniami krzywizny,
=
ds
d
=
ds
(2.8)
d
Przyrost długości ds jest symetryczny względem promienia krzywizny, dlatego przyrośt
po jednej stronie wynosi:
=
d
ϕ
2
2
z
=
zd
(2.9)
d
=
z
Przyrost ds jest odkształceniem liniowym, dlatego korzystając z prawa Hooke’a można
zapisać relacje między przyrostem włókna a naprężeniami.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
[ Pobierz całość w formacie PDF ]