wykl mechanika budowli 20 drgania pretow pryzmatycznych cd, studia, Budownctwo, Mechanika budowli
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymper,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J
ERZY
R
AKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 13
Ugięcia belek drgających. Wzory transformacyjne belek o ciągłym
rozkładzie masy.
l
w-przemieszczenie dominujące:
(14.1)
Wprowadzenie warunków brzegowych prowadzi do jednorodnego układu
równań. Rozwiązanie nietrywialne istnieje dla det=0. Otrzymuje się
równanie charakterystyczne.
Przyjmujemy następującą funkcję określającą linię ugięcia belki:
x
w
(
x
,
t
)
=
w
(
x
)
T
(
)
w
(
x
)
=
A
sin
x
+
B
cos
x
+
Csh
x
+
Dsh
(14.2)
gdzie:
4
=
2
µ
,
µ
=
A
(14.3)
EI
µ-gęstość liniowa
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
t
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
2
Poszukamy rozwiązań równania (14.2) dla różnych warunków
brzegowych belek.
1.
Belka obustronnie utwierdzona.
1
w
(
0
=
0
,
2
w
(
l
)
=
0
3
dw
(
x
)
=
(
0
=
0
,
4
)
dw
(
x
)
=
(
l
)
=
0
(14.4)
dx
dx
x
=
0
x
=
l
Powyższe warunki podstawiamy do równania (14.2), którego wyznacznik
przyrównujemy do zera (równanie charakterystyczne):
0
ch
l
cos
l
1
=
(14.5)
Równanie to ma rozwiązania dla pewnych wartości:
l
=
4
73
=
22
,
37
EI
1
1
l
2
µ
l
=
7
853
=
61
,
67
EI
(14.6)
2
2
l
2
µ
l
=
10
,
996
=
120
,
91
EI
3
3
l
2
µ
Ogólnie można zapisać:
l
2
k
+
1
k
2
(14.7)
k
2
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
w
(
x
)
=
A
(sin
l
sh
l
)
sin
k
x
sh
k
x
cos
k
x
ch
k
x
(14.8)
k
k
k
k
sin
l
sh
l
cos
l
ch
l
k
k
k
k
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
3
Liczba miejsc zerowych funkcji w
k
(x) równa jest k-1
2.
Belka utwierdzona z podpartym wolnym końcem.
Po podstawieniu warunków brzegowych do wyrażenia (14.2) otrzymamy
wyznacznik:
tg
l
tgh
l
=
0
(14.9)
Rozwiązania powyższego równania wynoszą:
l
=
3
927
=
15
,
42
EI
1
1
l
2
µ
(14.10)
49
,
97
EI
l
=
7
069
=
2
2
l
2
µ
Ogólnie można zapisać:
l
4
k
+
1
k
3
(14.11)
k
4
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
w
(
x
)
=
A
sin
l
sin
k
x
sh
k
x
(14.12)
k
k
k
sin
l
sh
l
k
k
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
4
3.
Belka jednostronnie utwierdzona
Równanie charakterystyczne ma postać:
cos
l
ch
l
+
1
=
0
(14.13)
Rozwiązania równania (14.11):
l
=
1
875
=
3
52
EI
1
1
l
2
µ
(14.14)
22
,
03
EI
l
=
4
6941
=
2
2
l
2
µ
Zapis uogólniony:
l
2
k
1
k
2
(14.15)
k
2
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
w
(
x
)
=
A
(sin
l
+
sh
l
)
sin
k
x
sh
k
x
cos
k
x
ch
k
x
(14.16
)
k
k
k
k
sin
l
+
sh
l
cos
l
+
ch
l
k
k
k
k
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
5
Zadanie
Znaleźć częstości kołowe drgań własnych dla układu przedstawionego poniżej.
Funkcja lini ugięcia ma postać:
(
Różniczkujemy powyższą funkcję (dx)
x
)
=
A
sin
x
+
B
cos
x
+
Csh
x
+
Dch
x
w
'
(
x
)
=
A
cos
x
B
sin
x
+
C
ch
x
+
D
sh
x
w
'
'
(
x
)
=
A
2
sin
x
B
2
cos
x
+
C
2
sh
x
+
D
2
ch
x
=
Podstawiając warunki brzegowe otrzymujemy układ czterech równań jednorodnych:
'
'
'
(
x
)
A
3
cos
x
+
B
3
sin
x
+
C
3
ch
x
+
D
3
sh
x
0
=
B
+
D
0
=
A
+
C
0
=
A
cos
l
B
sin
l
+
C
ch
l
+
D
sh
l
0
=
A
3
cos
l
+
B
3
sin
l
+
C
3
ch
l
+
D
3
sh
l
Wstawiając dwa pierwsze równania do dwóch kolejnych, otrzymujemy układ dwóch
równań:
0
=
C
(
ch
l
cos
l
)
+
D
(
sin
l
+
sh
l
)
0
=
C
(
3
cos
l
+
3
ch
l
)
+
D
(
3
sh
l
3
sin
l
)
Układ równań posiada rozwiązanie nietrywialne gdy wyznacznik równy jest zeru.
(
ch
l
cos
l
)
(sin
l
+
sh
l
)
=
0
3
(cos
l
+
ch
l
)
3
(
sh
l
sin
l
)
α
Przeszukujemy powyższe równanie wstawiając wartości od 0, w celu otrzymania
rozwiązania.
l
sin
l
+
cos
l
sh
l
=
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
w
w
Otrzymujemy równanie charakterystyczne:
0
ch
[ Pobierz całość w formacie PDF ]