wykl mechanika budowli 07 twierdzenie o wzajemnosci, studia, Budownctwo, Mechanika budowli
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
T
WIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymber
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J
ERZY
R
AKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 7
TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH
TWIERDZENIE BETTIEGO (o wzajemności prac)
Niech na dowolny układ ramowy statycznie wyznaczalny lub niewyznaczalny, ale o
niepodatnych podporach i przy braku naprężeń termicznych, działa układ sił i
momentów skupionych. Obciążenia te rozdzielić można, w sposób dowolny, na dwie
grupy, z których jedną nazwiemy układem sił P
i
a drugą układem sił P
k
(przez „siły”
rozumieć należy zarówno siły uogólnione).
Sytuacja pierwsza A: Najpierw przykładamy siłę P
i
, a następnie siłę P
k
.
Obkaśnienia:
Punkt i - zestaw punktów poddany obserwacjom,
P
i
- układ sił (moment, siła skupiona itd.) działających na punkt i,
∆
jn
- przemieszczenie punktu j wywołane przyczyną w pkt n,
∆
jn
- przemieszczenie punktu j wywołane jednostkową przyczyną w pkt n,
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
T
WIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
2
Najpierw przykładamy grupę sił P
i
a następnie do tego stanu wprowadzamy grupę sił P
k
.
Praca sił zewnętrznych w sytuacji A:
L
A
=
1
P
v
z
2
i
i
(6.1)
1
P
i
1
P
k
L
A
=
P
+
P
+
P
z
2
i
ii
2
k
kk
i
ik
Sytuacja druga B: Najpierw przykładamy siłę P
k
, a następnie siłę P
i
Siły przykładamy podobnie jak w poprzednim wypadku z tą różnicą, że najpierw
przykładamy grupę sił P
k
, a następnie do tego stanu wprowadzamy grupę sił P
i
. Praca sił
zewnętrznych od sytuacji B:
1
P
k
1
P
B
L
=
P
+
P
+
P
(6.2)
z
2
k
kk
2
i
ki
k
ki
linia A=linia B
Zgodnie z zasadą superpozycji oraz faktem, że wartość pracy nie zależy od historii
(kolejności działania przyczyn) obciążeń można zapisać:
L
A
=
L
B
z
z
(6.3)
P
=
P
i
ik
k
ki
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
i
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
T
WIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
3
Twierdzenie:
Jeżeli na ustrój sprężysty działają dwa niezależne układy obciążeń, spełniające
równania równowagi to: układ sił P
i
wykonuje na przemieszczeniach
wywołanych układem sił P
k
taką samą pracę jak siły P
k
na przemieszczeniach
spowodowanych układem sił P
i
.
TWIERDZENIE MAXWELLA (o wzajemności przemieszczeń)
Rozpatrzmy dowolny układ statycznie wyznaczalny lub niewyznaczalny. Załóżmy
obciążenia:
Pierwszy typ obciążenia
: Niech na układ działa siła jednostkowa P
k
=1, skierowana w
kierunku przesunięcia δ
ki
.
Drugi typ obciążenia
: Na układ działa siła jednostkowa
P
i
=1, skierowana w kierunku przesunięcia δ
ik
.
Załóżmy, że podpory nie osiadają, a temperatura nie zmienia się, tak że mamy do
czynienia wyłącznie z naprężeniami wywołanymi obciążeniem zewnętrznym. Między
przesunięciami δ
ik
i δ
ki
zachodzi szczególny związek.
Przykłąd 1:
φ
Do danej belki przykładamy jednostkowe obciążenia; w punkcie „i” jednostkową siłę
P
i
=1 a w punkcie „k” jednostkowy moment M
k
=1. korzystając z wyżej przedstawionego
twierdzenia Bettiego
można zapisać zależność:
P
i
ik
=
M
k
(6.4)
Warto zauważyć, że kąt obrotu na którym pracuje moment to nic innego jak ∆
ki
.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
T
WIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
4
Przyjmując, że układy sił obciążających są jednostkowe, przemieszczenia zapisujemy
następująco:
ik
=
ik
(6.5)
=
=
ki
ki
Wykorzystując powyższe założenia otrzymamy:
P
i
ik
=
M
k
ki
(6.6)
δ =
ik
ki
Przykład 2:
Do kratownicy przyłożono siłę jednostkową w puncie 1, która wywołała
przemieszczenie w punkcie 2. Następnie do tej samej kratownicy przyłożono siłę
jednostkową w puncie 2, która wywołała przemieszczenie punktu 1. Zgodnie z
powyższym twierdzeniem przemieszczenia punktu 1 i 2 są sobie równe.
z
Twierdzenie:
Przemieszczenie uogólnione δ
ik
odpowiadające i-tej sile uogólnionej i
wywołane działaniem jednostkowej siły uogólnionej P
k
=1 jest równe
przemieszczeniu δ
ki
odpowiadającemu k-tej sile uogólnionej i
wywołanemu działaniem jednostkowej siły uogólnionej P
i
.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
T
WIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
5
TWIERDZENIE RAYLEIGHA (o wzajemności reakcji)
Ciało odkształcalne przedstawione na rysunku:
Zakładamy ogólny przypadek konstrukcji statycznie niewyznaczalnej. Przypuśćmy
wymuszenie kinematyczne u
i
po kierunku podpory „i” (rys 1). Następnie założymy
wymuszenie kinematyczne u
k
po kierunku podpory k (rys 2). Przemieszczenia podpór
przyjmijmy za jednostkowe. Zgodnie z twierdzeniem Bettiego można zapisać pracę
pierwszego układu :
R
u
+
R
'
(
I
)
0
+
R
'
(
II
)
0
+
R
0
=
R
0
+
R
'
(
I
)
0
+
R
'
(
II
)
0
+
R
u
(6.7)
ki
k
ii
ki
ii
i
Przemieszczenia można przyjąć jako jednostowe:
u
i
1
=
i
(6.8)
u
1
k
k
Podstawiając przyjęte przemieszczenia do wzoru (6.7) otrzymamy:
R
ki
1
k
=
R
ii
1
i
(6.9)
r
=
r
ki
ik
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
=
[ Pobierz całość w formacie PDF ]