wykl mechanika budowli 21 drgania wymuszone nietlumione, WSEiZ, Architektura i Urbanistyka, Mechanika budowli
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI BUDOWLI
D
YNAMIKA BUDOWLI
-
DRGANIA
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Łodygowski,
Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J
ERZY
R
AKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 12
1. DRGANIA WYMUSZONE, NIETŁUMIONE
W celu ułatwienia rozumowania oraz otrzymania „ładnego” wyniku,
zakładamy, że siła wymuszająca P(t) ma charakter oscylacyjny, co spowoduje,
że szukana funkcja przemieszczeń q(t) będzie również okresowa
q(t)
m
P(t)
Rys. 1.1 Rozpatrywany przypadek drgań wymuszonych – układ o jednym stopniu swo-
body, utwierdzony sprężyście. q(t) – współrzędna uogólniona.
Równanie ogólne drgań:
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI BUDOWLI
D
YNAMIKA BUDOWLI
-
DRGANIA
m
&
(
t
)
+ κ
q
(
t
)
=
P
(
t
)
(1.1)
Siła wymuszająca ma postać:
P
(1.2)
Gdyby miała ona inna postać „można” byłoby ją rozwinąć w nieskończony sze-
reg Fouriera, a rozwiązanie stanowiłaby suma poszczególnych rozwiązań przy-
toczonych poniżej.
Po podzieleniu przez m równanie zapisujemy:
(
t
)
=
P
1
sin
pt
+
P
2
cos
pt
=
P
sin(
pt
+
)
q
&
(
t
)
+
2
q
(
t
)
=
Q
sin(
pt
+
)
(1.3)
gdzie:
Q
=
P
,
2
=
χ
m
p – częstość kołowa drgań wymuszonych (częstość siły wymuszają-
cej)
ε – kąt fazowy
P – amplituda siły okresowej, maksymalna wartość siły wymuszającej
Szukając rozwiązania zastosujemy całkę ogólną wyprowadzoną na wcześniej-
szym wykładzie:
q
(
t
)
=
C
sin
t
+
C
cos
t
+
Q
sin(
pt
+
)
(1.4)
1
2
2
p
2
Można tak dobrać warunki początkowe aby wartości stałych całkowania C
1
i C
2
były równe 0. Rozwiązanie przyjmie zatem postać:
q
(
t
)
=
Q
sin(
pt
+
)
(1.5)
2
p
2
Przypadkiem szczególnym będzie sytuacja, kiedy ε=0, co nie wpłynie na ogólny
charakter analizy rozwiązania.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI BUDOWLI
D
YNAMIKA BUDOWLI
-
DRGANIA
q
(
t
)
=
ω
Q
sin
pt
(1.6)
2
p
2
gdzie:
Q
−
- jest liczbą
2
p
2
Q
2
(1.7)
q
(
t
)
=
sin
pt
p
2
1
2
Q
=
Q
=
Q
m
=
P
(1.6)
2
m
P – statyczna wartość siły
Κ – sztywność sprężyny
P
=
A
- amplituda statyczna
st
q
(
t
)
=
A
st
sin
pt
(1.7)
gdzie:
=
1
p
2
1
2
Jeżeli siła nie będzie się zmieniać w czasie, to q(t)=A
st
, jeżeli zacznie się zmie-
niać, to ta wartość ugięcia ulegnie zmianie w czasie. Wpływ na wielkość drgań
ma współczynnik
ν.
W szczególnym przypadku, kiedy p=ω, ugięcie może dojść do nieskończoności
przy tej samej sile. Ryzyko takie istnieje w przypadku „zgrania” częstotliwości.
Taką sytuację obrazuje wykres współczynnika ν w funkcji częstości kolowej
drgań p/ω, a zjawisko towarzyszące takiej sytuacji nazywamy
rezonansem
.
Obszar wykresu, w którym współczynnik ν przyjmuje niebezpieczne wartości
nazywamy
strefą rezonansu
.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI BUDOWLI
D
YNAMIKA BUDOWLI
-
DRGANIA
1
p
1
w
2
1
0,75
1
1,25
p
w
2
Rys. 1.2 Wykres zależności współczynnika ν ukazujący strefę rezonansu
Rezonans
– to zjawisko polegające na zbliżeniu częstości kołowej drgań wymu-
szenia do częstości kołowej drgań własnych. Bardzo ważne jest uwzględnienie
obliczeń dynamicznych dynamicznych budownictwie przemysłowym. Należ
zwrócić uwagę, aby częstość kołowa pracy urządzeń nie zbliżyła się do częstości
rezonansowej konstrukcji.
2. DRGANIA WYMUSZONE, TŁUMIONE
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI BUDOWLI
D
YNAMIKA BUDOWLI
-
DRGANIA
q(t)
m
P(t)
Rys. 2.1 Sytuacja analogiczna do przypadku drgań nietłumionych
Postępując analogicznie do drgań własnych widzimy, że całka ogólna obrazuje
drgania szybko zanikając. Nie będziemy zajmowali się tą częścią rozważań,
zakładamy, iż jest ona mało znacząca w przypadku wystąpienia tłumienia
(ośrodka tłumiącego ρ).
Zapisujemy równanie ogólne drgań:
m
&
(
t
)
+
Cq
(
t
)
+
q
(
t
)
=
P
sin(
pt
+
)
(2.1)
(2.2)
q
(
t
)
+
2
q
(
t
)
+
2
q
(
t
)
=
Q
sin(
pt
+
)
Całka szczególna przyjmie postać:
)
(
t
)
=
a
sin(
pt
+
,gdzie:
(2.3)
a
=
Q
(
2
+
p
2
)
2
+
4
2
p
2
Zauważmy, że w przypadku, gdy ρ=0, równanie przyjmie postać jak wcześniej.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
&
q
[ Pobierz całość w formacie PDF ]