wykl 7a, Obwody i sygnały
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2. Macierz
e
At
Definicja funkcji wykładniczej o wykładniku macierzowym:
X
1
(At)
n
n!
e
At
df
=
.
Rozwi azanie analityczne
i=0
równania stanu
" #
Pochodna wzgledem czasu macierzy e
At
wyraza sie wzorem:
d
dt
e
At
=Ae
At
=e
At
A.
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
1
3. Rozwi azanie równania stanu
1. Równanie stanu
Rozwazymy opis obwodu postaci:
Równanie stanu
˙x(t)=Ax(t)+b(t)
˙x(t)=Ax(t)+b(t)
gdzie:
pomnozymy lewostronnie przez e
−At
i wyrazy zx(t)umiescimy po lewej stronie
x(t)jest n-wymiarowym wektorem stanu,
| {z }
d
dt
=e
−At
b(t)
Aoznacza n×n-wymiarow a macierz współczynników,
e
−At
x(t)
b(t)jest n-wymiarowym wektorem wymusze n.
całkujemy stronami w przedziale od 0 do t
MacierzAi wektorb(t)stanowi a opis analizowanego obwodu.
" #
t
Z
d
d
t
Z
e
−A
x()
d=
e
−A
b()d.
0
0
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
e
−At
˙x(t)−e
−At
Ax(t)
4. Rozwi azania równania stanu
Wykonuj ac całkowanie lewej strony równosci dostajemy
t
Z
d
d
t
0
=e
−At
x(t)−e
−A0
x(0)=e
−At
x(t)−x(0).
e
−A
x()
d=e
−A
x()
0
6. Cechy układ zakodowane w macierzy
A
Równanie stanu opisuje zachowanie układu w stanie dynamicznym. Wobec tego mozna
oczekiwac, ze macierz współczynnikówArównania stanu ma zakodowane w sobie jakies
cechy opisywanego układu. W trakcie dalszych rozwaza n postaramy sie je ustalic.
Wprowadzaj ac otrzymany wynik do rozwazanej równosci mamy
t
Z
e
−At
x(t)−x(0)=
e
−A
b()d,
0
mnoz ac lewostronnie przez
e
−At
−1
=e
At
otrzymujemy wzór okreslaj acy analityczne
rozwi azanie równania stanu
Z
x(t)=e
At
x(0)+e
At
e
−A
b()d.
0
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
5. Podział rozwi azania na składowe
t
Z
2
x(t)=e
At
x(0)+e
At
e
−A
b()d.
7. Równanie charakterystyczne macierzy
0
Rozpatrzymy dwa przypadki szczególne:
Równanie
8
<
e
At
x(0) dlab(t)=0,
e
At
t
R
0
det(A−·1)=0
x(t)=
:
e
−A
b()d dlax(0)=0.
nazywa sie równaniem charakterystycznym macierzyA.
" #
Po rozwinieciu wzoru okreslaj acego wartosc wyznacznika dostajemy równanie wielomi-
anowe ze zmienn a
" #
Wynika st ad, ze składniki rozwi azania mozna nazwac nastepuj aco:
t
Z
n
+
n−1
n−1
+
1
+
0
=0, lub zwiezle d()=0.
x(t)= e
At
x(0)
+e
At
e
−A
b()d.
| {z }
rozwi azanie
przy zerowym
wymuszeniu
" #
Pierwiastki równania charakterystycznego
1
,···,
n
nazywaj a sie wartosciami własnymi
macierzyA.
| {z }
rozwi azanie
przy zerowych
warunkach
pocz atkowych
0
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
t
8. Przykład
Macierz współczynników w równaniu opisuj acym układ stanowi acy szeregowe
poł aczenia RLC ma macierz współczynnikówApostaci
10. Obliczanie elementów macierzy
e
At
−2100−1
10
6
A=
0
.
Wykorzystanie wzoru
t
Z
W celu wyznaczenia wartosci własnych obliczymy
x(t)=e
At
x(0)+e
At
e
−A
b()d
−2100−1
10
6
0
0
=0
det(A−·1)=det
−
=
−2100−−1
10
6
0
0
0−
wymaga znajomosci sposobu wyznaczania macierzy e
At
.
2100+
2
−10
6
=0 )
1
=−1370
1
s
,
2
=−729,8
1
s
.
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
9. Przykład
3
Macierz współczynników w równaniu opisuj acym układ stanowi acy szeregowe
poł aczenia RLC ma macierz współczynnikówApostaci
−
L
−
L
1
A=
C
0
.
11. Twierdzenie Cayley’a-Hamiltona
W celu wyznaczenia wartosci własnych obliczymy
det(A−1)=det
−
L
−
L
1
C
0
−
0
0
=
−
L
−−
L
1
C
0−
=0
" #
Twierdzenie(Cayley’a-Hamiltona):Kazda macierz kwadratowa spełnia swoje rów-
nanie charakterystyczne.
Po obliczeniu wyznacznika dodajemy
A
n
+
n−1
A
n−1
+
1
A+
0
=0, lub zwiezle d(A)=0.
q
L
2
L
+
1
LC
=0 )
1,2
=
−
L
−4
LC
.
2
" #
Wniosek:Z przykładu wynika, ze wartosci własne macierzy współczynnikówAs a takie
same jak bieguny transmitancji układu, okreslonej przy przyjeciu napiecia zródłowego
jako sygnału wejsciowego i dowolnej zmiennej stanu, jako sygnału wyjsciowego.
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
2
+
R
12. Funkcje
e
A
mozna wyrazic wielomianem
14. Obliczanie
e
At
W celu wyznaczenia funkcji e
At
W procesie rozwi azania liniowego równania stanu szczególne znaczenie ma funkcja e
A
.
Poznajmy jej własciwosci.
" #
Funkcja e
A
(Amacierz n×n), ma te własciwosc, ze e
A
mozna wyrazic za pomoc a wielo-
mianu
1. Obliczamy wartosci własne
1
,···,
n
macierzyA.
2. Obliczamy wartosci własne
1
t,···,
n
t macierzyAt.
3. Wyznaczamy n współczynników
n−1
(t),...,
1
(t),
0
(t)wielomianu ()z
układu układu równa n
8
<
:
e
A
=(A) gdzie (A)=
n−1
A
n−1
+···+
1
A+
0
.
e
1
t
=
n−1
(t)(
1
t)
n−1
+···+
1
(t)(
1
t)+
0
(t)
e
2
t
=
n−1
(t)(
2
t)
n−1
+···+
1
(t)(
2
t)+
0
(t)
···
e
n
t
=
n−1
(t)(
n
t)
n−1
+···+
1
(t)(
n
t)+
0
(t)
" #
Wielomian ()jest wielomianem stopnia n−1, przy czym dla wartosci własnych
macierzyA(
1
,···,
n
) zachodzi
e
k
=(
k
) dla k=1,2,...,n.
4. Do wyznaczenia funkcji e
At
stosujemy wielomian (At)
e
At
=(At)=
n−1
(t)(At)
n−1
+···+
1
(t)(At)+
0
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
4
13. Obliczanie
e
A
W celu wyznaczenia funkcji e
A
15. Analityczne rozwi azanie równania stanu
Gdy wiemy jak obliczyc
1. Obliczamy wartosci własne
1
,···,
n
macierzyA.
e
At
=(At)=
n−1
(t)(At)
n−1
+···+
1
(t)(At)+
0
2. Wyznaczamy n współczynników
n−1
,...,
1
,
0
wielomianu (t)z układu układu
równa n
8
<
mozemy zastosowac wzór
1
+···+
1
1
+
0
e
2
=
n−1
n−1
t
Z
2
+···+
1
2
+
0
···
e
n
=
n−1
n−1
x(t)=e
At
x(0)+e
At
e
−A
b()d,
:
n
+···+
1
n
+
0
0
który okresla rozwi azanie równania
3. Do wyznaczenia funkcji e
A
stosujemy wielomian (A)
˙x(t)=Ax(t)+b(t)
e
A
=(A)=
n−1
A
n−1
+···+
1
A+
0
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
e
1
=
n−1
n−1
16. Pytania
1. Wyprowadzic analityczne rozwi azanie równania stanu.
2. Jaki jest sens fizyczny obu składników ww wzorze okreslaj acym analityczne
rozwi azanie równania stanu.
3. Jaki sens fizyczny maj a wartosci własne macierzy współczynnikówArównania
stanu?
4. Opisac podany sposób wyznaczania macierzy e
At
.
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]