wykl 4, Obwody i sygnały
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1. Definicja
Transmitancj a H(s)układu,
modelowanego, za pomoc a schematu zastepczego SLS (skupiony, liniowy,
stacjonarny) oraz
Odpowiedzi systemów LTI
posiadaj acego jedno wejscie i jedno wyjscie,
Uj ecie wejscie-wyjscie
nazywamy stosunek transformaty sygnału wyjsciowego Y(s)do transformaty sygnału
wejsciowego X(s), przy zerowych warunkach pocz atkowych
H(s)=
Y(s)
X(s)
.
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
1
2. Przykład
Wyznaczyc transmitancje układu
Obwód dla transformat
R
u
(
0
)
s
R
I
(
s
)
1
sC
i
U
(
s
)
E
(
s
)
Opis układu
u
za pomoc a transmitancji
e
(
t
)
C
Mozemy wykorzystac wzór na dzielnik
napieciowy, poniewaz przy obliczaniu
transmitancji przyjmujemy u(0)=0
Dane:
e(t)=sygnał wejsciowy,
R= 10
6
,
C= 10
−6
F,
u(t)=sygnał wyjsciowy .
U(s)=E(s)
R+
sC
=
1
1
sC
s+1
, (1)
H(s)=
U(s)
E(s)
=
1
s+1
. (2)
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
3. Ogólna postac transmitancji
5. Zera i bieguny transmitancji
Transmitancja wyrazona przez współczynniki wielomianów licznika i mianownika.
" #
Im{s}
H(s)=
b
n
s
n
+b
n−1
s
n−1
+·s+b
1
s+b
0
a
m
s
m
+a
m−1
s
m−1
+·s+a
1
s+a
0
gdzie a
0
,...,a
m
i b
0
,...,b
n
s a stałymi współczynnikami o wartosciach rzeczywistych.
" #
Rozkład zer i biegunów
transmitancji
H(s)=
s
2
+2s+3
4s
3
+2s
2
+s+3
na płaszczyznie zmien-
nej zespolonej s.
Re
{s}
Transmitancja wyrazona przez zera i bieguny.
Q
k=1
(s−d
k
)
n
k
Q
k=1
(s−p
k
)
m
k
gdzie A jest stałym współczynnikiem, d
1
,...,d
N
s a rózni acymi sie zerami, a p
1
,...,p
M
— rózni acymi sie biegunami funkcji H(s). Współczynniki n
k
i m
k
okreslaj a odpowied-
nio krotnosci zera i bieguna o numerze k.
H(s)=A
Komendy MATLAB’a uzyte do otrzymania wykresu.
pzmap([123],[4213])
print-dbitmapd:\1\zer_bieg3.bmp;
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
2
4. Przykład
" #
Transmitancja wyrazona przez
współczynniki wielomianów licznika i
mianownika.
H(s)=
100s+100
1s
2
+110s+1000
wsp. licznika b=
100 100
6. Odpowiedz na dowolne pobudzenie
Układ przedstawiony na rysunku,
Zgodnie z definicj a transmitancji zachodzi
Transmitancja wyrazona przez zera i
bieguny.
R
U(s)=H(s)·E(s)
i
s+1
(s+10)(s+100)
H(s)=100
u
Uwzgledniaj ac, ze E(s)=L
1(t)
=
s
dostajemy
e
(
t
)
C
lub
U(s)=
1
s+1
·
1
s
=
k
1
s
+
k
2
wsp. mianownika a=
1 110 1000
s−(−1)
w którym e(t)jest sygnałem wejsciowym,
a u(t)— sygnałem wyjsciowym, ma trans-
mitancje
H(s)=100
h
ih
i
s+1
s−(−10)
s−(−100)
zera d=
−1
H(s)=
1
1
s(s+1)
s=1
bieguny p=
−10−100
stała k=100
s+1
.
Wyznaczyc odpowiedz u(t)na wejsciowy
e(t)=1(t).
k
1
=lim
s!0
1
s(s+1)
(s+1)=−1
k
2
=lim
s!−1
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
7. Odpowiedz na dowolne pobudzenie c.d.
8. Czy stosowanie
(t)
ma sens?
Po podstawieniu otrzymanych wyników mamy
Sygnału (t)nie mozna wytworzyc. Wobec tego trzeba rozwazyc czy jest własciwe uzy-
wanie go jako sygnału testowego?
" #
s+1
) u(t)=L
−1
1
=L
−1
1
s
−L
−1
1
s+1
s
−
1
s
−
1
s+1
u(t)=
1−e
−t
dla t>0
Zbadamy jak działaj a na układ SLS rózne funkcje aproksymuj ace
"
(t).
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
3
9. Impulsy
"
(t)
o jednakowym polu
" #
A=1 t=0,1
A=10 t=0,01
80mV
100mV
Opis układu
za pomoc a odpowiedzi impulsowej
Obserwacja: Odpowiedzi s a rózne.
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
U(s)=
1
10. Impulsy
"
(t)
o jednakowym polu
" #
A=10 t=0,01
12. Wnioski
A=100 t=0,001
Obserwacja: W przypadku rozwazanego układu
rózne impulsy prostok atne x(t)o stałym polu i czasach trwania t mniejszych niz
0,001s, uzyte jako sygnały wejsciowe, wywołuj a praktyczne takie same odpowiedzi
y(t),
przyblizone z duz a dokładnosci a wzorem
100mV
100mV
y(t)=(A·t)h(t)=0,1·1(t)e
−t
,
Obserwacja: Odpowiedzi s a rózne. Róznica jest mniejsza niz na poprzedniej planszy.
" #
Wniosek: Rózne impulsy prostok atne x(t), o takim samym polu (p=A·t=const) i
odpowiednio krótkich czasach trwania t, zastosowane jako sygnały wejsciowe w sys-
temie LTI, wywołuj a praktycznie takie same odpowiedzi jak sygnał p·(t).
" #
Wniosek: W przypadku stosowania jako sygnałów wejsciowych róznych, lecz odpowied-
nio krótkotrwałych, impulsów o polu p i dowolnym kształcie otrzymujemy praktycznie
takie same odpowiedzi, które z duz a dokładnosci a mozemy przyblizyc funkcj a p·h(t).
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
4
11. Impulsy
"
(t)
o jednakowym polu
A=100 t=0,001
A=1000 t=0,0001
100mV
100mV
13. Definicja
Odpowiedzi a impulsow a h(t)układu,
modelowanego schematem zastepczym SLS (skupiony, liniowy, stacjonarny) oraz
posiadaj acego jedno wejscie i jedno wyjscie,
nazywamy sygnał pojawiaj acy sie na wyjsciu
gdy wejscie pobudzane jest impulsem Diraca (t),
przy zerowych warunkach pocz atkowych.
Obserwacja: Odpowiedzi s a praktycznie takie same i mog a byc bardzo dokładnie
przyblizone funkcj a(A·t)h(t).
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
14. Przykład
16. Funkcja schodkowa
x
Wyznaczyc odpowiedz impulsow a
układu
Obwód dla transformat
u
(
0
)
s
R
x(t)
x(t)
R
I
(
s
)
1
sC
1
U
(
s
)
i
E
(
s
)
0
ε
2ε 3ε 4ε
t
0
t
u
t
1
t
2
t
3
t
4
e
(
t
)
C
Mozemy wykorzystac wzór na dziel-
nik napieciowy, poniewaz przy oblicza-
niu odpowiedzi impulsowej przyjmujemy
u(0)=0
" #
s
0
n
T
s
n
T
s
δ
(t- )
π
(t)
*
Dane:
e(t)=(t)L
X
1
sC
x(t)=
x(t
k
)"
"
(t−t
k
)
=E(s)=1,
R= 10
6
,
C= 10
−6
F,
u(t)= h(t).
e(t)
R+
sC
=
1
U(s)=E(s)
s+1
h(t)=L
−1
k=0
1
s−(−1)
=1(t)·e
−t
.
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
15. Zwi azek
H(s)
i
h(t)
17. Odpowiedz systemu ci agłego
5
W rozwazaniach wykorzystamy definicje transmitancji Y(s)=H(s)·X(s).
Jesli przyjmiemy
8
<
Niech h(t)oznacza odpowiedz systemu LTI na wymuszenie impulsowe (t).
X(s)=L
(t)
=1
(t)! h(t)
x(t)=(t) to otrzymamy
Y(s)
x(t)=(t)
=L
:
h(t)
.
Niech h
"
(t)oznacza odpowiedz systemu LTI na wymuszenie funkcj a aproksymuj ac a
impuls
"
(t).
Wówczas z transmitancji definicji wynika
Y(s)
x(t)=(t)
=H(s)·1.
Obliczaj ac transformate odwrotn a dostajemy
L
−1
"
(t)! h
"
(t)
x(t)=(t)
=h(t)=L
−1
Wówczas, poniewaz system jest niezmienny w czasie, h
"
(t−t
k
)oznaczac bedzie
odpowiedz systemu LTI na wymuszenie funkcj a aproksymuj ac a impuls
"
(t−t
k
).
Y(s)
H(s)
.
"
(t−t
k
)! h
"
(t−t
k
)
" #
Z liniowosci systemy wynika, ze wzrost sygnału wejsciowego x(t
k
)" razy spowoduje
taki sam wzrost odpowiedzi.
h(t)=L
−1
H(s)
H(s)=L
h(t)
x(t
k
)"
"
(t−t
k
)! x(t
k
)"h
"
(t−t
k
)
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
•
First
•
Prev
•
Next
•
Last
•
GoBack
•
FullScreen
•
Close
•
Quit
T
[ Pobierz całość w formacie PDF ]