z06-Drgania, SiMR sem1, fizyka0
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Drgania harmoniczne
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Drgania harmoniczne
O oscylatorze harmonicznym możemy mówić wtedy, kiedy siła hamująca działa proporcjonalnie do wychylenia z położenia
równowagi. Równanie ruchu ma wtedy postać:
2
xd
2
0
x
0
2
dt
Pierwszy wyraz to zapisane różniczkowo przyśpieszenie ciała a. W drugim wyrazie występuje wychylenie x oraz częstość
drgań własnych
0
. Rozwiązanie takiego równania ma postać:
Ax
0
t
sin
2
T
gdzie f – faza początkowa. Są to drgania okresowe, a okres drgań wynosi
0
Przykładem drgań harmonicznych jest ruch odważnika o masie m, zaczepionego do nieważkiej
sprężyny o współczynniku sprężystości k. Równanie ruchu ma postać:
2
d
m
x
ma
kx
kx
gdzie x- wydłużenie sprężyny
2
dt
Porównując to równanie z równaniem oscylatora
harmonicznego otrzymujemy
częstość drgań własnych:
k
0
m
Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym
Z równania ruchu harmonicznego można wyznaczyć zależność prędkości od czasu
x
t
A
sin
dx
v
A
cos
t
dt
…a także zależność przyspieszenia od czasu
dv
a
2
A
sin
t
dt
przyspieszenie
prędkość
wychylenie
t
0
2
4
6
8
Zależność wychylenia, prędkości i przyspieszenia od czasu
Energia w ruchu harmonicznym
Energię potencjalną w ruchu harmonicznym wyznaczamy, obliczając pracę, jaką trzeba wykonać, aby przesunąć ciało
na odległość x z położenia równowagi. Przy przesuwaniu o odcinek dx wykonamy pracę:
dW
Fdx
x
x
2
kx
2
W
Fdx
kx
dx
Całkowita praca jest równa:
0
0
kx
2
Energia potencjalna w ruchu harmonicznym:
E
p
2
2
2
2
mv
m
A
cos
t
Energia kinetyczna w ruchu harmonicznym:
E
k
2
2
Energia całkowita w ruchu harmonicznym:
2
2
2
2
2
2
2
2
kx
mv
kA
sin
t
m
A
cos
t
kA
EE
k
E
c
p
2
2
2
2
2
kA
2
Energia całkowita nie zależy od czasu –jest stała
2
E
c
E
2
kA
E
c
2
Zależność energii kinetycznej i potencjalnej od wychylenia
2
kx
E
p
2
mv
2
E
k
2
0
x
Wahadło matematyczne i fizyczne
Równanie ruchu dla wahadła matematycznego ma postać:
ma
mg
sin
Po przeliczeniu przyśpieszenia liniowego na kątowe, oraz zastosowaniu przybliżenia sin a =
a dla małych kątów, otrzymujemy:
g
gdzie
– przyśpieszenie kątowe, lub
w zapisie różniczkowym:
2
d
g
l
0
0
2
l
dt
Jest to równanie oscylatora harmonicznego, którego okres i częstotliwość wynoszą
l
g
T
2
l
g
Podobne obliczenia można przeprowadzić dla bryły sztywnej, zawieszonej na osi
przechodzącej powyżej swojego środka masy. Otrzymujemy:
I
mgd
0
gdzie I – moment bezwładności bryły względem wybranej
osi, m – masa bryły, g – przyśpieszenie ziemskie, d –
odległość od wybranej osi do środka masy bryły.
I
T
2
mgd
[ Pobierz całość w formacie PDF ]