wyznaczniki(1), Matematyka sem I wyższa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wyznacznik macierzy
Uwaga
Wyznacznik definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych:

"
"
# #
"
11
12
1n

A=


21
22
2n

- macierz A
a, a, ,a





n1
n2
nn
"
"
# #
"
11
12
1n
det A
=
21
22
2n
- wyznacznik macierzy A
a, a, ,a
n1
n2
nn
Wyznacznik macierzy A to wyznacznik n wektorów, które stanowią
kolumny tej macierzy.
Czyli:
∑
detA= ε(δ)a
1σ(1)
â‹… â‹…
... a
nσ(n)
σ S
∈
n
Własności wyznacznika macierzy:
1)
Wyznacznik macierzy to liczba przyporządkowana macierzy (różne
macierze mogą mieć ten sam wyznacznik).
A
=
 
11
−
detA=
11
−
=
5

 

23 23
100 100
0 5 0 detB= 0 5 0 5
001


B
=


=


001


2)
Wyznacznik macierzy A
T
jest równy wyznacznikowi macierzy A.
detA
T
=detA
3)
Możemy dodać wyznaczniki tego samego stopnia z dwóch macierzy
nie licząc ich. Można to zrobić
⇔
macierze różnią się dokładnie
jednym wierszem (dokładnie jedną kolumną).
Wówczas:
a
11
" " " " " "
a +b
1i
1i
a
1n
a
11
a
1i
a
1n
a
11
b
1i
a
a
1n
a
21
a +b
2i
2i
a
2n
=
a
21
a
2i
a
2n
+
a
21
b
2i
#
#
# # # #
" " " " " "
a
n1
a +b
ni
ni
a
nn
a
n1
a
ni
a
nn
a
n1
b
ni
a
nn
=
n
4)
Aby pomnożyć wyznacznik przez liczbę (nie licząc go) mnożymy
1 wiersz (albo 1 kolumnÄ™) wyznacznika przez tÄ… liczbÄ™.
det (x ,x ,...,x +x ',...,x ) det (x ,x ,...,x ,...,x )+ det (x ,x ,...,x ',...,x )
1
2
i
i
n
1
2
i
n
1
2
i
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
a, a, ,a
a, a, ,a


a, a, ,a
a, a, ,a

2n
a
11
"" " "
1i
a αa αa αa
1n
11
1i
1n
α
a
21
a
2i
a
2n
=
a
21
a
2i
a
#
2n
#
# #
"" " "
a
n1
a
ni
a
nn
a
n1
a
ni
a
nn
5)
Jeżeli kolumny (albo wiersze) (jako wektory) są liniowo zależne to
wyznacznik jest równy 0.
6)
Zamiana kolejności kolumn albo wierszy powoduje odpowiednią
zmianÄ™ znaku wyznacznika.
7)
Wartość wyznacznika nie zmieni się jeżeli do wiersza (albo kolumny)
dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (albo kolumn).
8)
Można uzasadnić, że dla macierzy A
n
×
n
i B
n
×
n
zachodzi:
det(A
â‹…
B)=detA
â‹…
detB
9)
Z: A
n
×
n
– nieosobliwa
T: detA
â‰
0
∧
detA
-1
=
det A
1
Def 1.
a
11
""
a
1i
a
a
1n
det A=
a
21
a
2i
#
- wyznacznik macierzy A
# %
""
a
n1
a
ni
a
nn
Podwyznacznikiem macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej
z macierzy A przez skreślenie w tej macierzy pewnej liczby wierszy i tej
samej ilości kolumn.
Def 2.
Minorem M
ij
macierzy A przynależnym elementowi a
ij
nazywamy
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i – tego
wiersza oraz j-tej kolumny.
Def 3.
Dopełnieniem algebraicznym elementu a
ij
nazywamy minor M
ij
pomnożony przez (-1)
i+j
, czyli A
ij
=(-1)
i+j
M
ij
.
Twierdzenie 1
(Laplace’a)
Z: A
n
×
n
=[a
ij
] – macierz
T: Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów
dowolnie wybranego wiersza (albo kolumny) przez ich dopełnienia
algebraiczne.
detA = a
1j
â‹…
A
1j
+a
2j
â‹…
A
2j
+...+a
nj
â‹…
A
nj
(jest to rozwinięcie względem j-tejkolumny)
detA = a
i1
â‹…
A
i1
+a
i2
â‹…
A
i2
+…+a
in
â‹…
A
in
(jest to rozwinięcie względem i-tego wiersza)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
a
2n
Przykład 1
11 0 0
010
110
0110
0( 1) 0 0 1 1( 1) 0 0 1
00 1 1
=⋅− ⋅ +⋅− ⋅ +
13
+
23
101
101
10 0 1
110
110
1 ( 1)
+⋅− ⋅
33
+
0 1 0 0 ( 1)
+⋅− ⋅
43
+
0 1 0 0 1 1 0 0
= −++ =
101
001
Przykład 2
a 0 00 0
11
a 0 00 0
22
a 0 00 0
22
a a 00 0
21
22
a a 00 0
32
33
a a 00 0
32
33
# %%# # %%#
0
=−
a ( 1)
11
0
=−⋅ −
a ( 1) a ( 1)
11
11
# %%#
0
11
11
22
a
i1
"%
a
ii
0
a
i1
"%
a
ii
0
a
i1
"%
a
ii
0
aa
n1
n2
""
a
nn
aa
n1
n2
""
a
aa
n1
n2
""
a
=â‹… â‹… â‹…
a a ... a
11
22
nn
W szczególności dla macierzy diagonalnej:
a 0000
0a 0 0 0
11
22
# %#
"
0
0
=â‹… â‹… â‹…
a a ... a
11
22
nn
0
0 a
ii
0
00
"
0a
nn
Przykład 3
Rozwiązać równanie:
x111
1x11
0
11x1
111x
=
Liczymy wyznacznik:
x111 x 1 0 0 1
1 0 0 1
1x11 0 x 1 0 1
=
=
(x-1)
3
0 1 0 1
=
(x-1) (x+3)
3
â‹…
11x1 0 0 x 11
0 0 1 1
111x 1 x1 x1 xx
−−−
1 1 1x+3
Podstawiając do równania otrzymujemy:
(x-1)
3
(x+3)=0
⇔
x=1
∨
x=-3
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy
+
+
+
+
nn
nn
Twierdzenie 2
Z: A
m
×
n
, det A
â‰
0
T: A – jest macierzą nieosobliwą i
â‹…
Gdzie A
D
jest macierzą dopełnień algebraicznych wszystkich elementów
macierzy A
A= (A)
-1
1
detA
D T

A
"
# %#
"
11
A
1n

A=




A
A

n1
nn

Wniosek:
A
n
×
n
– jest macierzą nieosobliwą
⇔
det A
â‰
0.
Przykład 4
101
A= -1 1 0
011








101
detA= -1 1 0 1 1 2
011
=+=
- macierz jest nieosobliwa
AAA
A=A A A
AAA

11
12
13

D

21
22
23




31
32
33

A( )
=−
11
+
10
=1
A( )
= −
21
01
−
= −
1
11
11
21
11
A( )
=−
12
+
−
10
=1
A( )
= −
22
11
−
=
1
12
01
22
01
A( )
=−
13
+
−
11
=−1
A( )
= −
23
10
= −
1
13
01
23
01
A( )
=−
31
01
−
=1
31
10
A( )
=−
32
11
−
=
1
32
−
10
A( )
=−
33
10
=
1
33
−
11
Czyli:
11 1
A1 1
111

−


111
−





D
=− −

1

(A )
=

1 1 1
111


−−


−−





Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy


D




+
+
+
+
+
+
DT
 
1
−
1
1
2
1
2


2
2

A= (A)
-1
1
D T
=

1
1
2
2
2



−−
1
1
1


2
2
2
Uwaga
Lepiej jest stosować metodę macierzy odwrotnej jako macierzy
odwzorowania odwrotnego.
Czyli:

10 1 x y
-1 1 0 x y
011 x y
   
1
1




â‹… =

   
1
2

   

   
1
3

x -x y
-x x y
x x y
1
3
=
1


+ =
1
2
2

2
+=
3
3
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
1
=− − +
=
=− −
y
1
y
1
y

1
−
1
1
2

1
2
1
2
2
2
3
2
2


x
1
y +y +y
1
1
Czyli:
A
-1
=

1
1
1

2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
x
1
y
1
y +
1
y

−−
1
1
1

3
2
1
2
2
2
3
2
2
2
Def 4.

aa
11
12
"
"
a
1m

aa
a


Z:
A=
21
22
2m
- macierz
nm
×

#



""
Podwyznacznikiem (minorem) macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
utworzonej z macierzy A przez skreślenie w niej pewnej liczby wierszy
(i kolumn) w taki sposób aby otrzymana macierz była kwadratowa.
det B
k
×
k
– minor stopnia k wyjęty z macierzy A.
Np.

a
a

n1
nm
12 146
A= -1 0 2 -1 3
51 141








12 1
-1 0 2
51 1
- minor stopnia 3 wyjęty z macierzy A
Twierdzenie 5
Z: A
n
×
m
– macierz
T: Rząd macierzy A jest równy największemu ze stopni minorów
niezerowych.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 6
Część 10 – Wyznaczniki macierzy

   
x






[ Pobierz całość w formacie PDF ]