zadania funkcje dwóch zmiennych 2, Gospodarka Przestrzenna PW, matematyka, zadania na zajęciach
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Matematyka, GiK PWSemestr letni 2011/128. Funkcje dwóch zmiennych cd.1. Na płaszczyźnie znaleźć punkty, w których gradient funkcjif(x,y)= lnx+1yjest równy wektorowiu= 1,−16. Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu9funkcjifw punkcie(x, y) = (1, 1).y2. Znaleźć gradientffunkcjif(x,y)= lnx. Obliczyć kąt między gradientami1tej funkcji w punktach(x1, y1) = (1, 2)i(x2, y2) =2,1.43. Znaleźć trzy pierwsze wyrazy i resztę rozwinięcia w szereg:(a) Maclaurina funkcjif(x,y)=exsiny,(b) Taylora funkcjif(x,y)=ex+yw otoczeniu punktu(−1, 1).4. Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji:(a)f(x,y)=x3+ 3xy2−15x−12y,x >0,y >0,(b)f(x,y)=ex−y(x2−2y2),(c)f(x,y)=x2+xy+y2−4 lnx−10 lny,(d)f(x,y, z)=x2+y2+z2+ 2x + 4y−6z,(e)f(x,y, z)=xyz(4−x−y−z), x >0,y >0,z >0.5. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanejy=y(x)określonej równaniem:(a)x2−xy−y2+ 5 = 0,(b)x3+y3−6xy = 0.6. Przyjmując nowe zmienneuiv,przekształcić równanie:(a)∂z∂x=∂z,∂yz=f(x,y), u=x+y, v=x−y,y∂z∂z(b)x∂x+y∂y=z, z=f(x,y), u=x, v=x.7. Wyznaczyć macierz Jacobiego i jakobian funkcji wektorowych:(a)F: (r,φ)→(x,y),gdziex= arccosφ, y= 1 +brsinφ,(r,φ)∈[0,∞) ×[0, 2π),y(b)G: (x,y)→(u,v),gdzieu=x,v=xy,(x,y)∈(0,∞)2.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]