wyklad ryzyko, ekonomia matematyczna, wyklady notatki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prof. Teresa Kamińska
Teoria ryzyka
Teoria ryzyka
Ryzyko oznacza możliwość osiągnięcia wartości końcowej kapitału (inwestycji,
instrumentu finansowego) różniącej się od wartości oczekiwanej.
Działanie w warunkach ryzyka, dotyczy podejmowania decyzji odnośnie do zdarzeń, które
mogą wystąpić z określonym prawdopodobieństwem.
Najprecyzyjniej
ryzyko
definiuje się jako
zmienną losową, czyli ryzyko p - jest
prawdopodobieństwem wystąpienia wartości zmiennej x większej od pewnej ustalonej
apriorycznie wartości granicznej x
0
. Zatem p = f (x >x
0
)
. Trudność polega na tym, że funkcja
f
jest na ogół nieznana, więc należy posługiwać się jej szacunkiem
f^
. Tu pojawia się
subiektywizm związany z wyborem metody estymacji i związanych z nią przyjmowanych
założeń wstępnych, często nie poddających się empirycznej weryfikacji. Dlatego przyjęto do
określania ryzyka parametr jego rozkładu, a mianowicie wariancję δ
2
, a dokładnie jej
oszacowanie
s
2
. Jest to nie tylko uproszczenie (parametr rozkładu zamiast całego rozkładu),
lecz także subiektywizm związany z przyjętą metodą estymacji statystycznej parametrów
rozkładu zmiennej. Dlatego dla precyzyjnego szacowania ryzyka poszukuje się takich
rozkładów, które można zweryfikować empirycznie, przyjmując bardzo wysokie wymagania
dotyczące precyzji oszacowań (dość złożony aparat matematyczny).
Zatem o tym, że ktoś działa w warunkach ryzyka, można mówić wtedy, kiedy jego
decyzja dotyczy zdarzeń, które mogą wystąpić z określonym prawdopodobieństwem. Jest ono
liczbą z przedziału [0,1], która pokazuje, ile razy dane zdarzenie wystąpi, jeśli określona
sytuacja powtórzy się wielokrotnie:
m
p
= , gdzie: p – prawdopodobieństwo wystąpienia
badanego zdarzenia, m – liczba powtórzeń zdarzenia, M – liczba prób.
Niepewność
jest czymś innym niż ryzyko. Problem niepewności występuje w
rzeczywistości ekonomicznej, kiedy podejmujący decyzję nie znają konsekwencji swojego
wyboru. Niepewność w działalności ekonomicznej klasyfikuje się na ogół według źródła
pochodzenia, które może wynikać ze:
⇒
zmiany preferencji – w wypadku inwestycji - użytkowników, w rezultacie wpływające
na strukturalne zmiany popytu w różnych gałęziach;
⇒
zmian w postępie technicznym (bardziej prawdopodobne w przemysłach
komplementarnych, mniej w metodach tworzenia infrastruktury);
⇒
indywidualnej reakcji użytkowników na konieczność przystosowania się do zmian
wywołanych rozwojem infrastruktury;
⇒
działania sił przyrody niemożliwych do przewidzenia, a nawet do rozpoznania.
Niepewność interpretuje się niekiedy przez wprowadzenie czynnika czasu, dla którego
przyszłość nie jest znana, więc o wystąpieniu zdarzeń lub zjawisk można twierdzić z
określonym prawdopodobieństwem
1
. Dla całego szeregu przewidywanych skutków zdarzeń
nie zawsze jest możliwe określenie prawdopodobieństwa wystąpienia każdego z nich. Gdzie
można określić którekolwiek z trzech rodzajów prawdopodobieństwa: matematyczne,
statystyczne lub szacunkowe, tam występuje ryzyko. Inaczej mówiąc, ryzyko definiuje się w
kontekście znajomości rozkładu prawdopodobieństwa. Miary prawdopodobieństwa są
jednocześnie miarami ryzyka. Prawdopodobieństwo zdarzenia zawiera się
0
≤
p
≤
1
; jeśli
prawdopodobieństwo zdarzenia
W
wynosi
p
, to ryzyko jego niewystąpienia wynosi
(1-p).
1
Zob. J. Hirshleifer: Investment Decision under Uncertainty - Choice-Theoretic Approaches, „The Quarterly
Journal of Economics” vol. LXXIX, no.4/1965 i E. Smaga: Ryzyko i zwrot w inwestycjach, Fundacja Rozwoju
Rachunkowości w Polsce, Warszawa 1995, s. 8-9.
1
M
Prof. Teresa Kamińska
Teoria ryzyka
Jeśli niemożliwe jest określenie prawdopodobieństwa jakiegoś zdarzenia, to działalność
odbywa się w warunkach niepewności. Niejednokrotnie w procesie podejmowania decyzji
można oszacować wielkości zdarzeń (stopa zwrotu z inwestycji w różnych wariantach
projektu), ale niemożliwe jest przypisanie im prawdopodobieństwa. Ryzyko można określić
jako mierzalną niepewność. W literaturze spotyka się zamienne stosowanie obu pojęć.
Zachowania w przypadku ryzyka i niepewności
Grami nazywa się sytuacje, kiedy wyniki o pewnej wartości pieniężnej pojawiają się z różnym
prawdopodobieństwem
.
Zachowanie konsumenta w przypadku ryzyka,
który chce wydać dodatkową jednostkę
pieniądza na jedno z dwóch dóbr: apaszkę lub buty. Kupując może, w każdym przypadku,
trafić na dobro bez wad albo na dobro z wadami ukrytymi. Jeśli umie wycenić korzyści w
pieniądzu, to można określić korzyści, jakie czerpie z zakupu towaru bez wad oraz z zakupu
bubla.
Dobro Bez wad Bubel
apaszki 6 -3
buty 2 -1
Który zakup jest korzystniejszy? Dla konsumenta, dokonującego wielokrotnie tego
typu zakupów w przeszłości oznacza to udział w grze, w której nagrodami i karami są
wypłaty związane z nabywanym dobrem występujące z określonym prawdopodobieństwem.
Dobro p
1
(bez wad) p
2
(bubel)
apaszki 0,6 0,4
buty 0,5 0,5
Po wyeliminowaniu dodatkowego zdarzenia mogącego zakłócić podjęcie decyzji (np.
kradzież pieniędzy), za optymalny należy uznać wybór maksymalizujący korzyści z zakupu.
Ponieważ nie zna z góry wartości wypłaty musi poznać średnią korzyść z zakupu obu dóbr.
Stąd pojawia się wartość oczekiwana z gry, czyli średnia wypłata uzyskiwana przy
wielokrotnym powtarzaniu gry:
EV (w
1
, w
2
, p
1
, p
2
) = p
1
·w
1
+ p
2
·w
2
,
gdzie: w
1
i w
2
– wypłaty; p
1
, p
2
– prawdopodobieństwo, z którym wystąpi wypłata.
W powyższym przykładzie: EV
apaszek
= 0,6·6 + 0,4·(-3) = 2,4
EV
butów
= 0,5·2 + 0,5·(-1) = 0,5.
Jeśli konsument chciałby maksymalizować wartość oczekiwaną
, to powinien kupić
apaszki.
Zachowanie konsumenta w przypadku niepewności
oznacza dłuższą drogę do
określenia racjonalnego zachowania, ponieważ nie zna prawdopodobieństw wystąpienia
zdarzeń. Kryteria, według których może dokonywać wyboru są różne.
2
Prof. Teresa Kamińska
Teoria ryzyka
1.
przyjęcie jednakowego prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń.
Wówczas:
Dobro
p
1
p
2
apaszki
0,5
0,5
buty
0,5
0,5
EV
apaszek
= 0,5·6 + 0,5· (-3) = 1,5
EV
butów
= 0,5·2 + 0,5·(-1) = 0,5.
Zmiana wartości oczekiwanej nie wpływa jednak na zmianę preferencji zakupów,
gdyż konsument kierujący się maksymalizacją korzyści wybierze apaszki.
2.
przyporządkowanie poszczególnym zdarzeniom własnych wag konsumenta.
Jeśli konsument nie lubi tracić, to powinien przywiązać większą wagę do
zjawisk niekorzystnych. Wówczas:
Dobro
p
1
p
2
apaszki
0,2
0,8
buty
0,2
0,8
EV
apaszek
= 0,2·6 + 0,8·(-3) = -1,2
EV
butów
= 0,2·2 + 0,8·(-1) = -0,4.
W tym wypadku konsument zyska więcej kupując buty. Jeśli jednak ma duszę
hazardzisty, to może zastosować wagi odwrotne i wtedy wybrałaby apaszki. Skrajni
pesymiści nie powinni w ogóle interesować się korzyściami, lecz tylko stratami; optymiści
zaś – jedynie zyskami.
Cena pewności w zakupach konsumenta
. Gdyby konsument wiedział, że ma przed
sobą bubel, to prawdopodobnie zrezygnowałby z zakupu takiego dobra. Jednak po uzyskaniu
dodatkowej informacji o jakości nabywanego dobra wartość oczekiwana wzrosłaby,
ponieważ nie traciłby na takim zakupie, tj.:
EV
apaszek
= 0,6·6 + 0,4·0 = 3,6.
Przyrost wartości oczekiwanej ∆EV = 3,6 – 2,4 = 1,2. Pokazuje on, o ile wzrośnie
wartość oczekiwana dzięki nabyciu wiedzy, pozwalającej unikać zdarzeń niekorzystnych. Ta
dodatkowa wartość musi mieć cenę; jest ona równa przyrostowi wartości oczekiwanej, który
nastąpił dzięki uzyskaniu pewnej informacji. Jest to
wartość oczekiwana doskonałej
informacji
, a kwota, o którą wzrosła wartość oczekiwana jest maksymalną sumą, jaką
potencjalny nabywca zechce zapłacić za uzyskanie doskonałej informacji.
Rodzaje gier
Jeśli istnieje 50%-owa szansa zarobienia 1000 PLN, to znaczy, że istnieje
jednocześnie 50%-we prawdopodobieństwo utraty tej kwoty pieniędzy (rzut monetą). Udział
w takiej grze nie przynosi – przeciętnie rzecz biorąc - szansy na zarobienie pieniędzy. Stąd też
taką grę nazywa się uczciwą. Czyli
gra uczciwa to taka gra, w przypadku której zyski –
przeciętnie rzecz biorąc – są równe zeru
.
3
Prof. Teresa Kamińska
Teoria ryzyka
Jeśli szansa wygrania w/w sumy pieniędzy wynosiłaby 30%, a szansa przegrania 70%,
to taką grę nazywa się
nieuczciwą. Grając w nią – przeciętnie rzecz biorąc traci się pieniądze
.
Gdyby sytuacja była odwrotna, tj. 70%-we prawdopodobieństwo wygranej i 30%-we
przegranej, to
gra byłaby korzystna, ponieważ udział w grze przeciętnie przyniósłby zysk
.
Nie zawsze ludzie biorą udział w grach dobrowolnie. Przypuśćmy, że ktoś posiada
domek letniskowy warty 20 tys. PLN na skraju Borów Tucholskich. Niech
prawdopodobieństwo włamania do niego i straty 10 tys. PLN wynosi 10%, a
prawdopodobieństwo tego, że do włamania nie dojdzie i właściciel ani nie straci, ani nie
zyska wynosi 90%. Życie zmusza do udziału w takiej grze.
Z punktu widzenia gracza, któremu zależy na wygranej, jedną z najważniejszych cech
gry jest jej
wartość oczekiwana (
EV
), czyli suma jej wyników pomnożonych przez
prawdopodobieństwo ich pojawienia się. Informuje ona o przeciętnym wyniku wielu partii tej
gry.
EV
1
= -1000 * 0,5 + 1000 * 0,5 = 0 zł.
EV
2
= -1000 * 0,7 + 1000 * 0,3 = - 400 zł.
EV
3
= 1000 * 0,7 + (- 1000) * 0,3 = 400 zł.
EV
4
= -10 000 * 0,1 + 0 * 0,9 = - 1000 zł.
Biorąc pod uwagę kryterium wyniku wartości oczekiwanej gry dzielą się na korzystne,
uczciwe (sprawiedliwe) i niekorzystne (nieuczciwe).
Kryterium
wynik wartości oczekiwanej
skala zmienności wyników
i
częstotliwość pojawiania się ich wartości skrajnych
uczciwe
(spra iedli e)
korzystne
(EV=0)
mniej ryzykowne (WG
1
)
(E >0)
1
< WG
2
bardziej ryzykowne (WG
2
)
niekorzystne
1
< WG
2
(nieuczciwe)
(EV < 0)
Gra jest bardziej ryzykowna, im większy jest rozrzut jej wyników i im częściej
pojawiają się wyniki najbardziej oddalone od wartości oczekiwanej gry
.
Grając o 100 zł za pomocą rzutu monetą, może wypaść orzeł lub reszka z jednakowym
prawdopodobieństwem 0,5. Wówczas EV
1
= 0,5 * 100 + 0,5 * (-100) = 0
Podobnie, rzucając kostką, możemy wyrzucić parzystą lub nieparzystą liczbę oczek.
Jeśli parzysta oznacza wygraną 1000 zł, a nieparzysta stratę 500 zł, to
EV
2
= 0,5 * 1000 + 0,5 * (-500) = 250 zł.
Dla gry w rzucanie monetą wyniki 100 zł i –100 zł pojawiają się z takim samym
prawdopodobieństwem jak dla gry w kości, ale wyniki są 1000 zł i – 500 zł. Druga gra jest
bardziej ryzykowna niż gra pierwsza. Z tymi grami nie można porównać gry z domkiem
letniskowym, ponieważ za duża jest różnica zarówno wyników, jak i prawdopodobieństw.
Potrzeba bardziej precyzyjnej miary ryzyka związanego z udziałem w grze.
4
Prof. Teresa Kamińska
Teoria ryzyka
Za dokładną miarę zmienności wyników gry (ryzykowność gry) uznaje się
wariancję
gry (WG)
.
Jest ona sumą podniesionych do kwadratu odchyleń wyników gry od jej wartości
oczekiwanej, zważonych prawdopodobieństwem wystąpienia tych wyników
, czyli
WG
=
n
s
p
(
w
−
EV
)
2
, gdzie:
s
s
1
w
s
–wynik gry, p
s
– prawdopodobieństwo ich wystąpienia.
W przypadku gry w rzucanie monetą o 100 zł, której wartość oczekiwana EV = 0, wariancja
gry wynosi:
WG
1
= 0,5 (100 zł)
2
+ 0,5 (-100 zł)
2
= 0,5*10 000 zł + 0,5*10 000 zł =
= 5000 zł + 5000 zł = 10 000 zł
W gry w kości, której wartość oczekiwana EV = 250, wariancja tej gry równa się
WG
2
= 0,5 (1000 zł – 250 zł)
2
+ 0,5 (-500 zł – 250 zł)
2
=
= 281 250 zł + 281 250 zł = 562 500 zł.
Dla gry w letnisko, której wartość oczekiwana wynosi – 1000 zł, wariancja gry równa się:
WG
3
= 0,9 (0+1000 zł)
2
+ 0,1(-10 000 zł + 1000 zł)
2
= 900 000 zł +8 100 000 zł =
= 9 000 000 zł.
Im niższa wariancja, tym niższe ryzyko.
Wynika stąd, że gra w kości jest bardziej ryzykowna od gry w rzucanie monetą, lecz
mniej ryzykowna od gry w domek letniskowy.
Załóżmy, że ktoś posiada dom o wartości 500 000 PLN i że prawdopodobieństwo
utracenia go wskutek pożaru lub powodzi wynosi 10%. Tym samym szanse utrzymania
dotychczasowego stanu posiadania (500 000 PLN) są równe 90%, zaś szanse stracenia
wszystkiego wynoszą 10%. Życie zmusza do przyjęcia tego zakładu. Przeciętnie właściciel
uzyska 450 000 PLN, czyli 90% od sumy 500 tys. zł plus 10% od zera. Firma
ubezpieczeniowa oferuje ubezpieczenie pełnej wartości domu za 100 000 PLN. Sumę tę
należy wpłacić niezależnie od tego, czy dom spali się, czy też pozostanie nienaruszony.
Natomiast jest ona zobowiązana do wypłacenia odszkodowania w wysokości 500 000 zł tylko
wtedy, gdy dom spłonie lub zostanie zalany. A zatem, bez względu na to, czy dom spłonie,
czy nie, wartość majątku wyniesie 400 000 zł.
Postawy ludzi wobec ryzyka
Typ człowieka
Decyzja o udziale w grze
Ubezpieczenie przy
niekorzystnych stawkach
Unikający ryzyka
(asekurant)
Aby zagrać potrzebuje przewagi szans
na wygraną
Wykupi polisę
Neutralny wobec
ryzyka
Nie zagra, gdy widoki na wygraną są
niekorzystne
Nie wykupi polisy
Skłonny do ryzyka
(ryzykant,
hazardzista)
Zagra
nawet
wtedy,
gdy
Nie wykupi polisy
prawdopodobieństwo
przegranej
przeważa
Czy dom zostanie ubezpieczony? Towarzystwo ubezpieczeniowe wykorzystuje tę
sytuację i w ten sposób zarabia pieniądze. Jeśli właściciel nie skorzysta z jego oferty, jego
5
∑
=
[ Pobierz całość w formacie PDF ]