wyk 5, Statystyka opisowa i matematyczna, Kosirowski
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
D. Kosiorowski – w ykład 5
2006
Funkcja zmiennej losowej
P rzypuśćm y, że zm ienna losow a
m a rozkład
dyskretny
, oraz
jest dow olnÄ…
funkcjÄ…, to
jest zm ienną losow ą, która m a
rozkład dyskretny:
Przykład
:
Niech
,
.
N ależy w yznaczyć rozkład zm iennej losow ej
.
Mamy tu
, zmienna przyjm uje w artości 0 i 9.
,
1
|
strona
 D. Kosiorowski – w ykład 5
2006
Przykład:
Niech m a rozkład jednostajny na [-3, 3].
N ależy znaleźć rozkład zm iennej
.
U żyteczny schem at obliczania rozkładu :
Szukamy dystrybuanty zmiennej , dystrybuanta
w yznacza jednoznacznie rozkład zm iennej losow ej.
Dla
mamy
.
Dla
mamy
S tÄ…d gdy
to
Gdy
tzn.
to
. M am y ciągłą
poza dw om a punktam i 0 i 9 dystrybuantę. G ęstość
zmiennej otrzym am y różniczkując dystrybuantę.
2
|
strona
 D. Kosiorowski – w ykład 5
2006
stÄ…d
.
Stwierdzenie
: Jeśli zm ienna losowa m a rozkład
ciagły o gęstosci i (z praw dopodobieństw em 1)
przyjm uje w artosci z przedziału
,
funkcja
jest klasy
(tzn. m a ciągłą pochodną)
oraz
dla , to zmienna losowa
m a rozkład ciągły o gęstości
,
gdzie
.
Stwierdzenie
: Jeśli zm ienna losow a m a rozkład
ciągły o gęstości
, to zmienna losowa
,
gdzie
, m a rozkład ciągły o gęstości
.
3
|
strona
 D. Kosiorowski – w ykład 5
2006
Przegląd wybranych rozkładów
R ozkład jednopunktow y:
Zmienna losowa m a rozkład jednopunktow y
oznaczany jako jeśli . Jest to
najprostszy rozkład praw dopodobieństw a . W fizyce
nazywany jest deltÄ… D iraca.
Parametr:
Momenty:
,
.
R ozkład dw upunktow y:
Zmienna losowa
m a rozkład dw upunktow y, jeżeli
i
,
Parametry:
,
Momenty:
,
.
R ozkład B ernouliego (dw um ianow y):
Zmienna
losowa
m a rozkład B ernoulliego
(dwumianowy)
, jeżeli
,
,
.
R ozkład łącznej liczby sukcesów w dośw iadczeniach
Bernoulliego, gdy szansa sukcesu w pojedynczym
doswiadczeniu
wynosi
. Jest to rozkład sum y
zmiennych
losowych
,
gdzie
zmienne
4
|
strona
 D. Kosiorowski – w ykład 5
2006
losowe są niezależne i m ają ten sam rozkład
dwupunktowy:
,
,
Parametry:
,
Momenty:
,
R ozkład P oissona:
Zmienna losowa
m a rozkład P oissona , jeśli
,
Jest to rozkład graniczny dla ciągu rozkładów
Bernoulliego , gdy , , .
R ozkład pojaw ia się jako rozkład zdarzeń rzadkich
(w ypadki drogow e, pożary).
Parametr:
Momenty:
,
R ozkład w ielom ianow y:
Jest uogólnieniem rozkładu dw um ianow ego i opisuje
rozkład w yników przy krotnym pow tórzeniu
dośw iadczenia o m ożliw ych rezultatach. Jeśli
oznacza liczbę w yników
tego typu w serii, to
,
gdzie
,
,
,
5
|
strona
Â
[ Pobierz całość w formacie PDF ]