wykład 1 plan, Energetyka I stopień PŚk, sem1 Matematyka, zagadnienia z wykładów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Wykład 1, energ.12, 4 X 2012, aula A1, 11.40-13.101. dr Andrzej Lenarcikztpal@tu.kielce.pl,pok. 711 Laura2. W naszej wspólnej pracy w ciągu całego semestru będziemy odwoływać się do zasad roztropnego zarządzania.Podstawowa zasada, to jasne sformułowanie celu. Celem naszej pracy jest jak najlepsze opanowanie wiedzyz zakresu matematyki potrzebnej do dalszego studiowania. Matematyka daje także wiele okazji do pracy nadsobą poprzez studiowanie zagadnień trudnych. Duże znaczenia dla rozwoju myślenia ma opanowanie przykładówrozumowań matematycznych.3. Zadaniem prowadzącego zajęcia jest organizowanie całosemestralnej systematycznej pracy indywidualnej i ze-społowej. Służą temu zestawy ćwiczeń. Z jednej strony mają one charakter indywidualny (różnią się od siebie);z drugiej strony dają sposobność do wzajemnej pomocy.4. Aby zaliczyć przedmiot, należy rozwiązać wszystkie ćwiczenia, zaliczyć dwa kolokwia i zdać egzamin.5. Roztropne zarządzanie proponuje metodę naukową poprawy procesów: obserwacja, hipoteza, dedukcja, wery-fikacja. Politechnika Świętokrzyska stosuje tę metodę obserwując trudności matematyczne przychodzących donas studentów. Hipoteza, to szukanie przyczyn tych trudności. To skłoniło nas do współpracy ze szkołami.Dedukcja, to szukanie dróg zaradzenia tym trudnościom. W ramach projektów europejskich organizowane sądodatkowe spotkania dla studentów I roku, tzw. grupy wyrównawcze. Weryfikacja, to ocena skuteczności pro-ponowanego rozwiązania. Wnioski mogą być stosowane do ulepszania systemu w kolejnych latach. Schemat tenwyrażony jest w postaci tzw. Cyklu Deminga.6. Krótka historia rozwoju pojęć matematycznych(kurs.09,11-12)(Grecy: geometria, Arabowie: algebra, algebraarabska wprowadza symbole i litery). Zdobycze matematyki greckiej i arabskiej przenikają do Europy w drugimtysiącleciu. Np. cyfry arabskie spopularyzował Włoch Leonardo Fibonacci (1175-1250).Za pierwsze europejskie odkrycie matematyczne, nieznane starożytnym, uważa się wzory na pierwiastki rów-naniaax3+bx2+cx+d= 0. Wzory te opublikował w roku 1545 Cardano. Odkrywcami byli Tartaglia i delFerro. Równanie to można sprowadzić do równania (*)y3+ 3py + 2q = 0 (patrz:problemy.pdf).Wówczasy=3−q −p3+q2+3−q+p3+q2.(1)We wzorach tych pod pierwiastkiem kwadratowym występujeδ=p3+q2. Jeżeliδ >0, to równanie (*) majedno rozwiązanie opisane wzorem (1). Jeżeliδ <0, to równanie (*) ma trzy pierwiastki. We wzorze jednakwystępuje wtedy liczba ujemna pod pierwiastkiem kwadratowym. Z pewnymi oporami zdecydowano się napierwiastkowanie liczb ujemnych. Tą drogą uzyskano trzy rozwiązania rzeczywiste.7. Pierwiastki liczb ujemnych przyjmowano z nieufnością i liczby takie nazywano urojonymi (imaginaria). Wpro-√wadzono jednostkę urojoną−1,jako takie “coś”, co podniesione do kwadratu daje−1.Stosujemy tutaj po-dejście algebraiczne, czyli jednostkę urojoną traktujemy jak napis. Tradycyjnie używana jest literai(i2=−1).Ponieważ na Wydziale EAiI literaipotrzebna jest do oznaczania natężenia prądu, jednostkę urojoną będziemyoznaczać przezj(j2=−1).Liczby postaciz=a+bj,gdziea, bsą liczbami rzeczywistymi, nazywamy liczbamizespolonymi (a nazywamy częścią rzeczywistą;bnazywamy częścią urojoną liczby zespolonejz).Na liczbachzespolonych można wykonywać działania tak, jak na zwykłych liczbach. Wystarczy tylko pamiętać, żej2=−1.Np.:(1 + 2j)(3−4j) = 3−4j + 6j−8j2= 11 + 2j.Podczas dzielenia postępujemy tak, jak podczas usuwania niewymierności z mianownika:(1 + 2j)(3 + 4j)3 + 4j + 6j + 8j2−5+ 10j1 21 + 2j===−+j.=3−4j(3−4j)(3 + 4j)9−16j2255 58. Patrząc na jednostkę urojoną geometrycznie, powinniśmy znaleźć dla niej miejsce. Ponieważ żadna liczba rze-czywista podniesiona do kwadratu nie daje liczby ujemnej, dlategojnie można zaznaczyć na osi liczbowej(oś liczbową utożsamiamy ze zbiorem liczb rzeczywistych). Jednostkę urojoną możemy w zasadzie umieścić wdowolnym miejscu poza osią. Najbardziej naturalne wydaje się miejsce nad zerem w odległości jeden od osi.qjqq1-9. Jednostka urojona wyznacza nową oś, którą nazywamy osią urojoną (Im od Imaginaria). Oś rzeczywistą ozna-czamyRe(Realis).Jeżeli jednostkę urojoną zaznaczymy tak, jak wyżej, to wtedy liczbie zespolonejz=a+bjodpowiada punkt(a,b)na płaszczyźnie. Dlatego liczby zespolone można wyobrażać sobie jako liczby dwuwymiarowe. Odległośćliczby zespolonej od√początku układu (od zera) nazywamy jej modułem i oznaczamy|z|.Z twierdzenia Pita-gorasa mamy|z|=a2+b2. Kątϕ,jaki tworzy odcinek 0z z osią rzeczywistą nazywamy argumentem liczbyzespolonej. Kąt ten wyrażamy w mierze łukowej.10. Aby omówić tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej, potrzebujemy funkcji sinus i cosinus kąta dowol-nego. Dla kąta ostrego funkcje te definiujemy w trójkącie prostokątnym. Dzięki twierdzeniu Talesa definicja niezależy od rozmiarów trójkąta(kurs.09,29).Jedynka trygonomertyczna jest innym sposobem zapisania twier-1dzenia Pitagorasa(30-31).Analiza wzoru na pole trójkątaS=2absinαpozwala naturalnie uogólnić funkcjęsinus na kąty rozwarte(33-34).Dla funkcji cosinus można to uzyskać analizując wzór cosinusów(34,91-92).Jednolitą definicję cosϕoraz sinϕ(ϕ miara łukowa – dowolna liczba rzeczywista) można uzyskać przez“nawijanie” osiϕna okrąg jednostkowy(82-83).11. Zapis liczby zespolonejz=a+bjw postaci trygonometrycznej polega na tym, że zamiastaibposługujemysię argumentemϕi modułem|z|.Mamya= cosϕ ,|z|b= sinϕ ,|z|skąda=|z|cosϕorazb=|z|sinϕ .Zatemz=a+bj=|z|cosϕ+j|z|sinϕ.Czyliz=|z|(cosϕ+jsinϕ) .Zapis ten nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej. Wyrażenie cosϕ+jsinϕczasami oznaczamysymbolemejϕ(sens tego symbolu będzie wyjaśniony później; na razie traktujemy go jako napis). Zapisz=|z|ejϕnazywamy także postacią wykładniczą liczby zespolonej.√√√√Przykład. Niechz= 3 +j.Mamya= 3,b= 1,|z|= 3 + 1 = 2, cosϕ=23, sinϕ=1, zatemϕ=π.26πCzyliz= 2(cosπ+jsinπ) = 2ej6.66√√1−1Przykład. Niechz=−1+j.Mamya=−1,b= 1,|z|= 1 + 1 = 2, cosϕ=√2, sinϕ=√2, zatemϕ=3π.4√√j3π3π3π4.Czyliz= 2(cos4+jsin4) = 2e
[ Pobierz całość w formacie PDF ]