zadania -agebra, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1.Liczbyzespolone
1.1.Zadaniapodstawowe.
Zadanie1.1.
Poda¢cz¦±¢rzeczywist¡iurojon¡nast¦puj¡cychliczbzespolonych:
z
1
=(3+7
i
)(
−
2+
i
)+(
−
5
−
2
i
)(
−
1+7
i
),
z
2
=
2
1+3
i
,
1
−
p
2
i
,
z
4
=
2
−
i
3+2
i
−
3+
i
3
−
2
i
.
Zadanie1.2.
Dlajakichliczb
x,y
2
Rzachodz¡równo±ci:
(a)(2+
yi
)(
x
−
3
i
)=7
−
i
;
(b)
1+
yi
x
−
2
i
=3
i
−
1;
(c)
(
−
1+2
i
)
x
2
−
(1+
i
)
x
+(
−
1+
i
)
y
(1+
i
)
2
=1
−
i
?
Zadanie1.3.
Wzbiorzeliczbzespolonychrozwi¡za¢podanerównania:
(a)
z
+3¯
z
=2
|
¯
z
|−
i
;
(b)
1+
i
z
;
(j)
|
z
+1
|
2
−
¯
z
=(im
z
)
2
+3
−
i
;
(k)2
i
¯
z
+5=
|
z
+
i
|
2
−
2
i
;
(l)
z
2
−
(1+
i
)
z
+6+3
i
=0;
(m)
z
2
−
5
z
+4+10
i
=0;
(m)
z
4
+
z
2
+1=0;
(o)
z
4
−
2
z
2
+4=0;
z
−
1+4
i
=
1
−
i
2
z
+
i
;
(d)
z
2
−
4
z
+13=0;
(e)
z
2
+
z
+1=0;
(f)4
z
=
z
2
+4;
(g)
zz
+(
1
−
i
)
z
=
z
i
;
(h)(1+
i
)
z
+
|
z
|
2
=
z
+1+
i
;
(i)
z
(¯
z
+1)
−
im(¯
z
)+4
i
6
=
2
−
2
i
(p)(
z
3
+8)(
z
2
+1
−
i
p
3)=0;
(r)(
z
2
−
1+
i
p
3
)(
z
3
+27)=0;
(s)
z
4
+8
−
8
i
p
p
3=0;
(t)
z
3
+1
−
i
3=0;
1+
i
;
(u)
z
3
+3=0.
Zadanie1.4.
Wyznaczy¢miejscageometryczneliczbzespolonych
z
spełniaj¡cychwarunki:
2
−
3;
(b)re(
iz
+2)
0;
(c)
im(
z
2
)
<
0;
(d)
z
−
i
=2
z
−
1;
(e)
4
(i)
|
z
+1
−
2
i
|
=3;
(j)2
¬|
z
+
i
|
<
4;
(k)
1;
z
+3
z
−
2
i
(l)
6
<
Arg
z
¬
2
z
=¯
z
;
(f)
z
¯
z
+(5+
i
)¯
z
+1=0;
(g)im
1+
iz
3
;
(m)Arg(
z
+2
−
i
)=
;
(n)
1
−
iz
=1;
(h)re
1
2
¬
Arg[(
−
1+
i
)
z
]
¬
;
(o)Arg
i
z
=
3
z
+
zi
>
1;
4
;
(p)Arg(
−
2+
i
)
¬
Arg
z
¬
Arg(-3-i).
Zadanie1.5.
Obliczy¢:
c
IzoldaGorgol,EwaŁazuka,PolitechnikaLubelska
z
3
=
1+
3
i
z
=
2
−
3
i
(c)
2+
i
(a)
z
−
¯
z
2
i
=5
z
+¯
z
1.LICZBYZESPOLONE 2
(a)(
−
1+
i
)
7
;
p
p
!
16
2
2
−
i
2
p
3
!
11
(e)
−
;
2
−
1
2
(b)
2
i
;
p
!
−
11
−
1
3
2
(c)(1+
i
)
2004
;
(f)
2
−
i
;
p
3
2
i
!
9
p
−
1
(g)
(
−
1
−
i
3)
15
(1+
i
)
20
;
(d)
2
−
;
6
1+cos
2
−
i
sin
(h)
.
2
Zadanie1.6.
Obliczy¢:
(a)
p
1;
(b)
3
p
−
1;
(f)
4
p
2
−
i
p
12;
(c)
4
p
(g)
4
p
p
1
;
(d)
3
p
i
;
3+
i
.
Zadanie1.7.
(a)Obliczy¢
w
=
(
−
2+2
i
)
14
.
Zadanie1.8.
(a)Obliczy¢
w
=
(2
−
2
i
)
10
.
(b)Wyznaczy¢
3
p
w
.
p
3jestjednymzpierwiastkówstopnia3zliczbyzespolonej
z
.Znale¹¢
pozostałepierwiastkiiwyznaczy¢
z
.Sporz¡dzi¢rysunek.
p
3
.
(a)Znale¹¢liczb¦(
z
1
)
98
,gdzie
z
1
jestpierwiastk
ie
mrównania(
)takim,»ere
z
1
<
1.
(b)Korzystaj¡czdefinicjipierwiastka,znale¹¢
p
z
2
,gdzie
z
2
jesttympierwiastkiem(
),»ere
z
2
>
1.
Zadanie1.11.
Znale¹¢liczb¦
z
15
0
,gdy
z
0
jestpierwiastkiemrównania:
|
z
|−
2
z
=1+
i
p
3
.
1.2.Zadaniadodatkowe.
Zadanie1.12.
Niech
u
=
z
2
,
v
=
z
+4
z
−
2
i
,
w
=
z
iz
+4
.Narysowa¢zbiórwszystkichliczbzespolonych
z
,dlaktórych:
(a)liczba
u
jestrzeczywista;
(b)liczba
u
jestczystourojona;
(c)liczba
v
jestrzeczywista;
(d)liczba
v
jestczystourojona;
(e)liczba
w
jestrzeczywista;
(f)liczba
w
jestczystourojona.
Zadanie1.13.
Napłaszczy¹niezespolonejCzaznaczy¢zbiór
A
=
z
2
C:re[(
z
+1)(¯
z
−
1)]
¬
8
^|
z
+1+
i
|
1
^
3
2
¬
Arg(3
zi
)
¬
2
.
Zadanie1.14.
Przedstawi¢interpretacj¦geometryczn¡zbioru
A
=
z
2
C:re(
z
2
)=2
^
[im(
z
+
i
)]
2
=1
.
(e)
3
p
1
−
i
;
(b)Wyznaczy¢
3
p
w
.
Zadanie1.9.
Liczba1
−
i
Zadanie1.10.
Danejestrównanie:(
)3
|
z
|−
2
z
=2+
i
1.LICZBYZESPOLONE 3
Zadanie1.15.
Przedstawi¢interpretacj¦geometryczn¡zbioru
n
o
z
2
C:
|
z
−
2
i
|
3
^
Arg(
z
+3)
3
B
=
Zadanie1.16.
Poda¢interpretacj¦geometryczn¡zbioruliczbzespolonychomodulerównym1,dla
których
z
2
+(2+2
i
)
z
jestliczb¡czystourojon¡.
Zadanie1.17.
Poda¢interpretacj¦geometryczn¡zbioru
B
=
{
z
2
C:
|
z
|
+re
z<
1
}
.
Zadanie1.18.
Napłaszczy¹niezespolonejCzaznaczy¢zbiór
A
=
z
2
C:
|
z
−
1+
i
|
|
z
+2
i
|
1
^
2
¬
Arg
z
i
¬
.
Zadanie1.19.
Obliczy¢
3
q
p
3
−
i
−
2+2
i
.
2.MACIERZEIWYZNACZNIKI
4
2.Macierzeiwyznaczniki
Zadanie2.1.
Rozwi¡za¢równaniemacierzowe:
2
·
31
02
+3
X
=
5 1
−
10
.
Zadanie2.2.
Rozwi¡za¢równaniemacierzowe:
2
X
−
2
i
−
i
0
+
1+
i
1
1
−
i
−
1
=3
X
−
I.
Zadanie2.3.
Obliczy¢nast¦puj¡ceiloczyny:
2
123
321
213
3
2
12
21
12
3
2
1
−
1 1
−
1
0 1 0 1
−
1 1
−
1 1
3
2
4
2
3
4
5
3
5
,
−
142
0 00
2
4
−
231
0 12
−
250
3
4
5
4
5
,
4
5
5
.
Napisa¢macierzetransponowanedootrzymanychmacierzy.
2
3
2
3
−
103
3 21
2 01
1
−
1
0 1
−
2 1
Zadanie2.4.
Danes¡macierze:
A
=
4
5
oraz
B
=
4
5
.
Któreziloczynów
A
2
B
T
,
BA
2
,
B
2
A
,
B
T
A
2
istniej¡?Odpowied¹uzasadni¢.Obliczy¢teiloczyny,które
istniej¡.
Zadanie2.5.
Obliczy¢nast¦puj¡cewyznaczniki:
1
−
i i
−
2
i
1+
i
,
0 sin
x
ctg
x
sin
x
0 sin
x
ctg
x
sin
x
0
,
7 21
−
14
−
10
−
30 20
8 10 12
,
1 0 0 1
2 1 1 2
2 1 0 2
3
−
1
−
11
,
2 3
−
2 1 1
2 1 3 1 2
3 4
−
2 0 1
2 3 1 5 2
1
−
1 1
−
11
.
2
11 1
0
x
1
11
x
+2
3
Zadanie2.6.
Dlajakich
x
2
Rodwracalnajestmacierz
A
=
4
5
?
2
123
321
213
3
Zadanie2.7.
Wyznaczy¢macierzodwrotn¡domacierzy
4
5
.
Zadanie2.8.
Wzbiorzewszystkichmacierzynieosobliwychdanajestfunkcja
f
taka,»eje±li
X
jest
2
3
21 3
12
−
1
10 2
tak¡wła±niemacierz¡to:
f
(
X
)=
2X
2
−
X
+
X
−
1
.
Obliczy¢warto±¢tejfunkcjidla
X
=
4
5
Zadanie2.9.
Znale¹¢macierz
X
spełniaj¡c¡równanie
AXB
+
C
=
D,
gdy
10
03
2 0
3
−
1
−
3
−
1
2
−
1
3
−
1
−
1
−
2
A
=
, B
=
, C
=
, D
=
.
2.MACIERZEIWYZNACZNIKI
5
2
z
2
z
1
1
z
2
z
z
1
z
2
3
Zadanie2.10.
Dlajakich
z
2
Codwracalnajestmacierz
A
=
4
5
?
Wyznaczy¢
A
−
1
dla
z
=
i
.
*********************************
Zadanie2.11.
Obliczy¢wyznaczniki
(a)
10 1 1
03 927
192819
1271982
,
(b)
1 3 2 1 4
2 1 5 1 2
3 4 1 0 1
2 1 1 5 2
3
−
11
−
11
,
(c)
4 2 3 0 5
3 4 1 0 1
2 1 5 1 2
2 1 1 5 2
3
−
11
−
11
(a)
−
7
2
·
3
5
,(b)1060,(c)1060
Zadanie2.12.
Znale¹¢macierz
X
spełniaj¡c¡równanie
AXB
+
C
=
D,
gdy
20
31
1
−
1
0 3
−
2
−
1
−
1 2
3
−
2
1
−
1
A
=
, B
=
, C
=
, D
=
.
5
2
2
3
−
11
2
−
7
3
X=
Zadanie2.13.
Znale¹¢macierz
X
spełniaj¡c¡równanie
AXB
+
C
=
D,
gdy
1
−
1
0 3
20
31
3
−
2
1
−
1
−
2
−
1
−
1 2
A
=
, B
=
, C
=
, D
=
.
−
35
6
2
−
11
6
1
X
=
Zadanie2.14.
Obliczy¢warto±¢funkcji
f
:
X
7!
X
3
−
3
X
2
+5
X
−
1
,gdy
1 3
−
12
X
=
−
3 2
−
14
−
9
f
(
X
)=
Zadanie2.15.
Niech
f
(
X
)=
I
+
X
I
−
X
oraz
A
B
=
A
·
B
−
1
.Czyistnieje[
f
(
A
)]
−
1
,gdy:
12
21
A
=
?
Nieistnieje,gdy»det
f
(
A
)=0
.
Zadanie2.16.
Wzbiorzewszystkichmacierzynieosobliwychdanajestfunkcja
f
taka,»eje±li
X
jest
tak¡wła±niemacierz¡to:
f
(
X
)=
X
3
−
3
X
2
+2
X
−
1
.
Obliczy¢warto±¢tejfunkcji,gdy
2
3
1 21
−
210
0 12
X
=
4
5
2
3
−
19
1
2
2
1
4
1
3
4
3 2
1
2
−
2
1
2
−
14
1
2
5
3
4
1
1
4
f
(
X
)=
4
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]