wyznaczniki, WSB IiE
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Macierze i wyznaczniki
Przyk“ad 1 Niech
0
B
B
@
1
C
C
A
:
0 4
¡
p
23
1
00
7 19 23
p
A
=
33 9 0
Przyk“ad 2 Niech
0
12
¡
3
79
1
0
4
¡
p
2362
p
B
=
@
A
:
33 9 021
De
nicja 1 Wyznacznikiem stopnia
n
macierzy kwadratowej
A
, kt
ó
ry oznacza¢
bÆ’dziemy symbolem
det
A
=
jAj
=
W
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
:::a
1
n
a
21
a
22
:::a
2
n
¢ ¢ ¢ ¢
a
n
1
a
n
2
:::a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
nazywamy liczbƒ przyporz¡dkowan¡ macierzy kwadratowej w nastƒpuj¡cy spos
ó
b:
1. je–li
n
=1, to przyjmijmy
det
(
a
11
)=
ja
11
j
=
a
11
;
2. je–li
n>
1, to wyznacznik
W
okre–lamy wzorem
W
=
a
11
A
11
¡a
12
A
12
+
a
13
A
13
+
:::
+(
¡
1)
n
+1
a
1
n
A
1
n
;
gdzie
A
1
k
jest wyznacznikiem stopnia
n¡
1, kt
ó
ry powstaje z danego
wyznacznika przez skre–lenie pierwszego wiersza i
k
-tej kolumny, gdzie
k
=1
;
2
;:::;n
.
Twierdzenie 1 Dla obliczania wyznacznika drugiego stopnia stosujemy wz
ó
r
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
21
a
22
¯
¯
¯
¯
=
a
11
a
22
¡a
12
a
21
:
Dow
ó
d. Istotnie,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
a
11
¢
det(
a
22
)
¡a
12
¢
det(
a
21
)=
a
11
a
22
¡a
12
a
21
:
1
1 2
¡
3
7
a
11
a
12
a
21
a
22
Przyk“ad 3 Obliczy¢ wyznaczniki
1.
¯
¯
¯
¯
¡
52
9 3
¯
¯
¯
¯
;
2.
¯
¯
¯
¯
7
¡
1
4 5
¯
¯
¯
¯
;
3.
¯
¯
¯
¯
cos(
®
) sin(
®
)
¡
sin(
®
)cos(
®
)
¯
¯
¯
¯
;
4.
¯
¯
¯
¯
1+
i
2+3
i
3+
i
1
¡i
¯
¯
¯
¯
.
Twierdzenie 2 (regu“a Sarrusa) Dla wyznacznika trzeciego stopnia mamy
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
a
11
a
22
a
33
¡a
11
a
23
a
32
¡a
12
a
21
a
33
+
a
12
a
23
a
31
:
+
a
13
a
21
a
32
¡a
13
a
22
a
31
Dow
ó
d. Z de
nicji wynika, »e
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
a
11
¢
¯
¯
¯
¯
a
22
a
23
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¡a
12
¢
¯
¯
¯
¯
a
21
a
23
a
31
a
33
¯
¯
¯
¯
+
a
31
¢
¯
¯
¯
¯
a
21
a
21
a
31
a
31
¯
¯
¯
¯
=
a
11
(
a
22
a
33
¡a
23
a
32
)
¡a
12
(
a
21
a
33
¡a
23
a
31
)
+
a
13
(
a
21
a
32
¡a
22
a
31
)
=
a
11
a
22
a
33
¡a
11
a
23
a
32
¡a
12
a
21
a
33
+
a
12
a
23
a
31
+
a
13
a
21
a
32
¡a
13
a
22
a
31
:
Przyk“ad 4 Obliczy¢ wyznaczniki
1.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4 1
¡
3
0 2 1
¡
56 7
¯
¯
¯
¯
¯
¯
;
2.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
¡
10
1 1 1
2 1 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
;
3.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
40 1
20
¡
3
71 8
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Twierdzenie 3 W“asno–ci wyznacznik
ó
w:
2
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
1. Je»eli w wyznaczniku do element
ó
w pewnego wiersza (lub kolumny) dodamy
odpowiednie elementy innego wiersza (lub innej kolumny) pomno»one przez
sta“¡ liczbƒ
k
, to warto–¢ wyznacznika nie ulegnie zmianie.
2. Je»eli w wyznaczniku wszystkie elementy jednego wiersza lub kolumny s¡
zerami, to warto–¢ wyznacznika wynosi zero.
3. Je»eli w wyznaczniku wystƒpuj¡ dwa wiersze lub dwie kolumny proporcjon-
alne (lub identyczne), to warto–¢ wyznacznika r
ó
wna siÆ’ zero.
4. Je»eli wszystkie elementy pewnego wiersza (lub pewnej kolumny) pom-
no»ymy przez ten sam czynnik, to warto–¢ wyznacznika bƒdzie przez ten
czynnik pomno»ona, czyli
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
k
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
::: a
1
n
a
21
a
22
::: a
2
n
¢ ¢ ¢ ¢
a
m
1
a
m
2
:::a
mn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
:
5. Je»eli w wyznaczniku przestawimy wiersze na miejsce kolumn w tym samym
porz¡dku, to warto–¢ wyznacznika nie ulegnie zmianie.
6. Je»eli w wyznaczniku przestawimy miƒdzy sob¡ dwa dowolne wiersze (lub
dwie dowolne kolumny), to warto–¢ wyznacznika zmieni siƒ na przeciwn¡.
7. Je»eli w wyznaczniku wszystkie elementy znajduj¡ce siƒ nad (lub pod) g“
ó
wn¡
przek¡tn¡ s¡ r
ó
ne zero, to warto–¢ wyznacznika r
ó
wna siÆ’ iloczynowi wszys-
tkich element
ó
w na g“
ó
wnej przek¡tnej.
Przyk“ad 5 Obliczy¢ warto–¢ wyznacznika:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
:
Niech bÆ’dzie dana macierz kwadratowa
A
stopnia
n
i niech
i;k
bƒdzie par¡
liczb naturalnych takich, »e
i·n
i
k·n
. Skre–laj¡c
i
-ty wiersz i
k
-t¡ kolumnƒ,
otrzymujemy podmacierz kwadratow¡ stopnia
n¡
1.
De
nicja 2 Minorem stopnia
n¡
1nazywamy wyznacznik z tej podmacierzy.
Minor ten oznaczamy
M
ik
i m
ó
wimy, »e jest to minor odpowiadaj¡cy wyrazowi
a
ik
.
De
nicja 3 Dope“nieniem algebraicznym wyrazu
a
ik
w macierzy kwadratowej
A
nazywamy minor odpowiedaj¡cy wyrazowi
a
ik
pomno»ony przez(
¡
1)
i
+
k
. Dope“nie-
nie algebraiczne wyrazu
a
ik
oznaczamy
A
ik
. Zatem
A
ik
=(
¡
1)
i
+
k
M
ik
.
3
ka
11
a
12
::: a
1
n
ka
21
a
22
::: a
2
n
¢ ¢ ¢ ¢
ka
m
1
a
m
2
:::a
mn
12 0
¡
1
03
¡
1 0
12 0 1
00
¡
1 2
0
40 1
20
¡
3
71 8
1
Przyk“ad 6 Niech
A
=
@
A
.
A
21
=(
¡
1)
2+1
¯
¯
¯
¯
01
18
¯
¯
¯
¯
=(
¡
1)
3
(0
¢
8
¡
1
¢
1)=1
:
Twierdzenie 4 Niech bÆ’dzie dany wyznacznik stopnia
n
, gdzie
n¸
2,
W
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
:::a
1
k
:::a
1
n
¢ ¢ ¢ ¢ ¢
a
i
1
::: a
ik
::: a
in
¢ ¢ ¢ ¢ ¢
a
n
1
:::a
nk
:::a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i niech
i;k
bƒd¡ liczbami naturalnymi mniejszymi lub r
ó
wnymi
n
. Suma wyraz
ó
w
i
-tego wiersza pomno»onych przez dope“nienia algebraiczne tych wyraz
ó
w oraz
suma wyraz
ó
w
i
-tej kolumny pomno»ej przez dope“nienia algebraiczne tych wyraz
ó
w
s¡ dla
i
=1
;
2
;:::;n
oraz dla
k
=1
;
2
;:::;n
r
ó
wne warto–ci danego wyz-
nacznika:
n
X
W
=
a
i
1
A
i
1
+
a
i
2
A
i
2
+
:::
+
a
in
A
in
=
a
ik
A
ik
;
k
=1
W
=
a
1
k
A
1
k
+
a
2
k
A
2
k
+
:::
+
a
nk
A
nk
=
n
X
a
ik
A
ik
:
i
=1
Przyk“ad 7 Obliczy¢
1.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
220
¡
2
¡
1
330
¡
3
¡
5
150 2 19
¯
¯
¯
¯
¯
¯
;
2.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1
¡
24
0 1 1 3
2
¡
1 1 0
3 1 2 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]