wyklad8, Teroia Sygnałów [Szlachetko], wykł
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Systemy
System liniowy:
- główna zaleta proporcjonalność
x(n)
y(n
)
h(n)
Jeżeli
x
1
n
y
1
n
i
x
2
n
y
2
n
to:
a x
1
n
b x
2
n
a y
1
n
b y
2
n
Przykłady systemów liniowych:
2
x
n
y
n
=3
x
n
2
x
n
−5
Przykłady systemów nieliniowych
y
n
=2
x
n
x
n
−1
y
n
=3
x
2
n
System liniowy:
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;x=sin(2*pi*20*n);y=-.5*x;plot(n,x,n,y);
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;
x1=sin(2*pi*20*n);y1=.5*x1;
x2=sin(2*pi*10*n);y2=.5*x2;
x =2*x1-3*x2; y = .5*x;
plot(n,2*x1-3*x2,n,y,n,2*y1-3*y2);
System nieliniowy:
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;
x1=sin(2*pi*20*n);y1=.5*x1.*x1;
x2=sin(2*pi*10*n);y2=.5*x2.*x2;
x =2*x1-3*x2; y = .5*x.*x;
plot(n,2*x1-3*x2,n,y,n,2*y1-3*y2);
System inercyjny(bezwładnościowy) / nieinercyjny
Przykłady:
–
bezinercyjny
y
n
=1.1x
n
N=20;n=(0:N-1);x=[zeros(1,N/2),ones(1,N/2)];yB=1.1*x;plot(n,x,'b*',n,y,'rx')
y
n
=
−1
–
inercyjny
y
n
=0.5x
n
0.3x
n
−10.1x
n
−20.1x
n
−2
N=50;Fs=200;n=(0:N-1)./Fs;f=5;x=square(2*pi*f*n,.5);
yb=1.1*x;
yi=.5*x+.3*[0,x(1:end-1)]+.1*[0,0,x(1:end-2)]+.1*[0,0,0,x(1:end-3)];
plot(n,x,'r+',n,yb,'b*',n,yi,'go');
System niezmienny w czasie / zmienny w czasie / adaptacyjny
x(n)
y(n
)
h(n)
Szereg Volterry (Volterra series) – modelowanie systemów nieliniowych
Najczęściej używany model systemu -
dyskretny
liniowy
inercyjny
niezmienny w czasie
LTI –
ang. Linear Time Invariant
Odpowiedź impulsowa
B=[1 .9 -1.2 3 2 .1 -1 -1.5 -.9]; A=1; % nieznany system
N=20;n=(1:N);x=zeros(1,N);x(1)=1; % pobudzenie
y = filter(B,A,x);plot(n,x,'b*',n,y,'r');
Czy na podstawie obserwacji odpowiedzi systemu (kolor czerwony) jesteśmy w stanie wyznaczyć
nasz system - czyli
h(n)
?
Transformata Z
Z
{
x
kT
}=
Z
{
x
n
}=
X
z
, x
n
∈ℝ
N
, X
z
∈ℂ
N
gdzie
X
z
=
∑
n
=0
N
−1
x
n
z
−
n
Transformata
Z
istnieje tylko dla funkcji które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza
e
n
czyli np. dla
x
n
=
n!
lub
x
n
=
e
n
2
transformata
Z
nie istnieje !!!
Region zbieżności ROC
ROC
=
{
z:
∣
∑
n
=−∞
∞
x
n
z
−
n
∣
∞
}
(zbiór punktów zespolonej płaszczyzny
Z
spełniający ten
warunek)
Związek między transformatą Z a transformatą Fouriera
(omówić
z
=
re
j
i przypadek kiedy
r
=1∣
z
∣=1 )
Własności transformaty Z
●
Liniowość
Z
[
a x
1
n
b x
2
n
]=
a X
1
z
b X
2
z
●
przesunięcie w czasie
Z
{
x
n
−
k
}=
z
−
k
X
z
Z
{
x
n
k
}=
z
k
{
X
z
−
∑
n
=0
k
−1
x
n
z
−
k
}
z
−1
X
z
●
Transformata różnicy
Z
[
x
n
1
− x
n
]=
z−
1
X
z
−x
0
●
Transformata iloczynu
Z
{
x
n
y
n
}=
X
z
∗
Y
z
M
−1
x
n
}
=
z
●
Transformata splotu
Z
{
x
n
∗
y
n
}=
X
z
Y
z
Tabela potrzebnych transformat
x(n)
Transfomata Z
Obszar zbieżności ROC
n
1
z
∈ℂ
n
−
k
z
−
k
z
≠0
u
n
1
1−
z
−1
∣
z
∣1
●
odwrócenie czasu
Z
{
x
−
n
}=
X
z
−1
●
Transformata sumy
Z
{
∑
n
=0
Splot
∞
y
t
=
∫
−∞
h
x
t
−
d
i konsekwentnie jeżeli mamy
h
n
∈ℝ
M
oraz
x
n
∈ℝ
N
M
N
−1
y
n
=
∑
k
=1
h
k
x
n
−
k
=
h
n
∗
x
n
przykład 1
h
n
=[0,0,1]
, x
n
=[1,2,3]
przykład 2
h
n
=
1
2
[1,1]
, x
n
=[1,0.1
,
−1,−0.1]
N=1000;Fs=1000;n=(0:N-1)./Fs;x=sin(2*pi*5*n)+.5*randn(1,N);
M=3;h=ones(1,M)./M;y = conv(x,h);y=y(1:N);
plot(n,x,'b',n,y,'r');
Transmitancja
X(z)
Y(z
)
H(z)
Y
z
=
X
z
H
z
y
n
=
x
n
∗
h
n
N=32;n=(0:N-1);x=zeros(1,N);x(6:15)=ones(1,10);
h=zeros(1,N);h(10:20)=bartlett(11)';plot(n,x,'b*',n,h,'r*');
plot(n,x,'b*',n,h,'r*',n,x.*h,'go');
plot(conv(x,h));
plot(n,x,'b*',n,h,'r*',n,x.*h,'go', conv(x,h)(6:37),'m');
Jak znaleźć transmitancję systemu znając wejście i wyjście? (delta)
A
z
gdzie
B
z
i
A
z
to wielomiany stopnia
Q
i
P
odpowiednio
B
z
=
b
Q
z
−
Q
b
Q
−1
z
−
Q
1
b
2
z
−2
b
1
z
−1
b
0
=
∑
q
=0
Q
b
q
z
−
q
=1−
q
0
z
−1
1−
q
1
z
−1
1−
q
Q
z
−1
P
A
z
=
a
P
z
−
P
a
P
−1
z
−
P
1
a
2
z
−2
a
1
z
−1
a
0
=
∑
q
=0
a
q
z
−
q
=1−
p
0
z
−1
1−
p
1
z
−1
1−
p
P
z
−1
Bieguny i zera funkcji transmitancji
H
z
=
B
z
[ Pobierz całość w formacie PDF ]