wyklad5, Teroia Sygnałów [Szlachetko], wykł
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Podobieństwo sygnałów – korelacja
Iloczyn skalarny wektorów/sygnałów
W przestrzeni
L
2
ℝ
〈
x,y
〉=
∫
x
t
y
t
dt
W przestrzeni
ℝ
N
N
−1
〈
x,y
〉=
1
N
n
=0
x
n
y
n
Jeżeli
〈
x,y
〉=0
to
x
⊥
y
a co jeżeli
〈
x,y
〉≠0
lub inaczej
∣〈
x,y
〉∣0
?
Korelacja
Korelacja w przestrzeni
L
2
ℝ
w przypadku stacjonarnym
R
=
∫
x
t
x
t
−
dt
po dyskretyzacji w przestrzeni
ℝ
N
N
−1
1
N
n
=0
R
l
=lim
n
∞
x
n
x
n
−
l
Korelacja w przestrzeni
ℝ
N
Z teorii procesów stochastycznych
R
x
k,m
=
1
2
E
[
x
k
−
x
m
−]
gdzie
E
[.]
oznacza operator wartości oczekiwanej (w dużym uproszczeniu jest to wartość
średnia)
wartość średnia procesu losowego
wariancja procesu losowego
Konsekwentnie
1
x
y
E
[
x
k
−
x
y
m
−
y
]
Zwykle zakładamy że:
●
=0
●
=1
●
proces losowy (sygnał) jest stacjonarny wtedy
x
n
,x
n
−
l
lub
x
n
,y
n
−
l
R
xy
k,m
=
- 1 -
Użyteczne definicje
R
x
l
=
E
[
x
n
x
n
−
l
]
- autokorelacja
R
xy
l
=
E
[
x
n
y
n
−
l
]
- korelacja wzajemna (kroskorelacja)
W praktyce można różnie liczyć estymator wartości oczekiwanej
R
x
l
=
1
N
∑
n
x
n
x
n
−
l
- estymator obciążony
N
−
l
−1
1
N
−
l
n
=0
R
x
l
=
x
n
x
n
−
l
- estymator nieobciążony
Wyjaśnić pojęcia
:
●
współczynnik korelacji
●
unormowany współczynnik korelacji ( 1/
x
2
)
●
funkcja korelacji
●
unormowana funkcja korelacji
●
miara podobieństwa sygnałów (dla
l
=0 otrzymujemy iloczyn skalarny !!!)
Przykład:
N=1000;n=(0:N-1);x=sin(2*pi*5/N*n+.3*pi)+randn(1,N);plot(n,x);
s1=sin(2*pi*5/N*n);s2=sin(2*pi*4/N*n);s3=sin(2*pi*13/N*n);s4=sin(2*pi*10/N*n)
;s5=sin(2*pi*4.8/N*n);
max(abs(xcorr(x,s1)))
max(abs(xcorr(x,s2)))
max(abs(xcorr(x,s3)))
max(abs(xcorr(x,s4)))
max(abs(xcorr(x,s5)))
Własności funkcji autokorelacji
1.
R
x
l
=
R
x
−
l
funkcja parzysta
2.
R
x
0≥
R
x
l
wartość maksymalna dla zerowego przesunięcia
- 2 -
Transformacje czasowo-częstotliwościowe
Krótkoterminowa transformata Fouriera (ang. STFT)
N
−1
x
n
w
n
−
l
e
−
j
2
N
kn
STFT
{
x
n
}≡
X
k,l
=
n
=0
gdzie
l
– dyskretny czas,
k
– dyskretna częstotliwość
spektrogram to:
S
k,l
=∣
X
k,l
∣
2
Przykład:
N=64;n=(0:N-1);
x=1.2*sin(2*pi*.13*n);y=2*sin(2*pi*.07*n);z=.8*sin(2*pi*.27*n);s=[x,y,z];
s=s+.1*randn(size(s));plot(s);
S=fft(s); M=size(S,2); f=(0:M-1)./M; plot(f,abs(S));
w=gausswin(N,3)';plot(w);
okno1=[w,zeros(1,N),zeros(1,N)];
okno2=[zeros(1,N),w,zeros(1,N)];
okno3=[zeros(1,N),zeros(1,N),w];
plot(okno1);hold on;plot(okno2);plot(okno3);hold off;
plot(s.*okno1);hold on;plot(s.*okno2);plot(s.*okno3);hold off;
S1=fft(s.*okno1); S2=fft(s.*okno2); S3=fft(s.*okno3);
M=size(S1,2); f=(0:M-1)./M;
plot(f,abs(S1),f,abs(S2),f,abs(S3));
N=256;n=(0:N-1);
x=sin(2*pi*.13*n);y=sin(2*pi*.07*n);z=sin(2*pi*.27*n);s=[x,y,z];
s=s+.7*randn(size(s));plot(s);
M=128; w=gausswin(M,3)'; plot(w);
tmp=[zeros(1,M/2),s,zeros(1,M/2)];plot(tmp);
L=3*N;S=zeros(L,M);
for l=(1:L), v=tmp(l:l+M-1).*w;V = fft(v);S(l,:)=abs(V).^2;end;
l=(0:L-1);f=(0:M-1)./M;imagesc(l,f,S');
Transformata Wignera-Villa
N
−1
x
l
x
l
−
n
e
−
j
2
N
kn
X
WV
k,l
=
n
=0
!!! Problemy z częstotliwością Nquista !!!
N=100;n=(0:N-1);x=sin(2*pi*.13*n);y=zeros(1,N);z=sin(2*pi*.28*n);s=[x,y,z];
plot(s);
L= 3*N; l=(0:L-1); M=256; [TFR,nt,nf]=tfrwv(s',n,M);imagesc(nt,nf,TFR);
N=500;n=(0:N-1);f=linspace(.1,.3,N);x=sin(2*pi*f.*n);
M=128;[TFR,nt,nf]=tfrwv(x',n,M);imagesc(nt,nf,TFR);
- 3 -
M=128;[TFR,nt,nf]=tfrwv(hilbert(x'),n,M);imagesc(nt,nf,TFR);
Dyskretna transformata falkowa (ang. wavelet)
Wavelet/Falka – (mała fala) sygnał okresowy szybko zanikający do zera
Falka ciągła:
a
t
−
b
a
a,b
t
=
1
gdzie
t
∈
L
2
ℝ
, a,b
∈ℝ
, a
0
t
prototyp falki, falka matka
–
b
przesunięcie w czasie
–
a
skalowanie w częstotliwości
Stąd nazwa transformacja „częstotliwość-skala” (skalogram)
Transformata falkowa to iloczyn skalarny badanego sygnału
z prototypami falek
Reprezentacja w przestrzeni
L
2
ℝ
a
∫
ℝ
x
t
t
−
b
1
W
a,b
=
〈
x
t
,
a,b
t
〉
=
∫
x
t
a,b
t
dt
=
a
dt
przesunięcie w czasie:
y
t
=
x
t
−
u
,W
y
a,b
=
W
x
a,b
−
u
przesunięcie w częstotliwości
1
y
t
=
x
st
,W
y
a,b
=
s
W
x
sa,sb
Transformata odwrotna:
x
t
=
∫
ℝ
∫
ℝ
W
a,b
a,b
t
dadb
Mamy bazę ortonormalną – rodzina falek, mamy współczynniki reprezentacji, mamy też
transformatę odwrotną ... piękne wzory tylko nie da się tego policzyć !!! ;)
- 4 -
Reprezentacja w przestrzeni
ℝ
N
N
W
a,b
=
〈
x
n
,
a,b
n
〉
=
n
=0
x
n
a,b
n
Ważne definicje:
–
położenie i rozciągłość w czasie
t
=
∫
ℝ
t
∣
a,b
t
∣
dt
t
2
=
∫
ℝ
t
−
t
2
∣
a,b
t
∣
dt
–
położenie i rozciągłość w częstotliwości
=
∫
ℝ
∣
a,b
∣
d
2
=
∫
ℝ
−
2
∣
a,b
∣
d
(rysunek z
t
i
)
Zasada nieoznaczoności Heisenberga:
t
≥
1
2
Przypadek dyskretny
Dwa rozwiązania:
1) nowe współrzędne skali
a
k
,la
k
b
gdzie
l,k
∈ℤ
k,l
n
=
a
−
k
/2
n
−
lb
a
m
2) współrzędne skali z podziałem przez 2
a
k
=
a
0
k
,a
0
=2
a
k
=2
k
b
l
=
lb
0
a
0
k
,b
0
=1
b
l
=
l2
k
- 5 -
[ Pobierz całość w formacie PDF ]