wyklad4, Teroia Sygnałów [Szlachetko], wykł
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Transformacje częstotliwościowe
Transformacja Fouriera
Z rozkładu funkcji okresowej na nieskończony szereg Fouriera otrzymujemy:
∞
X
=
∫
−∞
x
t
e
−
j
t
dt
gdzie
=2
f
tr. odwrotna
x
t
=
1
∞
2
∫
−∞
X
e
j
t
d
Przypadek dyskretny:
X
k
=
∑
n
=0
x
n
e
−
j
2
N
k n
gdzie
0≤
k
≤
N
−1
(dyskretne częstotliwości)
tr. odwrotna:
x
n
=
1
N
−1
X
k
e
j
2
N
k n
gdzie 0≤
n
≤
N
−1
Funkcja
X
k
=
A
k
j
k
nazywana jest dyskretnym widmem lub dyskretną transformatą
Fouriera DFT sygnału
x
n
gdzie
●
∣
X
k
∣=
A
k
widmo amplitudowe
●
arg
X
k
=
k
widmo fazowe
Własności tr. Fouriera
1) Okresowa
X
k
N
=
X
k
=
∑
k
=0
N
−1
x
n
e
−
j
2
N
k
N
n
2) odwracalna
N=1024;n=(0:N-1);x=randn(1,N);X=fft(x);y=ifft(X);
plot(n,x,';x;',n,real(y),';y;');
3) liniowa
dla
x
n
=
a y
n
b z
n
mamy
X
k
=
a Y
k
b Z
k
4) przesunięcie w czasie
dla
x
n
=
y
n
n
0
mamy
X
k
=
∑
n
=0
N
−1
y
n
e
−
j
2
N
k
n
n
0
- 1 -
N
−1
N
∑
k
=0
5) przesunięcie w częstotliwości (modulacja częstotliwości)
dla
X
k
=
Y
k
k
0
=
1
N
−1
Y
k
k
0
e
−
j
2
N
k
k
0
n
N
∑
k
=0
mamy
x
n
=
e
j
2
N
k
0
n
y
n
6) splot (w dziedzinie czasu)
dla
x
n
=
y
n
∗
z
n
mamy
X
k
=
Y
k
Z
k
(operacja splotu pokazać wzór; dalsze wyjaśnienia przy okazji filtrów)
7) splot w częstotliwości
dla
x
n
=
y
n
z
n
mamy
X
k
=
Y
k
∗
Z
k
Interpretacja geometryczna DFT
X
k
=
∑
n
=0
x
n
e
−
j
2
N
k n
wiemy, że
F
s
=2
oraz
f
=
2
k
N
stąd
N
Kombinacja liniowa elementów bazy
w
=
∑
n
n
v
n
Zatem
=
x
n
=[
x
0
, x
1
,
...
, x
N
−1]
oraz
v
n
=
e
−
j
2
N
k n
to
w
k
=
? ??
(Czy wektory
v
n
=
e
−
j
2
N
k n
tworzą bazę przestrzeni
ℂ
N
? Jaką bazę
ortonormalną/ortogonalną ?)
N=512; Fs=1000; n=(0:N-1);
v0=cos(2*pi*0/N*n);
v1=cos(2*pi*1/N*n);
v2=cos(2*pi*2/N*n);
v3=cos(2*pi*3/N*n);
plot(n,s,';k=0;',n,x,';k=1;',n,y,';k=2;',n,z,';k=3;');
N=4;n=(0:N-1);k=(0:N-1)';
E = e^(-j*(2*pi/N)*k*n);
E*E'
- 2 -
N
−1
f
=
2
k
N
=
F
s
k
Przykłady
Impuls Kroneckera
x
n
=
n
X
k
=
∑
n
=0
n
e
−
j
2
N
k n
=1
e
−
j
0
=1
N=256; x = zeros(N,1); x(1) = 1;
X=fft(x);f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');
axis([0,1,-1,2]);
Funkcja grzebieniowa
T
n
=
∑
k
=−∞
∞
n
−
kT
X
k
=
∑
n
=0
T
n
e
−
j
2
N
k n
=
∑
n
=0
N
−1
e
−
j
2
N
k n
=
{
N , k
=0
0,
k
≠0
N=256; x = ones(N,1); x(1) = 1;
X = fft(x); f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');
axis([0,1,-1,2]);
(w obu przypadkach
X(k)
jest rzeczywiste !!!, ale to wyjątek)
Dla sygnałów rzeczywistych
x
∈
R
N
(wszystkie próbki sygnału rzeczywiste) widmo
X
k
=
A
k
j
k
posiada dodatkowo własności:
=========================================================
●
A
k
=
A
−
k
-
widmo amplitudowe jest parzyste
●
k
=−−
k
-
widmo fazowe nieparzyste
=========================================================
N=512; Fs=1000; n=(0:N-1)./Fs;
x=2*sin(2*pi*113*n)+sin(2*pi*218*n)+0.01*randn(1,N); plot(x);
X=fft(x);
f=((0:N-1)./N)*Fs;plot(f,abs(X));plot(f,10*log10(abs(X)));
plot(f,unwrap(arg(X)));
Y=[X,X];
fy=((-N:N-1)./N)*Fs;
plot(fy,abs(Y));
plot(fy,unwrap(arg(Y)));
- 3 -
N
−1
N
−1
Przekształcenie Hilberta
x
H
n
=
h
n
∗
x
n
gdzie
h
[
n
]=
{
0,
n
=2m
, m
∈ℝ
sygnał analityczny
x
a
n
=
x
n
jx
H
n
(wyjaśnić o sygnale kwadraturowym) IQ
N=64;n=(0:N-1)./N;x=sin(2*pi*1/64*n);plot(x);
y=hilbert(x);
plot(n,x,';x;',n,real(y),';real(y);',n,imag(y),';imag(y);');
N=512; Fs=1000; n=(0:N-1)./Fs;
x=2*sin(2*pi*113*n)+sin(2*pi*218*n)+0.5*randn(1,N);
y=hilbert(x);
X=fftshift(fft(x));Y=fftshift(fft(y));
f=((-N/2+1:N/2)./N)*Fs;
plot(f,abs(X),';X;',f,abs(Y),';Y;');
x
a
n
=
A
n
e
j
n
gdzie
A
n
to amplituda chwilowa sygnału
n
to faza chwilowa sygnału
Ponadto definiuje się częstotliwość chwilową sygnału (w przypadku ciągłym)
t
=
d
dt
t
=
'
t
1. przypadek sygnału szerokopasmowego
trudno zinterpretować amplitudę chwilową i fazę chwilową
2. przypadek sygnału wąskopasmowego
x
a
n
=[
A
n
e
j
n
e
−
j
0
n
]
e
j
0
n
=
n
e
j
0
n
gdzie
n
=
A
n
e
j
n
−
0
n
nazywamy obwiednią zespoloną sygnału (
ang. complex envelope
)
problem wyboru
0
- 4 -
2
n
, n
=2m1,
m
∈ℝ
[ Pobierz całość w formacie PDF ]