wyklad3, PWr, III Semestr, Teoria Sygnałów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przestrzenie wektorów, baza
Aproksymacja/reprezentacja sygnału w przestrzeni – kombinacja
liniowa
–
Liniowa aproksymacji/kombinacja wektorów bazy
–
co to znaczy liniowa?
Definicja:
Każdy wektor w przestrzeni można otrzymać jednoznacznie(w jeden sposób) za
pomocą liniowej kombinacji wektorów bazy.
np. w przestrzeni
R
3
możemy przyjąć zbiór wektorów bazowych
v
1
=0,0,1
, v
2
=0,1,0
, v
3
=1,0,0
wtedy wektor
w
=3,6,2
można przedstawić
jako
w
=2
v
1
6
v
2
3
v
3
czyli
w
=
1
v
1
2
v
2
3
v
3
gdzie
1,
2,
3
to współczynniki reprezentacji
inny zestaw wektorów bazowych
v
1
=0,0,1
, v
2
=0,2,0
, v
3
=3,0,1
wtedy ten sam wektor
w
=3,6,2
można
przedstawić jako
w
=1
v
1
3
v
2
1
v
3
–
Wybór bazy
Definicja:
Baza przestrzeni liniowej - to maksymalny zbiór liniowo niezależnych wektorów tej
przestrzeni
–
elementy bazy są liniowo niezależne – co to znaczy?
–
jest ich maksymalna ilość, ilość wektorów bazowych implikuje rozmiar przestrzeni – co to
znaczy?
Przykład
w
R
2
:
Czy wektor
v
1
=2,3
może być bazą przestrzeni
R
2
?
Czy wektory
v
1
=2,3
i
v
2
=−2,−3
mogą stanowić bazę
R
2
?
N=256;n=(0:N-1)./N;x=sin(2*pi*n);y=sin(2*pi*2*n);
plot(n,x,';x;',n,y,';y;');
iloczyn_skalarny = x*y'
Czy w powyższym przykładzie mamy już bazę?
Czy ilość wektorów bazy jest maksymalna?
–
baza ortogonalna (wektory bazy są do siebie prostopadłe)
przykład rysunkowy w 2D
Warunek -
–
baza ortonormalna
–
każda przestrzeń może mieć wiele baz !!!
ale najwygodniejsza jest baza ortonormalna
- 1 -
(jw. plus norma wektorów bazy = 1)
przykład rysunkowy w 2D
norma_x = sqrt(x*x')
norma_y = sqrt(y*y')
⋮⋮⋮
]
=
V
jest bazą przestrzeni,
[
1
2
3
]
=
wtedy
w
=
V
Jak wyznaczyć znając
w
i
V
?
wV
−
1
=
–
baza ortonormalna – najprostszy przypadek
–
warunki istnienia bazy są wystarczające do istnienia odwrotności macierzy
V
–
istnieje wiele metod znajdowania odwrotności macierzy (np. procedura ortogonalizacji
Gramma-Schmidta)
V = eye(3)
w = [3,5,-3]
alfa = w/V
V = 2*eye(3)
alfa = w/V
a co będzie dla bazy innej?
V = [2,0,1; 0,3,-1; 5,-2,0]
czy to w ogóle baza?
v1 = V(:,1); v2 = V(:,2); v3 = V(:,3)
v1*v2'
itd.
Sprawdź to samo dla macierzy
V = [[2;0;6], [0;3;-2], [1;0;3]]
Aproksymacja z błędem
Jeżeli dysponujemy zbiorem zupełnym (danej przestrzeni) czyli bazą to współczynniki
[
1
,
2
,
,
N
]
=
aproksymują nam dowolny wektor w przestrzeni bez błędu. A co jeżeli
mamy zbiór wektorów bazowych niezupełny ?
–
Dowolne elementy są ortogonalne(prostopadłe) w przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy ich
iloczyn skalarny jest równy zero.
–
twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Jeżeli
V
0
jest podprzestrzenią przestrzeni Hilberta
V
każdy element
x
∈
V
da się
przedstawić jako:
x
=
x
0
z , gdzie x
0
∈
V
0
i z
⊥
V
0
Element
x
0
jest rzutem ortogonalnym elementu
x
na podprzestrzeń
V
0
(narysować rysunek)
–
z powyższego wynika zwiększenie wymiaru przestrzeni
- 2 -
Wyznaczanie współczynników reprezentacji
Układ równań macierzowych
[
⋮⋮⋮
v
1
v
2
v
3
Przykładowe bazy
W przestrzeni Euklidesa
Wektory bazowe postaci [1,0,
,
0]
,
[0,1,0
,
,
0]
,
[0,0
,
,
1] tworzą bazę ortonormalną
zupełną
Trygonometryczny szereg Fouriera
s
n
=
a
0
2
∑
k
=1
∞
a
k
cos
k n
b
k
sin
k n
gdzie
a
k
=
1
∫
−
f
n
cos
kn
dn
b
k
=
1
∫
−
f
n
sin
kn
dn
są zwane współczynnikami Fouriera dla funkcji
f
n
na przedziale
−
do
Przykład:
niech
f
n
=
n , dla
−
n
Łatwo zbudować funkcję okresową tzn
f
n
2=
f
n
, dla
−∞
n
∞
W tym przypadku współczynniki będą miały postać:
a
k
=
1
∫
−
n
cos
kn
dn
=0
b
k
=
1
∫
−
n
sin
kn
dn
=2
−1
k
1
k
Tak więc funkcja
s
n
=
a
0
∞
∞
−1
k
1
k
2
∑
k
=1
a
k
cos
k n
b
k
sin
k n
=2
∑
k
=1
sin
k n
, dla
−∞
n
∞
Rozważana funkcja
musi
być okresowa!!! Jeżeli nie jest to trzeba ją „uokresowić”.
x = (-pi:.01:pi);
y = x;
plot(x,y);
K=1; f=0;
for k=1:K
f = f + (-1)^(k+1)/k * sin (k*x);
end
f = 2*f;
plot(x,y,';y;',x,f,';f;');
x = (-3*pi:.01:3*pi); y = mod(x-pi,2*pi)-pi;plot(x,y); # sygnał uokresowiony
- 3 -
Zespolony szereg Fouriera
Wzór Eulera
e
jkn
=cos
kn
j
sin
kn
Szereg Eulera-Fouriera ma postać
∞
f
t
=
1
∞
f
n
=
∑
k
=−∞
c
k
e
jkn
2
∫
−∞
c
k
e
jkt
dk
c
k
=
1
∞
c
k
=
1
∞
2
∑
n
=−∞
f
n
e
−
jkn
2
∫
−∞
f
t
e
−
jkt
dt
Inne bazy
Są też funkcje Walsha i Harra i również one stanowią bazę ortonormalną
- 4 -
[ Pobierz całość w formacie PDF ]