wyklad-semestr1, WSZOP, MATEMATYKA
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1.WIADOMO
´
SCIWSTE
,
PNE.
1.1.Rachunekzda´n.
WmowiepotocznejformuÃlujemytakiezdania,okt´orychmo˙zemypowiedzie´c,˙ze
sa
,
prawdziweba
,
d´zfaÃlszywebezwzgle
,
dunato,jakajestaktualnasytuacjaw
otaczaja
,
cymnas´swiecie.NaprzykÃladzdanie:”Je´slidzi´sjest´sroda,tojutro
be
,
dzieczwartek”jestprawdziwe,azdanie:”3jestliczba
,
parzysta
,
”jestfaÃlszywe.
Natomiastocenaprawdziwo´scizdania:”MatematykajestÃlatwa”zale˙zyju˙zod
subiektywnegoodczuciaosobyjewypowiadaja
,
cej.Wdalszymcia
,
gube
,
da
,
nas
interesowaÃlyzdaniapierwszegorodzaju.Przyjmiemynaste
,
puja
,
ceoznaczeniai
definicje.
Definicja1.1.1.
Zdaniem
nazywamywlogicewypowied´zorzekaja
,
ca
,
,kt´orej
mo˙znaprzypisa´cjedna
,
zdw´ochocen:prawde
,
lubfaÃlsz.
Prawdziwo´s´cifaÃlszywo´s´cnazywamy
warto´sciamilogicznymizdania.
Prawde
,
oznaczamycyfra
,
1,afaÃlszcyfra
,
0.
Zdaniabe
,
dziemyoznacza´csymbolami
p;q;r;s
,awarto´s´clogiczna
,
zdania
w
(
p
).
W´owczas
w
(
p
)=0oznacza,˙zezdanie
p
jestfaÃlszywe,a
w
(
q
)=1oznacza,˙ze
zdanie
q
jestprawdziwe.
Zdanychzda´nmo˙zemyprzypomocysp´ojnik´ow”i”,”lub”,”je´sli...,to...”,
”wtedyitylkowtedy,gdy...”,”nie”tworzy´cnowezdania.Sp´ojnikitenazywamy
funktoramizdaniotw´orczymi
.
Funktoryzdaniotw´orczeoznaczamynaste
,
puja
,
cymisymbolamiinadajemyim
odpowiednionazwy
”nie”
»
negacja
”lub”
_
alternatywa
”i”
^
koniunkcja
”je´sli...,to...”
)
implikacja
”wtedyitylkowtedy,gdy...”
,
r´ownowa˙zno´s´c
Zesp´ojnik´owizda´nprostychmo˙zemytworzy´czdaniazÃlo˙zone.Namocy
przyje
,
tychpoprzedniooznacze´ndefinicje
,
sp´ojnik´owmo˙zemyzapisa´cprzyu˙zyciu
naste
,
puja
,
cejtabelki
p q»pp^qp_qp)qp,q
11 0 1 1 1 1
01 1 0 1 1 0
10 0 0 1 0 0
00 1 0 0 1 1
1
Zbudowaneprzyu˙zyciuzmiennychzdaniowych,funktor´owzdaniotw´orczych
oraznawias´owwyra˙zeniarachunkuzda´nnazywamytak˙zeformuÃlamirachunku
zda´nalboschematamirachunkuzda´n.Ka˙zdaformuÃlastajesie
,
zdaniem,gdyw
miejscewyste
,
puja
,
cychwniejliterpodstawiamyzdania.W´sr´odwszystkichformuÃl
rachunkuzda´nszczeg´olniewa˙zna
,
role
,
peÃlnia
,
tautologie.
Definicja1.1.2.ZdanieprawdziwebezwzgÃledunawarto´scilogicznezda´nskÃla-
dowychnazywamy
tautologia
,
.
Wa˙znymzagadnieniemrachunkuzda´njestsprawdzenie,czydanaformuÃlajest
tautologia
,
.Najcze
,
´sciejstosowana
,
metoda
,
badaniawarto´scilogicznejwyra˙ze´n
rachunkuzda´njest
metodazero-jedynkowa
.Polegaonanarozpatrzeniuwszyst-
kichukÃlad´owwarto´scilogicznychzmiennychzdaniowychwyste
,
puja
,
cychwdanym
wyra˙zeniu.Metode
,
ta
,
zilustrujemynaste
,
puja
,
cymprzykÃladem.
PrzykÃlad1.1.1.Sprawdzi´cczywyra˙zenie
¡
p)q
¢
)
h
¡
q)r
¢
)
¡
p)r
¢
i
jesttautologia
,
.
pqrp)qq)rp)r
(
q)r
)
)
(
p)r
)(
p)q
)
)
[(
q)r
)
)
(
p)r
)]
111 1 1 1 1 1
110 1 0 0 1 1
101 0 1 1 1 1
011 1 1 1 1 1
100 0 1 0 0 1
010 1 0 1 1 1
001 1 1 1 1 1
000 1 1 1 1 1
Zadanie1.1.1.Sprawdzi´cczypodanezdaniasa
,
tautologiami
h
p)
¡
q)r
¢
i
h
¡
p)q
¢
)
¡
p)r
¢
i
)
,
c)
p)
¡
»p)q
¢
,
d)
¡
»p)q
¢
)p
,
e)
¡
p_q
¢
,
¡
»p)q
¢
,
f)
¡
p^q
¢
,
¡
p)»q
¢
,
g)
»
¡
p^q
¢
,
¡
»p_»q
¢
-prawodeMorgana,
2
a)
p)
¡
q)p
¢
,
b)
h)
»
¡
p_q
¢
,
¡
»p^»q
¢
-prawodeMorgana,
h
p^
¡
q_r
¢
i
h
¡
p^q
¢
_
¡
p^r
¢
i
,
-praworozdzielno´scikoniunkcjiwzgle
,
dem
alternatywy,
k)
h
p_
¡
q^r
¢
i
,
h
¡
p_q
¢
^
¡
p_r
¢
i
-praworozdzielno´scialternatywywzgle
,
dem
koniunkcji.
Interptretacjafizycznakoniunkcjiialternatywy.
Niech
p
,
q
oznaczja
,
wyÃla
,
czniki,zkt´orychka˙zdymo˙zeby´cwÃla
,
czony(stan1)albo
wyÃla
,
czony(stan0).Wstanie”1”wyÃla
,
cznikprzewodzipra
,
d,natomiastwstanie
”0”wyÃla
,
czniknieprzewodzipra
,
du.StanukÃladuutworzonegoprzezpoÃla
,
czenie
szeregowewyÃla
,
cznik´ow
p
i
q
zale˙zyodstanuwyÃla
,
cznika
p
iodstanuwyÃla
,
cznika
q
tak,jakwarto´s´clogicznakoniunkcji
p^q
zale˙zyodwarto´scilogicznychzda´n
p
i
q
.Wzwia
,
zkuztymmo˙znapowiedzie´c,˙ze
koniunkcje
,
realizujepoÃla
,
czenieszeregowe.
PodobniestanukÃladuutworzonegoprzezpoÃla
,
czenier´ownolegÃlewyÃla
,
cznik´ow
p
i
q
zale˙zyodstanuwyÃla
,
cznika
p
lubodstanuwyÃla
,
cznika
q
tak,jakwarto´s´clogiczna
alternatywy
p_q
zale˙zyodwarto´scilogicznychzda´n
p
i
q
.Wzwia
,
zkuztym
mo˙znapowiedzie´c,˙ze
alternatywe
,
realizujepoÃla
,
czenier´ownolegÃle.
Warunekkoniecznyidostateczny.
Je˙zelizezdania
p
wynikazdanie
q
(
p)q
),tom´owimy,˙ze
p
jest
warunkiemdostatecznym
(wystarczaja
,
cym)
dlaq,
natomiast
q
jest
warunkiemkoniecznymdlap.
4
±
n)
2
±
n
Podzielno´s´cliczby
n
przez4niejestwarunkiemkoniecznympodzielno´sci
liczby
n
przez2,oczym´swiadczyprzykÃladliczby6,kt´orajestpodzielnaprzez2,
aleniejestpodzielnaprzez4.
Mo˙zesie
,
zda˙zy´c,˙zewarunekkoniecznyjestjednocze´sniewarunkiemdostatecznym.
M´owimyw´owczas,˙zejesttowarunekkoniecznyidostateczny.
PrzykÃlad1.1.3.Podzielno´s´cliczby
n
przez2iprzez5jestwarunkiemkoniecznym
idostatecznympodzielno´sciliczby
n
przez10.
¡
2
±
n^
5
±
n
¢
)
10
±
n
3
i)
»
¡
p)q
¢
,
¡
p^»q
¢
,
j)
PrzykÃlad1.1.2.Podzielno´s´cliczby
n
przez4jestwarunkiemdostatecznym
podzielno´sciliczby
n
przez2.
1.2.Rachunekzbior´ow.
Poje
,
ciezbioruinale˙zeniadozbioruprzyjmujemyjakopierwotneiniewyma-
gaja
,
cedefiniowania.
Je˙zelielement
a
nale˙zydozbioru
A
,topiszemy
a2A
,wprzeciwnymprzy-
padku,gdyelement
a
nienale˙zydozbioru
A
piszemy
a62A
.
Definicja1.2.1.Zbi´or,kt´oregowszystkimielementamisa
,
a
1
;a
2
;:::;a
n
nazy-
wamy
zbioremsko´nczonym.
Zbi´or,kt´oryposiadatylkojedenelementnazywamy
zbioremjednoelemen-
towym.
Zbi´or,dokt´orego˙zadenelementnienale˙zynazywamy
zbiorempustym.
Zbi´or,kt´oryniejestanisko´nczony,anipustynazywamy
zbioremniesko´nczo-
nym.
Niech
A
i
B
be
,
da
,
dowolnymizbiorami.
Definicja1.2.2.M´owimy,˙zezbi´or
A
jest
r´owny
zbiorowi
B
,gdyka˙zdyelement
zbioru
A
jestelementemzbioru
B
ika˙zdyelementzbioru
B
jestelementemzbioru
A
.Piszemywtedy
A
=
B
.
Okre´slimyterazdziaÃlanianazbiorach.
Definicja1.2.3.
Suma
,
zbior´ow
A
i
B
nazywamyzbi´orzÃlo˙zonyzewszystkich
element´ow,kt´orenale˙za
,
dozbioru
A
lubdozbioru
B
.
a2
¡
A[B
¢
,
h
¡
a2A
¢
_
¡
a2B
¢
i
Definicja1.2.4.
Iloczynem
zbior´ow
A
i
B
nazywamyzbi´orzÃlo˙zonyzelement´ow,
kt´orejednocze´snienale˙za
,
dozbioru
A
idozbioru
B
.
a2
¡
A\B
¢
,
h
¡
a2A
¢
^
¡
a2B
¢
i
Definicja1.2.5.
R´o˙znica
,
zbior´ow
A
i
B
nazywamyzbi´orzÃlo˙zonyztychele-
ment´ow,kt´orenale˙za
,
dozbioru
A
inienale˙za
,
dozbioru
B
.
a2
¡
AnB
¢
,
h
¡
a2A
¢
^»
¡
a2B
¢
i
Definicja1.2.6.Je˙zelika˙zdyelementzbioru
A
nale˙zydozbioru
B
,tom´owimy,
˙ze
zbi´orAzawierasie
,
wzbiorzeB.
a2
¡
A½B
¢
,
h
¡
a2A
¢
)
¡
a2B
¢
i
4
Definicja1.2.7.Zbiory
A
i
B
nazywamy
rozÃla
,
cznymi,
je˙zeliniemaja
,
wsp´olnego
elementu,tzn.
A\B
=
;
.
Przypu´s´cmyteraz,˙zewszystkierozpatrywaneprzeznaszbiory,wustalonym
zagadnieniusa
,
podzbioramijednegozbioru,kt´oryoznaczymyprzez
X
.Wtedy
dlaka˙zdegorozpatrywanegozbioru
A
mamy:
A½X
.Zbi´or
X
nazywa´cbe
,
dziemy
przestrzenia
,
.
Definicja1.2.8.
DopeÃlnieniemzbioruA
(doprzestrzeni
X
)nazywamyzbi´or
A
0
=
XnA
.
h
¡
x2X
¢
^»
¡
x2A
¢
i
x2A
0
,
PrzykÃlad1.2.1.DopeÃlnieniemzbioruliczbujemnych(dozbioruliczbrzeczy-
wistych)jestzbi´orliczbnieujemnych.
Ka˙zdedziaÃlaniewrachunkuzbior´owmasw´ojodpowiednikwrachunkuzda´n
inaodwr´ot.Mo˙zemytoustali´cpor´ownuja
,
cokre´sleniaodpowiednichdziaÃla´n.Na
przykÃladiloczynowizbior´owodpowiadakoniunkcja,gdy˙z
a2A\B
wtedyitylko
wtedy,gdy
a
jestelementemzbioru
A
i(koniunkcja)jestelementemzbioru
B
.
Fakttenprowadziwkonsekwencjidowykorzystaniaprawrachunkuzda´nprzy
dowodzeniuprawrachunkuzbior´ow.
Niechdanebe
,
da
,
dwadowolneiniepustezbiory
A
i
B
orazniech
a2A
i
b2B
.
Uporza
,
dkowana
,
pare
,
element´ow
a
i
b
be
,
dziemyoznaczali(
a;b
).
Definicja1.2.8.
Iloczynemkartezja´nskimzbior´owAiB
nazywamyzbi´orupo-
rza
,
dkowanychpar(
a;b
)takich,˙ze
a2A
i
b2B
.
A£B
=
f
(
a;b
):
a2A\b2Bg:
Zadanie1.2.1.Udowodni´cpodaner´owno´sci
a)(
A[B
)
\C
=(
A\C
)
[
(
B\C
),
b)(
A\B
)
[C
=(
A[C
)
\
(
B[C
),
c)(
A[B
)
0
=
A
0
\B
0
,
d)(
A\B
)
0
=
A
0
[B
0
,
e)(
AnB
)
\B
=
;
,
f)
AnB
=
A\B
0
,
g)
AnB
=
An
(
A\B
),
h)(
AnB
)
\C
=(
A\C
)
nB
,
i)(
A\B
)
[
(
A
0
\B
)=
B
.
Zadanie1.2.2.Podajinterpretacje
,
geometryczna
,
napÃlaszczy´znie
OXY
naste
,
-
puja
,
cychzbior´ow
a)
<
2
;
3
>£<
1
;
5
>
, b)N
£f
2
g
,
c)R
£<
1
;1>
, d)R
£f¼g
.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]