wyklad 4-5, AGH IMIR Mechanika i budowa maszyn, Semestr VI, MES
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->PODSTAWOWE TYPY LAMINATÓW WARSTWOWYCHLAMINATY SYMETRYCZNE I ANTYSYMETRYCZNEWybrane typyregularności w układzie warstwlaminatuKlasyfikacji laminatówMacierze sztywności i podatności dla typowych laminatów.5.1. Klasyfikacja kompozytów5.1.1. Definicje,określeniaW celu ułatwienia dalszej lektury zostaną poniżej podanestosowane w kolejnychwykładachokreślenia, definicje i wynikające z nich wnioski. Ze względu na brak w niektórych przypadkachdobrych polskich odpowiedników terminów anglojęzycznych, podano obok użytych terminów polskichich oryginały angielskie.1.Warstwa laminatu-pod pojęciem tym rozumie się grupę połączonych ze sobą pojedynczychwarstw kompozytowych o tej samej orientacji. Przykładowo w laminacie o kodzie [ 0°/90°2/-45°3]są trzywarstwy, tzn. 0°, 90°2i -45°3.2.Laminat symetryczny.Laminat jest symetryczny, jeżeli zachodzą następujące 2 warunkiθ( z) =θ(- z)Qi j(z) = Qi j(-z)(5.1)(5.2)Pierwszy z tych warunków oznacza symetrię ułożenia warstw wzg. płaszczyzny środkowej(symetriageometryczna), a drugi symetrię modułów sztywności (symetria materiałowa). W dalszejczęści będziemy przyjmować, że drugi warunek jest zawsze spełniony,co oznaczażelaminatzłożony jest z warstw tego samego materiału kompozytowego.3.Laminat antysymetryczny.Przy założeniu symetrii materiałowej, warunek antysymetrii laminatudotyczy wyłącznie jego cech geometrycznych i ma postaćθ(z)= -θ(- z)ti= t / Ni = 1, 2, ...,N(5.3)4.Laminat regularny.Jest to taki laminat, w którym wszystkie warstwy mają tę samą grubość, tzn.(5.4)gdzieNoznacza liczbę warstw laminatu,t-jego grubość.1J. German:MECHANIKA KOMPOZYTÓW5.Laminat zrównoważony*). W celu zdefiniowania tego pojęcia oznaczmy symbolem K liczbęwarstw o różnej orientacji kątowej (np. w laminacie [40°5/ -30°2/ -40°5/ -30°3], K = 3). Laminatemzrównoważonym będziemy nazywać laminat, w którym objętościowy udział tych warstw jest takisam, tzn.vi= 1 / Ki = 1, 2, ...,K(5.5)6.Laminat o poprzecznym układzie warstwlub krótkolaminat poprzecznylub częściejnazywany, jakokrzyżowy(ang.cross-ply laminate)-laminat składający się wyłącznie z warstw0° i 90°.7.Laminat o kątowym układzie warstwlub krótkolaminat kątowy(ang.angle-ply laminate)-laminat składający się wyłącznie z warstw +α, -α.8.Laminat dowolny- laminato całkowicie dowolnym układzie geometrycznym warstw ( tzn. ani niesymetryczny, ani nie antysymetryczny).Z podanych powyżej definicji, a także prostych rozważań geometrycznych wynikają następującewnioski1.Każdy laminatsymetrycznymusi się składać znieparzystejliczby warstw.Wynika to z faktu, że wszystkie warstwy znajdujące się po jednej stronie powierzchni środkowejmają swoich "bliźniaków" po jej przeciwnej stronie. Wyjątek stanowi warstwa środkowa, przezktórą przechodzi płaszczyzna środkowa, w związku z czym jest ona "jedynakiem", a zatem liczbawarstw musi być liczbą nieparzystą ("2n+1").2.Każdy laminatantysymetrycznymusi się składać zparzystejliczby warstw.Dowód jest prostymćwiczeniemdla czytelnika.3. Laminatsymetryczny i regularnynie może być zrównoważony.Regularność oznacza, że grubości wszystkich warstw są identyczne. Z symetrii wynika, że laminatskłada się z par warstw , co w połączeniu z pierwszym stwierdzeniem prowadzi do konkluzji, żeobjętościowy udział każdej pary musi być taki sam. Nie dotyczy to jednak warstwy środkowejlaminatu, która nie tworzy pary, jej udział objętościowy musi zatem być dwukrotnie mniejszy odudziału pozostałych warstw. W efekcie laminat nie może być zrównoważony.4. Laminatsymetryczny i zrównoważonynie może być regularny.Ta własność jest konsekwencją rozumowania odwrotnego do przedstawionego powyżej.5. Laminatantysymetryczny,takkrzyżowy,jak ikątowy jest zawsze zrównoważony.Laminat antysymetryczny obu typów można zapisać ogólnie wpostaci.............αa/-αb/αc/-αd/αd/-αc/αb/-αa..... .. .. .. .. ..Dla laminatu poprzecznego przez "α "należy rozumieć konfigurację 0°, a przez "-α"- 90°.Z (5.6) wynika, że liczba pojedynczych warstw "α" wynosi ...+a+c+d+b+..., a warstw "-α" -...+b+d+c+a+...,czyli tyle samo, co oznacza, że także objętościowy udział obu typów warstw musibyć taki sam, a to z kolei oznacza, że laminat musi być zrównoważony.Jeżeli dodatkowo zachodzi warunek ...= a = b = c = d =..., to laminat jest takżeregularny.6. Laminatantysymetryczny, o dowolnym ułożeniu warstw może nie być zrównoważony.Jako dowód wystarcza przykład potwierdzający tezę- [30°/15°2/-40°3/40°3/-15°2/-30°].Widać, żev3 0= v -3 0= 1/12 ; v1 5= v -1 5= 1/6 ; v4 0= v -4 0= 1/4 .(5.6)*)Określenie "laminat zrównoważony" używane jest w literaturze w odniesieniu do laminatów kątowych i oznaczalaminaty o jednakowej ilości warstw +αi -α.Definicja wprowadzona powyżej obejmuje tę sytuację jako przypadekszczególny.2Wykład 455.1.2. Klasyfikacja kompozytówDokonanie klasyfikacji wszystkich możliwych kompozytów jest niemal niewykonalne ze wzg. nawielość kryteriów, wedle których można przeprowadzić taką klasyfikację, jak i wręcz nieograniczonąswobodę w kształtowaniu ich układu geometrycznego. Gdyby uwzględnić kompozyty hybrydowe tzn.takie, w których warstwy różnią się materiałem, to stopień komplikacji radykalnie rośnie. Klasyfikacjaprzedstawiona w tymwykładzieprzyjmuje jako kryterium - cechy geometryczne kompozytów, aponadtoogranicza się dokompozytównajczęściej stosowanych(pojedyncze warstwy i laminaty).Klasyfikacja ta przedstawiona jest na rys. 5.1, na którym uwidoczniono także możliwe kombinacjeróżnych cech laminatów. Na jej podstawie, w następnych podrozdziałach będą podane macierzesztywności dla poszczególnych typów kompozytów. Dla lepszego zrozumienia tej klasyfikacji, w tabeli5.1 zamieszczono zestawienie typów, z podaniem przykładowych kodów laminatów.Dokonana klasyfikacja służy przede wszystkim wprowadzeniu porządku i przejrzystości wnazewnictwie laminatów (można powiedzieć, że w pewnym stopniu ma ona taki sam cel jak podziałmateriałów "standardowych-np. na stale węglowe, niskowęglowe, stopowe, żeliwo, staliwo, stopy,metale kolorowe itd.). Nie można natomiast powiedzieć, że z przynależnością do każdej zwyróżnionych klas wiążą się zawsze uproszczenia w budowie np. macierzy sztywności.IZOTROPOWASPECJALNIEORTOTROPOWAOGÓLNIEORTOTROPOWAWARSTWALAMINATSYMETRYCZNYANTYSYMETRYCZNYWARSTWYIZOTROPOWEQUASI-IZOTROPOWYDOWOLNYKĄTOWYPOPRZECZNYDOWOLNYKĄTOWYPOPRZECZNYR,ZR, NZNR, ZNR, NZR,ZR, NZNR, ZNR, NZR, Z - regularny, zrównoważonyR, NZ - regularny, niezrównoważonyNR, Z - nieregularny, zrównoważonyNR, NZ - nieregularny, niezrównoważonyRys. 5.1. Klasyfikacja podstawowych laminatów i pojedynczych warstw.Często bywa tak, że uproszczenia występują, ale nieograniczona dowolność w ułożeniu warstwlaminatów, nawet należących do tej samej grupy, uniemożliwia ich wspólny zapis formalny i zarazemformalny zapis tych uproszczeń (przykładowo-z tych samych warstw można zbudować laminaty okodach: [0/903/02/90/02/90/02/903/0], [02/903/0/90/02/90/0/903/02], [03/903/02/902/02/903/03], itd.,wszystkie należące do grupy laminatów symetrycznych, poprzecznych, zrównoważonych, a przecieżróżniące się liczbą warstw, ich grubością i kolejnością).W kolejnych puktachbędą omówione podstawowe grupy kompozytów, wraz z możliwie najprostszymi,ogólnymi postaciami macierzy sztywności. Obliczenia będą pominięte, gdyż w wielu przypadkach sądługie–dociekliwy czytelnik może je potraktować, jako zadanie do samodzielnego wykonania.3J. German:MECHANIKA KOMPOZYTÓWKONFIGURACJA LAMINATUCECHY LAMINATURegularny, zrównoważonySYMETRYCZNYKrzyżowanie istnieje0/90/00/902/00/903/00/90nie istnieje0/902/02/90nie istniejeKątowanie istniejeα/-α/αα/-α2/αα/-α3/αα/-αnie istniejeα/-α2/α2/-αnie istniejeDowolnanie istnieje0/20/00/202/00/203/00/20/-20/9090/0/20/-20/90/090/0/202/-202/90/090/0/203/-203/90/0Regularny, niezrównoważonyNieregularny, zrównoważonyNieregularny, niezrównoważ.Regularny, zrównoważonyANTY-SYMETRYCZNYRegularny, niezrównoważonyNieregularny, zrównoważonyNieregularny, niezrównoważ.TABELA 5.1. Przykłady kodów typowych laminatów5.2. Kompozyty symetrycznePodstawową i ważną właściwością wszystkich kompozytów symetrycznych, bez względu na ichdalsze cechy, jest to, że macierz sztywności sprzężeń jest macierzą zerowąBij= 0(5.7)Wynika to wprost z postaci równania (4.26), określającego elementy tej macierzy. Ze względu nasymetrię, każdej warstwie odpowiada jej zwierciadlane odbicie względem płaszczyzny środkowej,różniące się jedynie znakiem współrzędnej środka ciężkości. Tak więc sumy odpowiednich iloczynówdla każdej pary warstw muszą się zerować.Z tego samego powodu co powyżej, w kompozytach symetrycznych nie mogą wystąpić wypadkowemomenty termiczne, tzn.{MT}={0}(5.8)To sprawiam.in., że laminaty symetryczne nie wykazują tendencji doulegania zwichrzeniu w czasieutwardzania po procesie laminacji.W konsekwencji równań (5.7) i (5.8) równania fizyczne dla kompozytu symetrycznego są zawszerozprzęgnięte i przyjmują postać{M}=[D]{o}κ{ε}=[A]−1{N}+z[D]−1{M}{N}=[A]{εo}(5.9)(5.10)Po odwróceniu powyższych równań, odkształcenia w dowolnej warstwie laminatu wyrażają sięzwiązkiem(5.11)Korzystając z równania (4.50), równania fizyczne, określające naprężenia w "k-tej"warstwie laminatusymetrycznego można zapisać w postaci{σ}k=[Q]k[A]−1{N}+[Q]k{[A]−1{NT}−{α}k∆T}+z[Q]k[D]−1{M}{σ}k=[Q]k[A]−1{N}+[Q]k{[A]−1{NT}−{α}k∆T}(5.12)Dla stanu tarczowego równanie to upraszcza się do postaci(5.13)Dalsze uproszczenia, dotyczące w szczególności macierzy sztywności tarczowej i zginania, możliwesą dla laminatów charakteryzujących się nie tylko symetrią, ale dodatkowo innymi, specyficznymicechami budowy geometrycznej.4Wykład 455.2.1. Pojedyncze warstwyIndywidualna warstwa, z oczywistych powodów zawsze jest symetryczna względem płaszczyznyśrodkowej. Nie tworzy ona oczywiście laminatu, ale dla łatwiejszego zrozumienia dalszych rozważańzostaną tu przypomniane podstawowe wiadomości jej dotyczące. W równym stopniu odnoszą się onerównież do specyficznego rodzaju laminatu, jakim jest układ wielu pojedynczych warstw połączonychze sobą, identycznych pod względem materiałowym i ułożonych w identyczny sposób geometryczny.Taki laminat makroskopowo tworzy jedną warstwę. Omówiona będzie także warstwa izotropowa, któramoże być kompozytem (np. kompozyt z drobno pociętymi włóknami, losowo rozłożonymi w matrycy),ale z reguły nim nie jest. Układ różnych warstw izotropowych stanowi już jednak klasyczny laminat(np. bimetale), toteż celowe jest włączenie do analizy także pojedynczej warstwy izotropowej.♦Warstwa izotropowaJedyne dwie niezależne stałe sprężyste dla warstwy izotropowej to moduł YoungaEi wsp. Poissona�½.Moduł ścinaniaGjest zależny odEi�½.Macierz sztywności, znana z teorii sprężystości, ma postać1�½K[Q]= �½10 0(1−�½) /2K=(1−�½)2E(5.14)Można ją także uzyskać jako szczególny przypadek anizotropii, korzystając np. ze związków (2.42),kładąc w nichE1=E2=E,�½1 2=�½2 1=�½.Ze względu na fakt, że materiał izotropowy jest niewrażliwy na zmianękierunku, zredukowana itransformowana macierz sztywności muszą być oczywiście identyczne. Wykazanie tego trywialnegospostrzeżenia w oparciu o zależności obowiązujące dla materiału anizotropowego może stanowićdobry sprawdzian poprawności tych zależności. Korzystając z macierzy (5.14), natychmiast widać zrównań (3.20), że współczynniki transformacyjneU2i U3wynoszą0,zaś pozostałe przyjmują postaćU1=KU4=K�½U5=K (1 -�½) / 2(5.15)Biorąc pod uwagę (5.15) i zależności transformacyjne ujęte w tabeli 3.2 łatwo stwierdzić, że prowadząone dla przypadku izotropii do oczekiwanego rezultatu, gdyż istotnie otrzymujemy z nich, że[Q]=[Q](5.16)Korzystając z równań (4.25) i (4.27) otrzymujemy macierze sztywności tarczowej i giętnej[A]=[Q]t[D]=[Q]t3/12♦Warstwa kompozytowa w konfiguracji osiowej (warstwa specjalnie ortotropowa)(5.17)(5.18)Zredukowana macierz sztywności [Q] określona jest przez związek (2.42) i ma postać (5.19). Macierztransformowana jest w tym przypadku tożsama z macierzą zredukowaną. Korzystając z ogólnychpostaci macierzy sztywności tarczowej– rów.(4.25) i sztywności zginania– rów. (4.27), otrzymamy szczególnepostacie tych macierzy dla warstwy specjalnie ortotropowejw formie równań odpowiednio (5.20) i (5.21)E11−�½ �½12 21[Q]=Q= E2�½121−�½12�½21E1�½211−�½12�½211−�½12�½21E2[ ]G12(5.19)[A]=[Q]t(5.20)(5.21)[D]=[Q]t3/125
[ Pobierz całość w formacie PDF ]