wybocz, POLITECHNIKA, Wytrzymałość materiałów, Wytrzymałość materiałów-studia dzienne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
1
1. ANALIZA SŁUPA MIMOŚRODOWO ŚCISKANEGO
ZADANIE
:
przeanalizować zachowanie słupa wolnopodpartego mimośrodowo ściskanego siłą P
(obciążenie konserwatywne). Mimośród e mierzony jest od środka ciężkości przekroju do linii
działania siły P.
P
Mx Pe wx
( )
= +
[ ]
( )
e
M,w
EIw x
′′ =− =− +
( ) ( )
M x
P e w x
[ ]
( )
x
k
def
2
=
P
EI
w
L
wx kwx ke
′′ +
(
)
(
)
2
= −
2
wx w x w x
( ) ( ) ( )
=
oRJ
+
sRN
P
e
wx
oRJ
=
( )
Ckx C kx
1
sin
+
2
cos
wx
sRN
=−
( )
e
wx C kx C kx e
( )
=
1
sin
+
2
cos
−
∗
warunki brzegowe dla wyznaczenia stałych całkowania C
1
i C
2
( )
wx
==
00
;
wx L
( )
==
0
Ce
=
;
Ce
=
1
−
cos
sin
kL
kL
=
e
tan
kL
2
1
2
wx e
(
)
=
tan
kL
sin
kx
+
cos
kx
−
1
2
wwx
= =
L
=
e
sec
kL
−
1
2
2
P
P
kr
e=0
e
1
we
=
sec
kL
−
1
max
e
2
2
e
3
k
=
P
EI
e
3
> e
2
> e
1
w
max
max
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
2
∗
związek w
max
z siłą P jest
nieliniowy,
mimo że wykorzystano zlinearyzowane równanie linii
ugięcia (zlinearyzowany wzór na krzywiznę), jak również liniowy związek fizyczny (w oparciu o
niego otrzymano równanie linii ugięcia). Jest to wynikiem „sprzężenia” momentu zginającego z
ugięciami (moment zginający nie da się określić bez znajomości ugięć). Mówiąc inaczej - jest to
wynik
odstępstwa od zasady zesztywnienia
(mówi ona, że wpływ przemieszczeń na wielkości
sił przekrojowych jest pomijalny)
∗
ugięcie rośnie nieograniczenie, gdy siła zmierza do pewnej wartości, którą nazwano siłą
krytyczną P
kr
.
w
→∞ ⇔
cos
kL
→
0
max
2
kL n
=
π
n
=
13 5
, , ....
22
Pn
=
2
π
2
EI
P
kr
=
π
2
EI
L
2
L
2
∗
jeżeli mimośród e=0, ugięcie w
max
wynosi:
dla skończonej i dodatniej wartości
sec
kL
−
czyli
kL
<
π
;
w
max
=
0
2
22
dla
kL
=
π
czyli P P
=
;
w
max
jest nieokreślone i możeprzyjmować dowolną wartość
kr
22
Tak długo, jak P<P
kr
pręt zachowuje się w sposób „stateczny”, tzn. znajduje się w stanie
początkowej równowagi prostoliniowej. Wówczas,
gdy siła osiągnie wartość krytyczną P
kr
pręt
traci stateczność (ulega wyboczeniu),
a jego ugięcia mogą być dowolnie duże.
Wyboczenie
jest to zatem
utrata
przez ściskany pręt
stanu równowagi statecznej na rzecz
równowagi obojętnej lub niestatecznej
.
P < P
kr
P
≅
P
kr
P > P
kr
równowaga
stateczna
równowaga
obojętna
równowaga
niestateczna
1
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
3
1.1. Naprężenie w słupie z odstępstwem od zasady zesztywnienia
w
z
P
x
P
M
y
e
e
x
P
Me
=
sec
kL
max
2
σ
max
=− −
P
A
M
max
z
max
= +
P
A
1
Ae
W
sec
LP
EI
I
2
( I człon opisuje osiowe ściskanie pręta, zaś drugi - zginanie słupa )
σ
max
= +
P
A
1
Ae
W
sec
L
r
P
EA
<
R
∗
naprężenie maksymalne
przy wykorzystaniu zasady zesztywnienia
(postępowanie
analogiczne, jak w przypadku mimośrodowego rozciągania)
σ
max
=− −
P
A
M
max
z
max
=− −
P
A
Pe
I
z
max
= +
P
A
1
Ae
W
<
R
I
∗
Przykład liczbowy
Obliczyć nośność pręta ściskanego P, wykonanego z dwuteownika 120, o długości L=5 m.
y
I
x
= ×
328 10
−
84
m
A
= ×
14 2 10
.
−
42
m
x
E
=
210
Pa
R
=
200
MPa
e
=
005
.
m
Rozwiązanie:
∗
bez zasady zesztywnienia (teoria II rzędu)
P
II
=
91.
kN
∗
z zasadą zesztywnienia
P
I
=
123 .
kN
∆
P = 26 %
2. SIŁA KRYTYCZNA DLA SŁUPA
2.1. Zakres liniowo sprężysty
∗
analizowany jest tzw.
słup
idealny
, tzn. idealnie prosty i obciążony centralnie przyłożoną siłą
ściskającą P
∗
materiał słupa jest liniowo sprężysty (materiał Hooke’a)
2
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
4
∗
pręt swobodnie podparty
P
Mx Pwx
( ) ( )
=
kr
( ) ( ) ( )
M,w
EIw x
′′ =− =−
M x
P w x
kr
x
def
P
EI
k
2
=
kr
wx kwx
′′ +
( ) ( )
2
=
0
w
L
wx A kxB kx
( )
=
sin
+
cos
wx
( )
== ⇒ =
00
B
0
wx L
( )
== ⇒ =
0
0
A kL
sin
P
kL n
=
π
;
n
=
12 3
, , .....
wx A
( )
=
sin
nx
L
π
P
EI
=
n
L
π
⇒
P
kr
=
nI
L
22
2
( )
π
2
EI
minP
= = = =
P n
1
P
kr
kr
E
L
2
∗
pręt wspornikowy
f
Mx
( )
=− −
P f wx
kr
[ ]
( )
P
kr
M,w
EIw x
′′ =−
( ) ( )
M x
x
k
2
=
def
P
EI
kr
w
wx A kxB kx f
( )
=
sin
+
cos
+
L
wx
( )
== ⇒ =
0
f
B
0
wx L
( )
== ⇒ = +
0
0
A kL f
sin
wxL
′ == ⇒ =
( )
0
0
kA kL
cos
kL n
=
π
2
;
n
=
, , .....
P
EI
=
n
π
⇒
P
kr
=
nI
L
22
2
π
2
L
( )
2
(
)
π
2
EI
L
minP P n
= = = =
1
P
kr
kr
E
( )
2
2
kr
13 5
kr
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
5
∗
ogólna postać siły krytycznej (siły Eulera 1707-1783)
L
L
L
L
długości wyboczeniowe L
w
L
w
= L
L
w
= 2 L
L
w
≅
1
2
L
L
w
=
1
2
L
PP
==
π
2
EI
L
min
kr
E
2
w
∗
podstawowe zasady kształtowania słupów
¬
siła krytyczna
, jako obciążenie powodujące wyboczenie słupa (z reguły wyboczenie oznacza
utratę przez konstrukcję zdolności do prawidłowej pracy),
powinna być jak największa
¬
siła krytyczna jest proporcjonalna do sztywności giętnej słupa E I
min
i odwrotnie proporcjonalna
do długości wyboczeniowej L
w
- tak więc
zwiększenie siły P
kr
może nastąpić jedynie
w
drodze odpowiedniego ukształtowania przekroju poprzecznego lub/i schematu
statycznego
słupa. Nie zwiększa siły krytycznej zastosowanie materiału o bardzo wysokiej
wytrzymałości !
¬
w przypadku słupów przez
odpowiednie ukształtowanie przekroju
rozumie się taki dobór
jego geometrii, który
z określonej ilości materiału
pozwala
uzyskać przekrój o
maksymalnej sztywności
, czyli maksymalnym momencie bezwładności. Można to osiągnąć
poprzez rozmieszczenie materiału tak daleko od środka ciężkości przekroju, jak to tylko
możliwe.
Przykład.
Pole przekroju słupa ma wynosić A=50 cm
2
. Porównać siły krytyczne dla słupa o przekroju
prostokątnym, kołowym i rurowym.
h
hb k
=
;
k
>
1 ; A k b
=
2
; I
min
= =
hb
3
A
2
b
12 12
k
R
AR I
π
2
;
=
π
R
4
; R
=
3989
.
cm
; I
=
198 944
.
cm
4
4
k
=
R
r
;
π
ARr
= − =
( )
22
π
r
2
2
2
R
r
−
1
=
π
rk
( )
−
1
r
R
I
= − =
π
( ) ( )
Rr
π
44
−
1
4
4
=
22
44
r k
[ Pobierz całość w formacie PDF ]