wykl mechanika budowli 05 wplyw temperatury metoda mohra, WSEiZ, Architektura i Urbanistyka, Mechanika budowli
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
W
PŁYW TEMPERATURY I BŁĄDÓW
,
SPOSÓB
W
ERESZCZEGINA
-
M
OHRA OBLICZANIA CAŁEK
1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J
ERZY
R
AKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 5
UWZGLĘDNIENIE WPŁYWU TEMPERATURY, OSIADANIA
PODPÓR I BŁĘDÓW MONTAŻOWYCH W RÓWNANIU PRACY
WIRTUALNEJ.
1.1. Krótko o podporach sprężystych.
Pod nazwą podpór sprężystych rozumiemy takie, które przemieszczają się pod
wpływem występujących w nich reakcji wprost proporcjonalnie do ich wartości. Oto
dwa przykłady podpór sprężystych (rys.1.1):
W przypadku podpory pierwszej (rys.1.1a)
pod wpływem reakcji R sprężyna ulegnie skróceniu-
zaobserwujemy osiadanie podpory. Druga zaś
podpora (rys.1.1b) to podpora podatna na obrót-tym
razem zaobserwujemy obrót podpory wywołany
występującym w niej momentem podporowym.
Sprężyna z rys.1.1a możebyć modelem
pręta podporowego.
Rys.1.1a i b
Przykład:
Załóżmy, że w naszej podporze (rys.1.2)
pod wpływem działania siły normalnej N, pręto
długości początkowej
l
ulegnie skróceniu o
l
.
Zgodnie z prawem Hooka możemy zapisać, że:
l
=
N
l
(1.1)
E
A
z powyższego związku otrzymujemy proporcjonalną
zależność między siłą działającą na pręt a jego
skróceniem (bądź wydłużeniem):
Rys.1.2
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
W
PŁYW TEMPERATURY I BŁĄDÓW
,
SPOSÓB
W
ERESZCZEGINA
-
M
OHRA OBLICZANIA CAŁEK
2
f
=
l
[]
[]
(1.2)
l
=
N
f
E
A
N
gdzie:
lub inaczej:
l
=
N
=
1
m
(1.3)
f
gdzie:
przy czym:
Κ
-to tzw. sztywność podpory-jest to wartość siłyjaką należyprzyłożyć do
podpory by zmienić jej długość o jednostkowe wydłużenie.
f
-to tzw. podatność podpory-jest to wartość wyrażona w jednostkach
długości, która stanowi wynik działania siły jednostkowej.
1.2. Wpływ temperatury.
Dowolny układ może doznać odkształcenia pod wpływem działania określonej
temperatury. Jeżeli wszystkie włókna doznają tego samego ogrzania mówimy o tzw.
ogrzaniu równomiernym jeśli zaś temperaturą zróżnicowaną o tzw. ogrzaniu
nierównomiernym.
Załóżmy, żemamypręt o przekroju jak na rysunku (rys.1.3) poddany działaniu
pola dodatniej temperatury, przy czym temperaturę wwłóknach dolnych oznaczać
będziemy przez
t
d
, temperaturę przy włóknach górnych przez
t
g
.
Rys.1.3
Zgodnie z zasadą superpozycji zastąpiliśmy pole temperatury dwoma polami, z
czego pierwszy określa nam
0
t
-temperaturę w środku ciężkości przekroju. Wyznaczmy
ją:
dla przekrojów niesymetrycznych :
zgodnie z twierdzeniem Talesa mamy:
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
m
N
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
W
PŁYW TEMPERATURY I BŁĄDÓW
,
SPOSÓB
W
ERESZCZEGINA
-
M
OHRA OBLICZANIA CAŁEK
3
(1.4)
t
0
t
g
=
h
g
( )
t
t
h
=
h
(
t
t
)
t
t
h
0
g
d
g
d
0
d
g
d
t
=
t
g
h
d
+
t
d
h
g
=
t
g
h
d
+
t
d
h
g
0
h
+
h
h
czyli :
d
g
t
=
t
g
h
d
+
t
d
h
g
+
t
g
h
g
t
g
h
g
0
h
lub inaczej:
t
=
t
+
h
g
( )
t
t
0
g
h
d
g
dla przekrojów symetrycznych :
t
0
t
g
=
1
t
t
=
1
( )
t
t
(1.5)
t
t
2
0
g
2
d
g
d
g
t
=
t
g
+
t
d
0
2
Zastanówmy się teraz jaki efekt da równomierne ogrzanie.
=
włókna dolne jak i górne doznają jednakowego wydłużenia (bądź
skrócenia), wracając zatem do równania pracy wirtualnej w którym jednym z członów
jest całka :
Przy
t
g
t
d
l
(1.6)
N
ds
t
0
(przy czym przez
t
rozumiemy odkształcenie wywołane temperaturą)iuwzględniając
to, że:
()
ds
=
ds
t
t
=
ds
t
(
0
t
t
m
)
=
ds
t
t
(1.7)
gdzie:
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
W
PŁYW TEMPERATURY I BŁĄDÓW
,
SPOSÓB
W
ERESZCZEGINA
-
M
OHRA OBLICZANIA CAŁEK
4
ds
-to długość początkowa odcinka pręta
t
-współczynnik rozszerzalności termicznej
t
0
-różnica temperatury obecnej i temperatury montażu ( UWAGA!
w dalszej części rozważań oznaczana jest ona przez
t
)
t
t
m
a:
()
ds
=
ds
(1.8)
to po uwzględnieniu powyższych zależności (1.7 i 1.8) nasza całka (1.6) przyjmuje
postać:
l
(1.9)
0
α
N
t
ds
t
i wyraża wpływ równomiernego ogrzania.
>
),
dojdzie do wydłużenia włókien dolnych przy jednoczesnym skróceniu górnych, czego
wynikiem będzie powstanie krzywizny (rys.1.4).
W równaniu pracy wirtualnej mamy:
Natomiast przy ogrzewaniu pręta temperaturą zróżnicowaną (u nas
t
d
t
g
l
(1.10
)
M
ds
0
tym razem jednak, krzywizna nie jest wywołana
działaniem momentu, lecz różnicą temperatur. Jeżeli
zatem przez:
l
d
-oznaczymy długość włókien dolnych
l
- długość włókien górnych,
to zmianę ich długości możemy wyrazić związkami:
g
Rys.1.4
l
d
=
ds
t
(
d
t
0
)
(1.11)
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
=
t
W
YKŁADY Z
M
ECHANIKI
B
UDOWLI
W
PŁYW TEMPERATURY I BŁĄDÓW
,
SPOSÓB
W
ERESZCZEGINA
-
M
OHRA OBLICZANIA CAŁEK
5
l
g
=
ds
t
(
t
g
t
0
)
(1.12)
przyjmując jednocześnie że,
d
to zmiana kąta i:
d
=
l
d
l
g
(1.13)
h
to po uwzględnieniu powyższych zależności (1.11, 1.12) otrzymujemy:
d
=
α
t
t
ds
(1.14)
t
h
gdzie:
∆
a nasza całka (1.10) przyjm
uje postać:
t
=
t
d
t
g
l
t
(1.15
)
M
t
ds
h
0
i wyraża wpływ nierównomiernego ogrzania.
1.3. Równanie pracy wirtualnej.
Zapiszemy teraz równanie pracy wirtualnej uwzględniając wszystkie wpływy (także
te powyższe z punktu 1.1 i 1.2).
Jeżeli przez
P
rozumiemy siły skupione,
p
-rozkład sił,
v
(
x
)
-przemieszczenie
pionowe to równanie
p
racy przyjmuje p
os
tać:
∫
p
(
x
)
v
(
x
)
+
P
i
+
R
K
K
(1.16
)
i
K
M
M
p
+
t
t
ds
+
N
N
p
+
t
ds
+
T
T
p
ds
EI
h
EA
t
GA
s
s
s
+
R
j
R
j
f
j
+
B
n
b
n
j
1
n
42
43
a
gdzie:
R
-reakcje wirtualne w podporach sprężystych
Rj
-reakcje w podporach sprężystych wywołane obciążeniem rzeczywistym
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
R
-to reakcje wirtualne w podporach o wymuszeniach kinematycznych
j
[ Pobierz całość w formacie PDF ]