wyk-rzad macierzy,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebraliniowazgeometria
,
konspektwykÃladu-2009/10
1
4Rza
,
dmacierzy
Opiszemyterazspos¶obznajdowaniabazyprzestrzenigenerowanejprzezkolumny
macierzy
A
.
Lemat4.1.
NiechA2M
n
m
(
K
)
orazc
1
(
A
)
;c
2
(
A
)
;¢¢¢;c
n
(
A
)
beda
,
kolum-
namimacierzyA:Ponadtoniechc
1
(
A
0
)
;c
2
(
A
0
)
;¢¢¢;c
n
(
A
0
)
be
,
da
,
kolumnami
macierzyA
0
wpostacischodkowejzredukowanejwierszowor¶ownowa_znejz
macierza
,
A.Je¶sliliczbaniezerowychwierszymacierzyA
0
wynosiroraz
c
j
1
(
A
0
)
;c
j
2
(
A
0
)
;¢¢¢;c
j
r
(
A
0
)
sa
,
kolumnamizawierajacymipierwszeniezerowe
wyrazytychwierszyto
1.Kolumnyc
j
1
(
A
)
;c
j
2
(
A
)
;¢¢¢;c
j
r
(
A
)
tworza
,
ukÃladliniowoniezale_zny
2.L
(
c
j
1
(
A
)
;c
j
2
(
A
)
;¢¢¢;c
j
r
(
A
))=
L
(
c
1
(
A
)
;c
2
(
A
)
;¢¢¢;c
n
(
A
))
:
Lemat4.2.
NiechA2M
n
m
(
K
)
.Wtedy
dimL
(
v
1
(
A
)
;v
2
(
A
)
;¢¢¢;v
m
(
A
))=
dimL
(
c
1
(
A
)
;c
2
(
A
)
;¢¢¢;c
n
(
A
))
:
Powyzszylematoznacza,_zedladowolnejmacierzymaksymalnaliczbalin-
iowoniezaleznychwierszyjestr¶ownamaksymalnejliczbieliniowoniezale_znych
kolumn.
De¯nicja4.3.
RzedemmacierzyA2M
n
m
(
K
)
nazywamyliczbe
,
r
(
A
)=
dimL
(
v
1
(
A
)
;v
2
(
A
)
;¢¢¢;v
m
(
A
))=
dimL
(
c
1
(
A
)
;c
2
(
A
)
;¢¢¢;c
n
(
A
))
:
Zauwazmy,_zeje¶sli
A
0
jestmacierzaschodkowa
,
otrzymana
,
z
A
elemen-
tarnymioperacjaminawierszachtorza
,
dmacierzy
r
(
A
)jestr¶ownyliczbie
niezerowychwierszywmacierzy
A
0
.
Niech
U
bedzieukÃlademr¶owna¶nliniowychowspÃlczynnikachwciele
K
8
>
>
>
<
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
¢¢¢a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
¢¢¢a
2
n
x
n
=
b
2
.
.
.
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
¢¢¢a
mn
x
n
=
b
m
U
:
>
>
>
:
Macierz
A
=[
a
ij
]jestmacierza
,
ws¶olczynnik¶owukÃladuamacierz[
Ajb
]gdzie
[
b
]=[
b
i
]jestmacierza
,
ukÃladu
U:
Przytychoznaczeniachmamynastepujace
twierdzenie:
Algebraliniowazgeometria
,
konspektwykÃladu-2009/10
2
Twierdzenie4.4.
(TwierdzenieKroneckera-Capelliego
1.UkÃladUmarozwia
,
zaniewtedyitylkowtedygdyr
(
A
)=
r
(
Ajb
)
:
2.Przestrze¶nrozwia
,
za¶nukÃladujednorodnegoodpowiadaja
,
cegoukÃladowiU
mawymiarn¡r
(
A
)
:
3.Je¶slix
0
jestrozwiazaniemukÃladuU,aWjestprzestrzenia
,
rozwia
,
za¶n
ukÃladujednorodnegoodpowiadajacegoukÃladowiU,tozbi¶orrozwia
,
za¶n
ukÃladuUjestpostacix
0
+
W
=
fx
0
+
xjx2Wg.
Wniosek4.5.
UkÃladUmajednoznacznerozwia
,
zaniewtedyitylkowtedy
gdyr
(
A
)=
r
(
Ajb
)=
n:
5Sumyisumyprostepodprzestrzeniliniowych
Niech
V
bedzieprzestrzenia
,
liniowa
,
nadciaÃlem
K
a
V
1
oraz
V
2
be
,
da
,
pod-
przestrzeniami
V
.Pokazali¶smywpoprzednichrozdziaÃlach,_ze
V
1
\V
2
jest
podprzestrzenia
,
przestrzeni
V:
Pokazali¶smy,tez_ze
V
1
[V
2
jestpodprzestrzenia
,
V
wtedyitylkowtedygdy
V
1
µV
2
lub
V
2
µV
1
:
De¯nicja5.1.
NiechVbedzieprzetrzenia
,
liniowa
,
nadciaÃlemKaV
1
;V
2
;:::;V
k
be
,
da
,
podprzestrzeniamiV.De¯niujemy
V
1
+
:::
+
V
k
=
fv2V
;
v
=
v
1
+
¢¢¢
+
v
k
;v
i
2V
i
g:
Zauwa_zmy,_zeje¶sli
V
1
;V
2
;:::;V
k
be
,
da
,
podprzestrzeniami
V
to
V
1
+
:::
+
V
k
jestpodprzestrzenia
,
V
.Nazywamyja
,
suma
,
podprzestrzeni
V
1
;V
2
;:::;V
k
:
Lemat5.2.
V
1
+
:::
+
V
k
=
L
(
V
1
[V
2
[:::[V
k
:
Niechteraz
V
i
=
L
(
B
i
).Wtedyoczywistejest,_ze
V
1
+
:::
+
V
k
=
L
(
B
1
j:::jB
k
)
:
Twierdzenie5.3.
NiechV
1
;V
2
beda
,
sko¶nczeniewymiarowymipodprzestrzeni-
amiprzestrzeniV.W¶owczas
dim
(
V
1
+
V
2
)=
dimV
1
+
dimV
2
¡dim
(
V
1
\V
2
:
)
De¯nicja5.4.
Przestrze¶nVjestsuma
,
prosta
,
swoichpodprzestrzeniV
1
;V
2
;:::;V
k
,
jeslika_zdywektorv2Vdajesie
,
jednoznacznieprzedstawi¶cjakov
=
v
1
+
¢¢¢
+
v
k
;v
i
2V
i
:Piszemyw¶owczasV
=
V
1
©¢¢¢©V
k
:
Algebraliniowazgeometria
,
konspektwykÃladu-2009/10
3
Oczywi¶scieka_zdasumaprostajestsuma
,
podprzestrzeni.
Twierdzenie5.5.
NiechV
1
;V
2
be
,
da
,
podprzestrzeniamiprzestrzeniV.W¶owczas
V
=
V
1
©V
2
,V
=
V
1
+
V
2
;V
1
\V
2
=0
:
Wprzypadkusumywie
,
cejnizdwupodprzestrzeniwarunekpoprawej
stroniejestbardziejskomplikowany.
Wniosek5.6.
NiechV
1
;V
2
be
,
da
,
podprzestrzeniamisko¶nczeniewymiarowej
przestrzeniV.ZaÃl¶o_zmy,zeV
1
\V
2
=0
.W¶owczas
V
=
V
1
©V
2
,V
=
V
1
+
V
2
:
Twierdzenie5.7.
NiechV
=
V
1
+
¢¢¢
+
V
k
orazniechB
i
be
,
dziebaza
,
przestrzeniV
i
,dlai
=1
;¢¢¢;k.Wtedynaste
,
puja
,
cewarunkisa
,
r¶ownowa_zne:
1.V
=
V
1
©¢¢¢©V
k
:
2.UkÃlad
(
B
1
j ::: jB
k
)
jestbaza
,
przestrzeniV.
3.UkÃlad
(
B
1
j ::: jB
k
)
jestliniowoniezale_zny.
Niechteraz
W
be
,
dziepodprzestrzenia
,
sko¶nczeniewymiarowejprzestrzeni
V
.Istniejepodprzestrze¶n
U<V
,taka_ze
V
=
W©U
.Podprzestrze¶ntaka
,
nazywamy
podprzestrzenia
,
dopeÃlniaja
,
ca
,
.Niejestonawyznaczonajednoz-
nacznie,alewszystkiepodprzestrzeniedopeÃlniaja
,
cemaja
,
tensamwymiar
r¶owny
dimV¡dimW
.R¶oznice
,
wymiar¶ow
dimV¡dimW
nazywamy
kowymi-
arem
podprzestrzeni
W
ioznaczamy
codimW
.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]