wyk 06B, Geometria wykreślna, Tematy, wyklady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Scriptiones GeometricaVolumen I (2014), No. 6B, 1–17.Geometria odwzorowa´ in˙ ynierskichn zrzut ´rodkowy 06BsEdwin Ko´niewskizZaklad Informacji Przestrzennej1. Klad plaszczyznyRys. 6B-01: Konstrukcja kladu plaszczyzny w rzucie ´rodkowym: a) rysunek pogl¸dowy; b) kon-sastrukcja kladu punktu (A) i prostejaplaszczyznyαOmawiane dotychczas konstrukcje nie mialy charakteru miarowego a jedynie afiniczny (wrzeczywisto´ci) i rzutowy (w rzucie ´rodkowym). W szczeg´lnych przypadkach, gdy pewnessoelementy odwzorowywanego obiektu le˙ a na tle ( np. geometryczny model bryly domkuz¸odwzorowany w perspektywie pionowej w zadaniach 11, wn¸trze pokoju zrealizowane w per-espektywie jednozbie˙ nej w wykladzie 6C) mo˙ na, bez znajomo´ci konstrukcji miarowych wzzsrzucie ´rodkowym, narysowa´ ten obiekt z uwzgl¸dnieniem jego wymiar´w. By m´c wykre´li´sceoos cEdwin Ko´niewski c 2014 Politechnika Bialostocka, Bialystokz2E. Ko´niewski: Geometria odwzorowa´ in˙ ynierskich, rzut ´rodkowy 06Bzn zsbryl¸ w rzucie ´rodkowym, w przypadku og´lnym powinni´my pozna´ wcze´nie konstrukcjeesoscsmiarowe. Nale˙ a do nich: klad plaszczyzny - konstrukcja uniwersalna stosowana w wieluz¸rzutach oraz specjalna dla rzutu ´rodkowego metoda punkt´w mierzenia. Aby m´c wykre´li´soos cobiekty o okre´lonych wymiarach mo˙ na poslu˙ y´ si¸ kladem. Om´wimy teraz klad w rzucieszz c eo´rodkowym. Przez klad b¸dziemy rozumie´ obr´t plaszczyzny o taki k¸t, ze pokryje sie ona zsecoa ˙tlem (rys. 6B-01). Przyjmijmy, ze na danej plaszczy´nieαle˙ y prostaa.Aby wykona´ klad˙zzcRys. 6B-02: Konstrukcja kwadratu le˙ acego na plaszczy´nieαo wierzcholku w punkcieAi bokuz¸zna danej prosteja(A∈a).Pocz¸tek konstrukcji tak jak w przypadku prostok¸ta (znajdujemy ´ladaaszbieguZc(=Zd) prostych prostopadlych do prostejai konstruujemy klady prostychaidplaszczyznyαdokonamy obrotu plaszczyzny zbiegu tej plaszczyzny (na rysunku 6B-01a jestto plaszczyznaα−z).Wszak mo˙ emy przyj¸´, ze wraz z obrotem plaszczyznyαobraca si¸zac ˙eotak˙ e stowarzyszona z ni¸ plaszczyzna zbieguα−z.Oko zajmie polo˙ enieO, za´ promie´zazsnozbiegu prostejapolo˙ enieO Za(rys.6B-01a, b). K¸tω,jaki tworzy prostaaze ´lademzasotlowymtαplaszczyznyα,jest r´wny k¸towi jaki tworzy promie´ zbieguO Zatej prostej zeoan´ladem zbieguzαplaszczyznyα.Ten sam k¸t tworzy oczywi´cie kladaoprostejaze ´lademsasstlowymtαplaszczyznyα(rys. 6B-01b). Nale˙ y zauwa˙ y´, ze tak jak w przestrzeni, mi¸dzyzz c ˙erzutem perspektywicznym obiekt´w plaszczyznyαoraz mi¸dzy kladem tej plaszczyzny za-oe´chodzi kolineacja ´rodkowa. Srodkiem tej kolineacji jest punktOo, osi¸ kolineacji ´ladtα,sasprost¸ graniczn¸ ´lad zbieguzα. Sk¸d bierze si¸ kolineacja? Zwr´´my uwag¸ na rysunekaa saeocepogl¸dowy 6B-01a. Obr´´my zatem r´wnocze´nie plaszczyznyαiα−z(plaszczyzna zbieguaocosplaszczyznyα)dokola odpowiednio ´ladu tlowegotαi ´ladu zbieguzαo taki k¸t, by plaszczynyssate pokryly si¸ z tlem (τ ). PunktOi punktAzatocz¸ okr¸gi, prosteZaOorazTaAzakre´l¸eaasafragmenty powierzchni sto˙ kowych o wierzcholkachZa,Tai k¸cie rozwarciaω.Powierzch-zanie te s¸ jednokladne o ´rodku jednokladno´ciAs, b¸d¸cym punktem przeci¸cia si¸ prostychasse aeeZaTaorazOA.Zatem przez punktAsprzechodzi prostaOoAo. PunktyOo,Ao,Ass¸ wi¸ca ewsp´lliniowe. St¸d mi¸dzy rzutem ´rodkowymAspunktuAi klademAotego punktu za-oaeschodzi zwi¸zek kolineacyjny o ositαi prostej granicznejzα. Rysunek 6B-01b przedstawiaaE. Ko´niewski: Geometria odwzorowa´ in˙ ynierskich, rzut ´rodkowy 06Bzn zs3Rys. 6B-03: Konstrukcja kwadratu (cd): a1) w kladzie na prostychaoidoodmierzamy odcinek qRys. 6B-04: Konstrukcja kwadratu (cd): a2) w kladzie konstruujemy pozostale prosteboicoodmierzamy odcinek qkonstrukcj¸ kladu punktuA(i r´wnocze´nie prosteja).Rysunki 6B-02÷6B-05 ilustruj¸eosakonstrukcj¸ rzutu ´rodkowego kwadratu o boku przystaj¸cym do danego odcinka q.esa4E. Ko´niewski: Geometria odwzorowa´ in˙ ynierskich, rzut ´rodkowy 06Bzn zsRys. 6B-05: Konstrukcja kwadratu (cd): a3) w kladzie konstruujemy pozostale prosteboicoipowracamy do rzutu poprzez konstrukcj¸ prostychcsibs. Zauwa˙ my, ze tr´jki punkt´w (Ao,As,ez˙ooo); (Bo,Bs,Oo); (Co,Cs,Oo); (Do,Ds,Oo) s¸ wsp´llinioweOao2. Punkty mierzeniaRozwa˙ my prost¸ai zawarty w niej odcinekABw rzucie ´rodkowym oraz klad tych ele-zasment´w (rys. 6B-06). Wyznaczmy punktMaprzeci¸cia si¸ okr¸gu o ´rodkuZai promieniuoeees[ZaOo] z prost¸zα. Otrzymany punktMauwa˙ ajmy za ´lad zbiegu prostychm1,m2prze-azschodz¸cych przez punktyAiB.Dokonajmy kladu prostychm1,m2. Z wlasno´ci kladu (obra-ascane s¸, jak pami¸tamy, plaszczyznaαi, stowarzyszona z ni¸, jej plaszczyzna zbieguα−z)aeamamy r´wnoleglo´´i:OoMa||mo||mo;OoZa||ao. Tr´jk¸tOoMaZajest r´wnoramienny. Zatemosco ao12tr´jk¸tyA∗TaAoiB∗TaTos¸ r´wnie˙ r´wnoramienne. Mamy wi¸c r´wno´´A∗B∗=AoBo. Aleo aa oz oe oscodleglo´´AoBojest rzeczywist¸ dlugo´ci¸ odcinka [AB]. St¸d odleglo´´A∗B∗jest rzeczywist¸scas aascadlugo´ci¸ odcinka [AB]. Otrzymali´my zatem prostrzy, ni˙ poprzez klad, spos´b znajdowa-s aszonia rzeczywistej dlugo´ci odcinka danego (znanego) w rzucie ´rodkowym. Ale mamy, co jestsswa˙ niejsze, r´wnie˙ prostsz¸ konstrukcj¸ odwrotn¸: metod¸ odmierzania w rzucie ´rodkowymzozaeaesodcinka o danej dlugo´ci. Wystarczy dla danej prostejaznale´´ punktMai z niego zrzutowa´szccsdan¸ prost¸ana ´lad tlowytαplaszczyznyα(rys. 6B-06). PunktManazywa´ b¸dziemyaasc epunktem mierzenia prostej a.Wykorzystanie punkt´w mierzenia zilustrujemy na przykladzieokonstrukcji rzutu ´rodkowego sze´ianu o kraw¸dzi maj¸cej dan¸ dlugo´´.sceaasc3. Odmierzanie dlugo´ci na prostych prostopadlychsdo danej plaszczyznyRozwi¸zmy nast¸puj¸ce zadanie. Dany jest rzut ´rodkowyAspunktuAna plaszczy´niea˙e aszα(tα, zα) (rys. 6B-07a). Wyznaczy´ w rzucie ´rodkowym odcinek [AB] prostopadly docsE. Ko´niewski: Geometria odwzorowa´ in˙ ynierskich, rzut ´rodkowy 06Bzn zs5Rys. 6B-06: Ilustracja uzasadniaj¸ca wlasno´´ punktu mierzenia prostejascplaszczyznyαi maj¸cy dan¸ dlugo´´c.Algorytm przestrzenny rozwi¸zania jest nast¸puj¸cy:aascae aPrzyjmujemy, ze punktAle˙ y na pewnej prostejao ´ladzie zbieguZa. Znajdujemy ´lad˙zsszbieguZ90wszystkich prostych prostopadlych do plaszczyznyα(rys. 6B-07a1). Przez punktAprowadzimy prost¸nprostopadl¸ do plaszczyznyα.Prost¸n,na kt´rej le˙ y punktA,aaaozprzesuwamy r´wnolegle tak, by punktAznalazl si¸ na tle (na rysunku 6B-08a2 jest to punktoeoA), czyli na ´ladzie tlowymtα. Prosta ta zajmie polo˙ eniem(rys. 6B-08a3). Znajdujemyszonast¸pnie rzut r´wnoleglymprostejmna tlo w kierunku prostejONα(promienie rzutuj¸ceeoaxmaj¸ wsp´lny slad zbieguNα). Prostamtworzy z tlem k¸tω.Dokonujemy kladumprostejaoax xmna tlo (rys. 6B-09a4) i odmierzamy odcinek [AB] o dlugo´cic(rys. 6B-09a5). Powracaj¸csaoz kladu znajdujemy punktB(rys. 6B-10a6), kt´ry przesuwaj¸c r´wnolegle wedlugNαdajeoa osszukany punktB(rys. 6B-10a7). Istniej¸ tak˙ e inne konstrukcje odmierzenia na odcinkuazprostopadlym. Na przyklad poprzez punkt mierzenia korzystaj¸c z konstrukcji om´wionejaowy˙ ej (rys. 6B-11). Przez punktAprowadzimy proste: prost¸bo kierunkuNαi prost¸zaanprostopadl¸ do plaszczyznyα.Przez prostebinprowadzimy plaszczyzn¸β(tβ, zβ) (rys.ae6B-11a1). W plaszczyznieβznajdujemy punkt mierzeniaMnprostejn;a4) i za pomoc¸ tegoa∗ ∗punktu odmierzamy odcinek [AB] o dlugo´cic.Nast¸pnie korzystaj¸c z konstrukcji metod¸seaapunktu mierzenia znajdujemy szukany rzut ´rodkowy odcinka.s4. Perspektywa stosowanaJe˙ eli zalo˙ ymy, ze plaszczyznaα(tα, zα) podstawy jest prostopadla do tla (w´wczas ´ladzz˙oszbieguzαplaszczyzny przechodzi przez punkt gl´wnyOτ) otrzymamy tzw.perspektyw¸oestosowan¸lubpionow¸. Slad zbieguzαnazywamyhoryzontemi oznaczamy przezh,´ladaa´stlowytαnazywamyprost¸ podstawyi oznaczamy przezp.Perspektywa stosowana posiada dwaawla´ciwe punkty zbiegu i jest nazywana r´wnie˙perspektyw¸ dwuzbie˙ n¸. Wtedy szczeg´lniesozaz ao∞latwo znajdujemy punktyOx,Ooa ´lad zbieguZ90prostych prostopadlych do plaszczyznysαjest niewla´ciwy (rys. 6B-14a).sZatem proste prostopadle do plaszczyznyα,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]