wzory, WSFiZ
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
STATYSTYKA OPISOWA - wzory
dr inz Krzysztof Brys
Szeregi statystyczne
1) Szereg wyliczajacy uporzadkowany: (
x
1
;x
2
;:::;x
n
)
przy czym
x
1
x
2
::: x
n
.
2) Szereg rozdzielczy punktowy: (
x
1
;x
2
;:::;x
k
), (
n
1
;n
2
;:::;n
k
),
gdzie
x
1
< x
2
< ::: < x
k
oraz dla kazdego
i
= 1
;
2
;:::;k
:
n
i
-liczba realizacji (obserwacji) wartosci
x
i
(
P
i
=1
n
i
=
n
).
3) Szereg rozdzielczy przedzialowy: (
y
0
;
y
1
>;
(
y
1
;
y
2
>;:::;
(
y
k
1
;
y
k
), (
n
1
;n
2
;:::;n
k
),
gdzie
y
0
< y
1
< y
2
< ::: < y
k
1
< y
k
oraz dla kazdego
i
= 1
;
2
;:::;k
:
n
i
-liczba realizacji (obserwacji) wartosci nalezacej do przedzialu (
y
i
1
;
y
i
) (
P
i
=1
n
i
=
n
).
Wszystkie wartosci nalezace do przedzialu (
y
i
1
;
y
i
>
,
i
= 1
;
2
;:::;k
utozsamia sie z jego srodkiem
x
i
.
Parametry empiryczne
Miary polozenia rozkladu
1) Srednia z proby
x
- dla szeregu wyliczajacego:
X
1
n
x
=
x
i
i
=1
- dla szeregu rozdzielczego:
x
=
1
n
k
X
n
i
x
i
i
=1
2) Dominanta (moda, wartosc modalna)
D
= punkt, w ktorym funkcja prawdopodobienstwa
osiaga najwieksza wartosc
- dla szeregu wyliczajacego: najczesciej wystepujaca wartosc,
- dla szeregu rozdzielczego punktowego: punkt, dla ktorego liczebnosc (czestosc) osiaga najwieksza
wartosc, - dla szeregu rozdzielczego przedzialowego (wzor interpolacyjny):
D
=
x
0
d
+
n
d
n
d
1
(
n
d
n
d
1
) + (
n
d
n
d
+1
)
h
d
;
gdzie
x
0
d
- poczatek przedzialu zawierajacego dominante (przedzialu o najwiekszej liczebnosci),
h
d
- szerokosc przedzialu zawierajacego dominante (przedzialu o najwiekszej liczebnosci),
n
d
- liczebnosc przedzialu zawierajacego dominante (najwieksza liczebnosc),
n
d
1
- liczebnosc przedzialu poprzedzajacego przedzial zawierajacy dominante,
n
d
+1
- liczebnosc przedzialu nastepnego po przedziale zawierajacym dominante.
3) Dystrybuanta empiryczna (czestosc skumulowana
F
n
(
x
)
- dla szeregu wyliczajacego:
1
n
jfi
:
x
i
< x;i
= 1
;:::;ngj
F
n
(
x
) =
- dla szeregu rozdzielczego:
X
n
i
n
F
n
(
x
) =
i
:
x
i
<x
4) Kwantyl empiryczny rzedu
p x
p;n
:
(punkt w ktorym dystrybuanta empiryczna po raz pierwszy osiaga wartosc niemniejsza niz
p
)
- dla szeregu wyliczajacego:
x
p;n
=
x
dnpe
Reguly wyznaczania liczby przedzialow (klas):
k
p
n
,
k
5 log
n
.
2
- dla szeregu rozdzielczego punktowego:
x
p;n
=
x
q
gdzie
q
= min
fr
:
p
r
X
n
g
i
=1
- dla szeregu rozdzielczego przedzialowego (wzor interpolacyjny):
x
p;n
=
x
0
p
+ (
np
X
n
i
)
h
p
n
p
;
x
i
<x
0
p
gdzie
x
0
p
- poczatek przedzialu zawierajacego
x
p;n
(przedzialu w ktorym dystrybuanta empiryczna po raz
pierwszy osiaga wartosc niemniejsza niz
p
),
h
p
-szerokosc przedzialu zawierajacego
x
p;n
,
n
p
-liczebnosc przedzialu zawierajacego
x
p;n
,
P
1
4
Kwartyl gorny:
Q
3
= kwantyl rzedu
4
.
Miary rozproszenia rozkladu
5) Wariancja z proby
s
2
- dla szeregu wyliczajacego:
X
1
n
s
2
=
(
x
i
x
)
2
i
=1
- dla szeregu rozdzielczego:
n
i
(
x
i
x
)
2
6) Odchylenie standardowe z proby
s
=
p
s
2
.
s
2
=
1
n
k
X
i
=1
7) Wspolczynnik zmiennosci
V
=
x
100%.
8) Rozstep
R
= roznica miedzy najwieksza i najmniejsza wartoscia w probie.
9) Wspolczynnik asymetrii
A
s
:
- dla szeregu wyliczajacego:
X
s
3
(
1
A
s
=
(
x
i
x
)
3
)
n
i
=1
- dla szeregu rozdzielczego:
A
s
=
s
3
(
1
k
X
n
i
(
x
i
x
)
3
)
n
i
=1
10) Kurtoza (wspolczynnik skupienia)
K
:
- dla szeregu wyliczajacego:
X
s
4
(
1
K
=
(
x
i
x
)
4
)
n
i
=1
- dla szeregu rozdzielczego:
K
=
s
4
(
1
k
X
n
i
(
x
i
x
)
4
)
n
i
=1
11) Wspolczynnik skosnosci
A
1
:
A
1
=
xD
s
n
i
x
i
<x
0
p
n
i
- liczebnosc skumulowana dla przedzialu poprzedzajacego przedzial zawierajacy
x
p;n
(suma
liczebnosci przedzialow poprzedzajacych)
Mediana: Me = kwantyl rzedu
2
Kwartyl dolny:
Q
1
= kwantyl rzedu
3
1
1
1
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]