wzory, Budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr III, III Semestr, Wytrzymałość mat. I, numerki, kolos 2, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WZORY
1Równaniaró»niczkowe
1.1Równaniaró»niczkowepierwszegorz¦du
1.
Równanieozmiennychrozdzielonych:
y
0
=
g
(
x
)
h
(
y
)
()
R
dy
h
(
y
)
=
R
g
(
x
)
dx
.
Podstawienie:
y
=
u
·
x
Równaniepostaci:
y
0
=
f
(
ax
+
by
+
c
)
.
Podstawienie:
u
=
ax
+
by
+
c
3.
Równaniaró»niczkoweliniowe:
y
0
+
p
(
x
)
y
=
q
(
x
)
Rozwi¡zujemy równanie jednorodne (
I.
)
y
0
+
p
(
x
)
y
= 0 i w rozwi¡zaniu (I.) uzmienniamy
stał¡.
4.
RównanieBernoulliego:
y
0
+
p
(
x
)
y
=
q
(
x
)
y
r
, r
2R\{
0
,
1
}
Podstawienie:
z
=
y
1
−
r
1.2Równania ró»niczkowe liniowe jednorodne o stałych
współczynnikach:
y
(
n
)
+
a
n
−
1
y
(
n
−
1)
+
a
n
−
2
y
(
n
−
2)
+
...
+
a
0
y
= 0 (
J
)
Wielomiancharakterystyczny:
n
+
a
n
−
1
n
−
1
+
a
n
−
2
n
−
2
+
...
+
a
0
= 0
1.
2 R
jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to ka»da z funkcji:
e
x
, xe
x
,..., x
k
−
1
e
x
jest rozwi¡zaniem równania (J)
2.
=
+
i
i
¯
=
−
i, >
0
,
s¡ k-krotnymi pierwiastkami zespolonymi, to ka»da z 2k
funkcji
e
x
cos
x, e
x
sin
x, xe
x
cos
x, xe
x
sin
x,..., x
k
−
1
e
x
cos
x, x
k
−
1
e
x
sin
x
jest rozwi¡zaniem równania (J).
1.3Rozwi¡zanierównanialiniowegoniejednorodnegoostałych
współczynnikach
y
(
n
)
+
a
n
−
1
y
(
n
−
1)
+
a
n
−
2
y
(
n
−
2)
+
...
+
a
0
y
=
q
(
x
)
(
N
)
1.
Metodaprzewidywa«
q
(
x
) =
e
x
c
k
x
k
+
c
k
−
1
x
k
−
1
+
...
+
c
1
x
+
c
0
cos
x
+
b
l
x
l
+
b
l
−
1
x
l
−
1
+
...
+
b
1
x
+
b
0
sin
x
Je»eli
=
+
i
jestpierwiastkiemkrotno±cis
wielomianu charakterystycznego
równania jednorodnego (
J
), to rozwi¡zanie równania (
N
) ma posta¢:
(
x
) =
x
s
e
x
A
m
x
k
+
A
m
−
1
x
k
−
1
+
...
+
A
1
x
+
A
0
cos
x
+
B
m
x
m
+
B
m
−
1
x
m
−
1
+
...
+
B
1
x
+
B
0
sin
x
przy czym
m
= max(
k,l
), a
A
0
,A
1
,...,A
m
,B
0
,B
1
,...,B
m
s¡ odpowiednio dobranymi
współczynnikami rzeczywistymi.
Je»eli
=
+
i
nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to w powy»szym
wzorze przyjmujemy s=0.
1
2.
Rownaniasprowadzalnedorówna«ozmiennychrozdzielonych
Równaniaró»niczkowejednorodne:
y
0
=
f
x
 2.
Metodauzmiennianiastałych
Je»eli (
y
1
,y
2
,...,y
n
) jest fundamentalnym układem
rozwi¡za« równania liniowego jednorodnego (
LS
n
) oraz ci¡g funkcji
C
1
,C
2
,...,C
n
jest
dowolnym rozwi¡zaniem układu równa«:
2
y
1
(
x
)
y
2
(
x
)
... y
n
(
x
)
y
0
1
(
x
)
y
0
2
(
x
)
... y
0
n
(
x
)
.
3
2
C
0
1
(
x
)
C
0
2
(
x
)
.
C
0
n
(
x
)
3
2
0
0
.
q
(
x
)
3
4
.
.
.
.
.
5
4
5
=
4
5
1
(
x
)
y
(
n
−
1)
2
(
x
)
... y
(
n
−
1)
n
(
x
)
to funkcja
(
x
) =
C
1
(
x
)
y
1
(
x
) +
C
2
(
x
)
y
2
(
x
) +
...
+
C
n
(
x
)
y
n
(
x
)
jest rozwi¡zaniem równania (
N
).
2Całkaoznaczona
1. Pole trapezu krzywoliniowego:
D
=
{
(
x,y
)
2R
2
:
a
¬
x
¬
b, g
(
x
)
¬
y
¬
f
(
x
)
}
Z
b
|
D
|
=
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)]
dx
a
2. Obj¦to±¢ bryły obrotowej powstałej z obrotu wokół osi Ox wykresu funkcji
f
2Ch
a,b
i
Z
b
|
V
|
=
f
2
(
x
)
dx
a
3. Długo±¢
|
L
|
wykresu funkcji
f
2C
1
h
a,b
i
wyra»a si¦ wzorem:
Z
b
p
1 + (
f
0
(
x
))
2
dx
|
L
|
=
a
4. Pole powierzchni powstałej z obrotu wokół osi Ox wykresu nieujemnej funkcji
f
2C
1
h
a,b
i
:
Z
b
f
(
x
)
p
1 + (
f
0
(
x
))
2
dx
|
S
|
= 2
a
.
2.1CałkakrzywoliniowanieskierowanapokrzywejregularnejL
zadanejparametrycznie:
Z
AB
f
(
x,y,z
)
dl
=
Z
f
(
x
(
t
)
,y
(
t
)
,z
(
t
))
p
(
x
0
(
t
))
2
+ (
y
0
(
t
))
2
+ (
z
0
(
t
))
2
dt
Przykłady:
(a)
Długo±¢łukukrzywej:
|
L
|
=
R
AB
dl
=
R
p
(
x
0
(
t
))
2
+ (
y
0
(
t
))
2
+ (
z
0
(
t
))
2
dt
(b)
Masałukuog¦sto±ci
%
:
Z
AB
%dl
=
Z
%
(
x
(
t
)
,y
(
t
)
,z
(
t
))
p
(
x
0
(
t
))
2
+ (
y
0
(
t
))
2
+ (
z
0
(
t
))
2
dt
m
=
(c)
Momentbezwładno±ciłukukrzywejpłaskiej
AB
wzgl¦demosi
Ox
:
Z
Z
y
2
(
t
)
%
(
x
(
t
)
,y
(
t
))
p
(
x
0
(
t
))
2
+ (
y
0
(
t
))
2
dt
I
x
=
AB
y
2
%dl
=
2
y
(
n
−
1)
Â
[ Pobierz całość w formacie PDF ]