wzory transformacyjne metody przemieszczeń, Studia Budownictwo, Studia Budownictwo, MECHANIKA BUDOWLI, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Część 2
1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ
1
1.
1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ
1.1. Wstęp
Podstawowym narzędziem służącym do rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń są wzory
transformacyjne. Pozwalają one określić wartości sił przywęzłowych na podstawie parametrów
geometrycznych pręta (sztywność
EJ
, długość
l
) oraz przemieszczeń węzłów pręta (liniowych i obrotowych).
Jeden ze sposobów wyznaczenia wzorów transformacyjnych polega na określeniu reakcji w podporach
belki jednoprzęsłowej. Będą one zależały od typu podpór. Zadanie sprowadza się do rozwiązania belek
statycznie niewyznaczalnych (rys. 1.1) metodą sił. Zakładamy wpływy zewnętrzne w postaci klasycznych
osiadań podpór (przemieszczenia liniowe prostopadłe do osi belki, przemieszczenia kątowe).
a)
EJ
b)
EJ
c)
EJ
l
EJ
EJ
l
l
Rys. 1.1. Schematy belek statycznie niewyznaczalnych
Przed przystąpieniem do obliczeń należy przyjąć umowę dotyczącą znaków poszczególnych wielkości.
Najwygodniejsza dla metody przemieszczeń będzie taka, która uprości obliczenia i wyeliminuje w jak
największym stopniu różnice znaków poszczególnych wyrazów w równaniach.
W związku z tym będziemy traktować jako dodatnie:
•
momenty działające przy węzłach prętów zgodnie z ruchem wskazówek zegara (układ prawoskrętny)
(rys. 1.2),
•
siły poprzeczne obracające odciętą część pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara (rys. 1.2),
•
kąty obrotu przekrojów węzłowych
φ
zgodne z ruchem wskazówek zegara (rys. 1.3),
•
przemieszczenia
Δ
zgodne z kierunkiem i zwrotem przyjętego układu współrzędnych (rys. 1.3).
Wielkości ujemne będą miały zwroty przeciwne w stosunku do wymienionych. Ponadto tak jak
dotychczas wykresy momentów zginających będziemy odkładać po stronie włókien rozciąganych, czyli od
wypukłej strony osi odkształconej.
T>0
M>0
M>0
T<0
M>0
M<0
Rys. 1.2. Znakowanie momentów zginających i sił poprzecznych
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ
2
i
k
x
Δ
i
>0
Δ
k
>0
i
φ
k
>0
φ
i
>0
k
z
Rys. 1.3. Znakowanie kątów obrotu φ i przemieszczeń pionowych Δ węzłów podporowych
Procedurę wyprowadzania wzorów transformacyjnych omówimy analizując różne przypadki podparcia
pręta.
1.2. Belka utwierdzona
Rozpatrzmy belkę obustronnie utwierdzoną o długości
l
i sztywności
EJ
(rys. 1.4), której podpory
doznają przemieszczeń
φ
i
,
φ
k
,
Δ
i
,
Δ
k
.
φ
i
φ
k
i
EJ
k
Δ
i
x
Δ
k
z
l
Rys. 1.4. Schemat belki obustronnie utwierdzonej poddanej przemieszczeniom podpór
Narysujmy stan po przemieszczeniu podpór
i
,
k
o zadane wartości (rys. 1.5). W rozważaniach
przemieszczenia podpór będą dowolne, lecz z uwagi na czynione uproszczenia przyjmujemy, że ich wartości
są niewielkie (małe w stosunku do wymiarów pręta).
i
k
Δ
i
x
Δ
k
z,w
φ
i
Ψ
ik
φ
k
Rys. 1.5. Stan po przemieszczeniu belki
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ
3
Na rys. 1.5 symbol
ψ
ik
oznacza obrót cięciwy wynikający z pionowych przemieszczeń podpór
Δ
:
tg
ik
=
k
−
i
l
=
k
l
−
i
l
(1.1)
ponieważ dla małych kątów
tg ψ
ik
≈
ψ
ik
, to możemy zapisać:
l
−
i
l
=
k
−
i
l
(1.2)
Aby rozwiązać zadanie metodą sił trzeba przyjąć układ podstawowy oraz odpowiadające mu warunki
przemieszczeniowe.
φ
i
φ
k
X
1
X
2
Δ
i
X
3
Δ
k
Rys. 1.6. Układ podstawowy
1
=
0
2
=
0
3
=
0
Ponieważ pomijamy w obliczeniach wpływ sił normalnych współczynniki
δ
3i
(siła
X
3
wywołuje tylko siłę
normalną) będą równe zero, a układ równań kanonicznych ograniczy się do dwóch równań:
11
⋅
X
1
12
⋅
X
2
1
=
0
21
⋅
X
1
22
⋅
X
2
2
=
0
(1.3)
W celu obliczenia przemieszczeń z układu (1.3) narysujemy wykresy momentów w stanach
X
1
= 1
i
X
2
= 1
.
X
1
=1
k
i
X
2
=1
H = 0
H = 0
k
l
l
i
R
i
(1)
=
1
l
R
k
(1)
=
1
l
R
i
(2)
=
1
l
R
k
(2)
=
1
l
M
1
[-]
M
2
[-]
1
1
Rys. 1.7. Reakcje i momenty zginające w stanach X
1
= 1 i X
2
= 1
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
ik
=
k
Część 2
1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ
4
Obliczamy współczynniki macierzy podatności metodą Wiereszczagina-Mohra:
11
=
1
EJ
⋅
2
⋅
1
⋅
l
⋅
3
⋅
1
=
l
3 EJ
22
=
1
EJ
⋅
2
⋅
1
⋅
l
⋅
3
⋅
1
=
l
3 EJ
12
=
21
=
1
EJ
⋅
2
⋅
1
⋅
l
⋅
3
⋅
1
=−
l
6 EJ
A wyrazy wolne
Δ
iΔ
według wzoru:
i
=−
i
−
∑
j
R
j
i
⋅
j
(1.4)
gdzie:
i
- rzeczywiste, narzucone przemieszczenie zgodne z kierunkiem niewiadomej
X
i
,
R
j
i
- reakcja w podporze j, w stanie
X
i
= 1
,
j
- przemieszczenie narzucone po kierunki reakcji
R
j
i
.
1
=−
i
−
1
l
⋅
i
1
l
⋅
k
=−
i
ik
2
=−
k
−
1
l
⋅
i
1
l
⋅
k
=−
k
ik
Po podstawieniu otrzymanych wartości równanie kanoniczne (1.3) uzyskuje postać
3 EJ
⋅
X
1
−
l
6 EJ
⋅
X
2
ik
−
i
=
0
(1.5)
6 EJ
⋅
X
1
l
3 EJ
⋅
X
2
ik
−
k
=
0
Rozwiązanie układu (1.5) prowadzi do wartości sił nadliczbowych:
X
1
=
2 EJ
l
⋅
2
i
k
−
3
ik
(1.6)
X
2
=
2 EJ
l
⋅
i
2
k
−
3
ik
(1.7)
W przyjętym układzie podstawowym siły nadliczbowe
X
i
oznaczają reakcje podporowe, a zarazem
równoważne im wewnętrzne siły przypodporowe (rys. 1.8). Można zapisać:
X
1
=
M
ik
X
2
=
M
ki
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
l
−
l
Część 2
1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ
5
gdzie:
M
ik
to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju
i
,
M
ki
to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju
k.
M
ik
M
ki
M
i
M
k
i
k
Rys. 1.8. Momenty podporowe i przywęzłowe momenty zginające
Obliczmy jeszcze reakcje
R
i
i R
k
.
∑
M
i
=
0
⇔
2 EJ
l
⋅
2
i
k
−
3
ik
2 EJ
l
⋅
i
2
k
−
3
ik
R
k
⋅
l
=
0
(1.8)
R
k
=−
6 EJ
l
2
⋅
i
k
−
2
ik
(1.9)
R
i
=−
6 EJ
l
2
⋅
i
k
−
2
ik
(1.10)
Ponieważ reakcje węzłowe są równoważne wewnętrznym siłom przywęzłowym (rys. 1.9)
R
k
=
T
ki
R
i
=
T
ik
to siła tnąca wynosi:
T
ik
=
T
ki
=−
6 EJ
l
2
⋅
i
k
−
2
ik
(1.11)
gdzie:
T
ik
, T
ki
oznaczają przęsłowe, przywęzłowe siły poprzeczne.
i
T
ik
T
ki
k
R
i
R
k
Rys. 1.9. Reakcje podporowe i przywęzłowe siły poprzeczne
Gdy znamy już wartości wszystkich sił, to możemy narysować wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych.
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
[ Pobierz całość w formacie PDF ]