wzory płaszczyzna, Studia, Geodezja, zzz matematyka, II sem, geometria wektory
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Równanie ogólne płaszczyzny w E
3
.
Dane:
P
Ï€
n
Ï€
o
∈
i
⊥
n=[A, B,C ]
P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
Wówczas:
P
0
P=[x-x
0
,y-y
0
,z-z
0
]
G J
JJG G JJJG
D
P
∈<=>⊥ <=> =
n
P P n P P
0
o
o
Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0 (1’)
Ax+By+Cz+D=0
Przykład 1
E
3
y=x jest to równanie płaszczyzny
Ï€
w E
3
Ï€
: x-y=0
n
⊥
v
=
[
1
Równanie parametryczne prostej w przestrzeni.
Dane:
P
Ï€
o
∈
Ï€
i
n
⊥
u=[a,b,c]
P
0
P
l
l
l: P=P
0
+tu ,t
∈
R
l: (x,y,z)=(x
0
,y
0
,z
0
)+t[a,b,c] ,t
∈
R

x
=
x
0
+
at

l
:
y
=
y
0
+
bt

z
=
z
0
+
ct
Powyższe postacie równania prostej w przestrzeni E
3
są równoważne.
Inne postacie równania prostej i płaszczyzny.
- równanie odcinkowe płaszczyzny
Ï€
: Ax+By+Cz+D=0
założenie: A
â‰
0, B
â‰
0, C
â‰
0, D
â‰
0
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 10
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
−
 Wówczas równanie ma postać:
x
+
y
+
z
=
1
−
D
−
D
−
D
A
B
C
Przyjmujemy:
a
=
−
D
,
b
=
−
D
,
c
=
−
D
A
B
C
Czyli:
x
+
y
+
z
=
1
(*)
z
a
b
c
c
(*) – Postać tą nazywamy
równaniem odcinkowym
płaszczyzny
b
y
a
x
- równanie krawędziowe prostej:
Ï€
1
: A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0
Ï€
2
: A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
=0
Jeśli: to mamy równanie krawędziowe prostej. (Prosta jest
wyznaczona przez krawędź przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn)
ππ
1
2
Wniosek:
Ï€
1
⊥
n
1
=
[
A
1
,
B
1
,
C
1
]
Ï€
2
⊥
n
2
=
[
A
2
,
B
2
,
C
2
]
l
||
v
=
n
1
×
n
2
Aby znaleźć równanie prostej l należy (przyjmując dowolnie jedną z
niewiadomych) rozwiązać układ równań:

Ï€
1

Ï€
2
- postać kanoniczna równania prostej:
x
−
x
0
=
y
−
y
0
=
z
−
z
0
a
b
c
Aby przejść do równania parametrycznego należy przyrównać kolejne
składniki do parametru i wyznaczyć x, y, z.
Def. 1
Pęk płaszczyzn
1.
Ï€
1
||
Ï€
2
pękiem płaszczyzn nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn
równoległych do
Ï€
1
(
Ï€
2
).
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 10
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
2.
&
pękiem płaszczyzn nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn
przechodzących przez wspólną krawędź
Ï€
1
i
Ï€
2
.
ππ
1
2
Uwaga
Dla pęku płaszczyzn zachodzi:
Jeśli:
Ï€
1
: A
1
x+b
1
y+C
1
z+D
1
=0
Ï€
2
: A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
=0
∀
k
1
,k
2
∈
R: k
1
(A
1
x+b
1
y+C
1
z+D
1
)+k
2
(A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
)=0
Odległość punktu od płaszczyzny w E
3
.
.
P(x
1
,y
1
,z
1
)
P
1
Dana jest płaszczyzna o równaniu ogólnym:
Ï€
: Ax+By+Cz+D=0
Wówczas odległość punktu P od płaszczyzny
Ï€
dana jest wzorem:
d
(
P
,
Ï€
)
=
Ax
1
+
By
1
+
Cz
1
+
D
A
2
+
B
2
+
C
2
Wzajemne położenie prostych w przestrzeni E
3
.
Prosa l
1
dana jest równaniem
l
1
: (x,y,z)
=
(x
1
,y
1
,z
1
) + t[a
1
,b
1
,c
1
]
l
1
:
P +
=
P
1
t
v
1
Prosta l
2
dana jest równaniem:
l
2
: (x,y,z)=
(
x
2
,y
2
,z
2
) + t[a
2
,b
2
,c
2
]
l
2
:
P +
=
P
2
v
t
2
I. proste są równoległe
l ⇔
1
||
l
2
v
1
||
v
2
¬
Warunkiem aby proste przecinały się jest
1.
l
1
||
l
2
∧
l
1
∩
l
2
=
{
0
}
¬
(
v
1
||
v
2
)
2.
układ równań

ma dokładnie jedno rozwiązanie


l
1
l
2
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 10
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
II. proste przecinajÄ… siÄ™
Interpretacja geometryczna:
P
2
l
1
l
2
v
1
v
2
P
1
Warunek, aby proste się przecinały ma postać:
(
v
1
×
D
v
2
)
P
1
P
2
=
0
III. Proste są skośne
Warunek, aby proste były skośne ma postać:
1.
¬
(
v
1
||
v
2
)
2.
układ równań
jest sprzeczny

l
1
l
2
Geometrycznie warunek ten ma postać:
(
v
1
×
D
v
2
)
P
1
P
2
â‰
0
Odległość prostych w przestrzeni E
3
.
Dane sÄ… proste l
1
,l
2
1.
Jeśli
l
1
i l
2
jest równa odległości
dowolnego punktu z jednej prostej od drugiej.
1
l
||
2
to odległość prostych l
2.
Jeśli proste są skośne to odległość między nimi jest równa długości
najkrótszego odcinka łączącego obie proste.
(
v
1
×
v
2
)
D
P
1
P
2
d
(
l
,
l
)
=
1
2
v
×
v
1
2
Przykład
Badamy wzajemne położenie prostych.

x
=
9
+
4
t

x
=
−
2
l
1
:
y
=
−
2
−
3
l
2
:
y
=
−
7
−
9


z
=
t
z
=
2
+
2
P
1
=
(9
,-2,0)
P
2
=
(-
2,-7,2)
l
1
||
v
1
−=
[
4
3
l
2
||
v
2
=
[
−
2
2
czyli
1
|
vv
2
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 10
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna



Rozwiązujemy układ równań:

x
=
9
+
4
t

y
=
−
2
−
3


−
2
=
9
+
4
t

z
=
t


−
2
=
9
+
4
t

−
7
−
9
=
−
2
−
3
(**)
x
=
−
2
2
+
2
=
t


2
+
2
=
t

y
=
−
7
−
9


z
=
2
+
2

s
=
−
17
10


t
=
−
14
10
Sprawdzamy, czy ta para spełnia równanie (**)
-7-9s
â‰
-2-3t
Wniosek: Proste są skośne.
Teraz znajdziemy równanie płaszczyzny
Ï€
, która zawiera prostą l
1
i do
której prosta l
2
jest równoległa.
Ï€
: l
1
⊂
Ï€
∧
l
2
||
Ï€
P
1
∈
l
1
⇒
P
1
∈
Ï€
P
1
=(9,-2,0)
∈
Ï€
Ï€
i
j
k
n
=
v
1
×
v
2
=
4
−
3
1
=
−
15
i
−
10
j
+
30
k
−
2
9
2
=
Ï€
: -15(x-9) – 10(y+2) + 30(z-0) = 0
Ï€
: -3x - 2y + 6z + 23 = 0
−
15
,
10
,
30
]
Wzajemne położenie płaszczyzn w przestrzeni E
3
.
Dane są trzy płaszczyzny
Ï€
1
,
Ï€
2
,
Ï€
3
.
1.
płaszczyzny przecinają się wzdłuż wspólnej prostej

Ï€
1
⇔
układ
na nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego

Ï€
2
Ï€
3
parametru
2.
płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie
⇔
układ

ma

Ï€
1
Ï€
2

Ï€
3
dokładnie jedno rozwiązanie.
Powierzchnie stopnia drugiego w E
3
Równanie postaci:
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 10
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
⊥n
[n −

[ Pobierz całość w formacie PDF ]