wykresy w pamieci sily tnace belki, INŻYNIERIA ŚRODOWISKA ZUT, sem II, mechanika i wydymałka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WYKRESY SIŁ WEWNĘTRZNYCH – RYSOWANIE Z „PAMIĘCI”
I.
ZWIĄZKI MIĘDZY WYKRESAMI SIŁ WEWNĘTRZNYCH, RODZAJEM
OBCIĄŻENIA
ZWENĘTRZNEGO
I
SCHEMATEM
STATYCZNYM
KONSTRUKCJI.
1. Jeżeli w rozpatrywanym przedziale pręta q(x)=0 to siła poprzeczna jest funkcją stałą
a moment gnący liniową.
2. Jeżeli w rozpatrywanym przedziale pręta q(x)≠0 to siła poprzeczna jest funkcją o 1
stopień wyższą niż q(x), a moment gnący o 2 stopnie wyższą np. q(x)=const, więc
T(x)=ax+b, M(x)=ax
2
+bx+c. Wypukłość paraboli momentu gnącego jest zawsze
skierowana zgodnie ze zwrotem obciążenia q(x).
3. Jeżeli siła poprzeczna jest dodatnia, to wykres momentu gnącego opada (rośnie w
sensie algebraicznym) przy posuwaniu się od lewej strony wykresu do prawej.
4. Jeżeli siła poprzeczna jest ujemna, to wykres momentu gnącego wznosi się (maleje w
sensie algebraicznym) przy posuwaniu się od lewej strony wykresu do prawej.
5. Jeżeli przy przejściu przez 0 funkcja sił poprzecznych zmienia znak, to funkcja
momentu gnącego osiąga w tym punkcie ekstremum. Maksimum przy zmianie znaku
z „+” na „-”; minimum przy zmianie znaku z „-” na „+”.
6. W przekroju pręta, w którym przyłożona jest siła skupiona prostopadła (równoległa,
moment gnący) do osi pręta, na wykresie sił poprzecznych (osiowych, momentu
gnącego) powstaje skok o wartość tej siły (momentu).
7. Jeżeli obciążenie pręta stanowi wiele sił skupionych prostopadłych do jego osi, to
ekstremalny moment gnący wystąpi w przekroju, w którym siła poprzeczna zmienia
znak. W punktach przyłożenia pozostałych sił skupionych wykres momentu załamuje
się.
8. Na skrajnej podporze przegubowej, przegubie wewnętrznym i swobodnym końcu
pręta funkcja momentu gnącego zeruje się (wyjątek – patrz punkt I.6).
9. Istnienie nieobciążonego przegubu wewnętrznego nie ma wpływu na rozkład sił
poprzecznych i osiowych.
10. Wartości reakcji podporowych nie zależą od kształtu konstrukcji, a jedynie od
wzajemnego usytuowania podpór i obciążenia zewnętrznego.
P
P
A
B
A’
B’
a
b
a
b
H
A
=H
A’
; V
A
=V
A’
; R
B
=R
B’
Większość z podanych powyżej związków wynika z faktu, iż siła poprzeczna jest
pierwszą pochodną momentu gnącego.
1
II.
WYKRESY SIŁ WEWNĘTRZNYCH I LINII UGIĘCIA DLA BELEK PROSTYCH.
1. Belkiwspornikowe.
P
M
q
l
l
l
M
ql
2
/2
Pl
M
M
T
P
P
0
ql
2. Belki swobodnie podparte.
M
P
q
a
b
a
b
l
Pb/l
Pa/l
M/l
M/l
ql/2
ql/2
M
Ma/l
Mb/l
Pab/l
ql
2
/8
T
Pb/l
P
ql/2
Pa/l
M/l
ql/2
III. ZASADA SUPERPOZYCJI (DODAWANIA SKUTKÓW).
Jeżeli układ obciążony jest kilkoma rodzajami obciążenia zewnętrznego (np. kilka sił
skupionych + moment gnący + obciążenie równomierne), to można sporządzić wykresy sił
wewnętrznych od każdego obciążenia z osobna, a następnie dodać je do siebie.
2
Przykład
4kN
2kN
2kN
4kN
=
+
2m
2m
2m
2m
2m
2m
16kNm
8kNm
8kNm
M
=
+
4kN
T
6kN
2kN
=
2kN
+
4kN
IV. TOK POSTĘPOWANIA PRZY RYSOWANIU „Z PAMIĘCI” WYKRESÓW SIŁ
WEWNĘTRZNYCH.
1. Analiza kinematyczna i statyczna. Jeśli układ jest geometrycznie niezmienny i
statycznie wyznaczalny można przejść do punktu 2.
2. Określenie typu konstrukcji:
a. belki i ramy wspornikowe
–
punkt
V
;
b. belki i ramy podparte przegubowo –
punkt
VI
;
c. ramy trójprzegubowe symetryczne –
punkt
VII
;
d. ramy trójprzegubowe niesymetryczne –
punkt
VIII
;
e. belki i ramy złożone
–
punkt
IX
:
• podział na elementy niezależne i zależne;
• określenie typu każdego elementu;
• wykorzystanie punktów V, VI, VII, VIII w zależności od typu elementu.
V.
BELKI I RAMY WSPORNIKOWE.
W tego typu konstrukcjach można od razu rysować wykresy sił wewnętrznych, pomijając
etap obliczania reakcji. Analizę należy rozpocząć od swobodnego końca układu. W przypadku
ramy złożonej z kilku prętów każdy pręt można potraktować jak prosty wspornik utwierdzony w
miejscu połączenia z kolejnym prętem (punkt II.1.). Przy rysowaniu wykresów pomocne będą
następujące zasady :
• intuicyjne naszkicowanie linii ugięcia wspornika wskaże po której stronie narysować
wykres momentu gnącego (wykres ten należy rysować zawsze po stronie włókien
rozciąganych);
• w połączeniach prętów pod kątem wykres momentu musi być ciągły (wartość na końcu
jednego pręta musi być równa wartości na początku drugiego);
• obciążenie równoległe do osi pręta wywołuje w tym pręcie stały moment gnący;
• w punktach leżących na przecięciu kierunku działania siły i osi pręta moment gnący
zeruje się;
3
Przykład
C
B
Pręt AB można potraktować jak wspornik
utwierdzony w punkcie B. Wobec tego przebieg
wykresów sił wewnętrznych będzie następujący :
16kNm
8kN
4m
2kN/m
6m
A
D
4m
M
T
Z warunku ciągłości funkcji momentu wynika, że w punkcie B pręta BC wartość
momentu również wynosi 16kNm. Obciążenie równomierne jest równoległe do pręta BC, z
czego wynika stała wartość momentu na całej długości pręta (ramię siły wypadkowej obciążenia
jest takie same dla każdego punktu pręta BC). Jeżeli M=const to T=0. Ze zwrotu wypadkowej
obciążenia równomiernego wynika, iż pręt BC jest ściskany, więc N=-8kNm.
Z uwagi na ciągłość funkcji momentu jego wartość w punkcie C pręta CD również
wynosi 16kNm. W punkcie znajdującym się 2m poniżej C wartość momentu wynosi 0, gdyż
przez ten punkt przechodzi linia działania siły wypadkowej obciążenia równomiernego. Wartość
momentu w punkcie D można wyznaczyć z proporcji (M/4=16/2, więc M=32kNm). Ponieważ
posuwając się od lewej do prawej strony pręta CD wykres momentów wznosi się ku górze, więc
siła poprzeczna będzie dodatnia i równa wypadkowej obciążenia równomiernego. W pręcie CD
nie występują obciążenia działające wzdłuż jego osi, więc N=0.
16
16
0
8
8
0
0
32
8
M[kNm]
T[kN]
N[kN]
VI. BELKI I RAMY PODPARTE PRZEGUBOWO.
W tych konstrukcjach jedną z reakcji (najczęściej poziomą) można znaleźć od razu
wykorzystując warunek równowagi w postaci sumy rzutów wszystkich sił na jedną z osi układu
4
16
współrzędnych (działanie to można wykonać w pamięci – reakcja musi być równa co do
wartości przyłożonemu obciążeniu na danym kierunku i mieć przeciwny zwrot). Reakcja ta
łącznie z odpowiadającym jej obciążeniem zewnętrznym daje moment (para sił), który musi
zostać zrównoważony przez moment od pozostałych reakcji na drugim kierunku. Na tej
podstawie ustalamy zwroty tych reakcji i ich wartości – wartość momentu podzielona przez
odległość między reakcjami. Znając wszystkie reakcje można narysować wykresy sił
wewnętrznych traktując pręty składowe jak wsporniki (patrz punkt V).
Przykład
C
B
4kN
4kN
4kN
3m
D
A
4kN
4kN
4m
3kN
3kN
Rama obciążona jest siłą poziomą w punkcie B, jedynym miejscem, w którym może
powstać reakcja na to obciążenie, jest punkt D. Siła zewnętrzna i reakcja pozioma mają te same
kierunki i wartości, lecz przeciwne zwroty i są przesunięte względem siebie o ramię 3m. Są więc
parą sił wywołującą moment o wartości 4kN×3m=12kNm obracający konstrukcję przeciwnie do
ruchu wskazówek zegara. Ponieważ układ ma być w równowadze, więc moment ten musi być
zrównoważony przez kolejny moment o wartości 12kNm działający zgodnie z ruchem
wskazówek zegara i wywołany parą sił pionowych. Na tej podstawie można ustalić zwroty
reakcji pionowych i ich wartości (moment 12kNm podzielony przez ramię 4m daje wartość siły
3kN).
Po wyznaczeniu reakcji można przejść do rysowania wykresów sił wewnętrznych. Pręty
AB i CD można potraktować jako wsporniki utwierdzone odpowiednio w punktach B i C,
obciążone siłami skupionymi na końcach. W pręcie CD moment rozciąga włókna po lewej
stronie i przybiera wartości od 0 w D do 12kNm w C, siła poprzeczna jest ujemna (bo od lewej
do prawej wykres momentów wznosi się do góry) i ma wartość reakcji poziomej (prostopadłej
do tego pręta). Z kolei reakcja pionowa wywołuje ściskanie, stąd N=-3kN. Pręt AB będzie tylko
rozciągany siłą 3kN.
Wykres momentów w pręcie poziomym można narysować znając wartości momentu w
punktach C (12kNm) i D (0kNm) i wiedząc, że na długości tego pręta nie ma obciążeń
zewnętrznych. Wobec tego wystarczy połączyć obie wartości linią prostą. Od lewej do prawej
wykres momentów opada, więc siła poprzeczna będzie dodatnia i przyjmie wartość siły
prostopadłej do tego pręta czyli reakcji 3kN. Obie siły poziome (zewnętrzna i reakcja) wywołują
w pręcie BC ściskanie – 4kN.
12kNm
3kN
3kN
4kN
4kN
M
T
3kN
N
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]