wyklad9 calka3, MATEMATYKA, całeczki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Całka oznaczona. Cz¦±¢ pierwsza.
Niech
f
b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ i ograniczon¡ w przedziale domkni¦-
tym[
a;b
].
Definicja.
Podziałem odcinka
[
a;b
]na
n
cz¦±ci nazywamy zbiór punk-
tów
P
=
fx
0
;x
1
;:::;x
n
g
, gdzie
a
=
x
0
<x
1
<¢¢¢<x
n
=
b:
Długo±¢ odcinka[
x
k¡
1
;x
k
]oznaczamy przez¢
x
k
:
¢
x
k
=
x
k
¡x
k¡
1
:
Najwi¦ksz¡ z liczb¢
x
1
;
¢
x
2
;:::;
¢
x
n
nazywamy
±rednic¡ podziału
i
oznaczamy przez
±
(
P
).
Z ka»dego odcinka[
x
k¡
1
;x
k
]wybieramy jeden
punkt po±redni
»
k
2
[
x
k¡
1
;x
k
]
:
Liczb¦
¾
(
f;P
)=
f
(
»
1
)¢
x
1
+
f
(
»
2
)¢
x
2
+
¢¢¢
+
f
(
»
n
)¢
x
n
nazywamy
sum¡ całkow¡
funkcji
f
odpowiadaj¡c¡ podziałowi
P
oraz
punktom po±rednim
»
k
.
Uwaga. Je»eli funkcja
f
jest nieujemna w przedziale[
a;b
], to suma
całkowa
¾
(
f;P
)jest równa sumie pól
n
prostok¡tów o podstawach¢
x
k
i wysoko±ciach
f
(
»
k
).
Definicja. Dla ka»dego
n
=1
;
2
;:::
niech
P
n
b¦dzie pewnym podzia-
łem odcinka[
a;b
]. Ci¡g
fP
n
g
nazywamy
normalnym ci¡giem podzia-
łów
, je»eli
n!1
±
(
P
n
)=0
:
Ka»demu ci¡gowi podziałów odpowiada ci¡g sum całkowych
f¾
(
f;P
n
)
g
.
lim
Definicja. Je»eli ci¡g sum całkowych
f¾
(
f;P
n
)
g
odpowiadaj¡cy do-
wolnemu normalnemu ci¡gowi podziałów jest zbie»ny, i to zawsze do
tej samej granicy, niezale»nie od wyboru punktów podziału
x
k
i punk-
tów po±rednich
»
k
, to granic¦ t¡ nazywamy
całk¡ oznaczon¡ Riemanna
funkcji
f
w przedziale[
a;b
]i oznaczamy
Z
b
f
(
x
)
dx:
a
Je»eli powy»sza całka istnieje, to funkcj¦
f
nazywamy
całkowaln¡
w
przedziale[
a;b
].
1
2
Ponadto przyjmujemy
Z
a
Z
a
Z
b
f
(
x
)
dx
=0oraz
f
(
x
)
dx
=
¡
f
(
x
)
dx
dla
a<b:
a
b
a
Przykład. Niech
f
b¦dzie funkcj¡ stale równ¡
c
w przedziale[
a;b
].
Wtedy dla dowolnego podziału
P
=
fx
0
;x
1
;:::;x
n
g
odcinka [
a;b
]
mamy
¾
(
f;P
)=
c
¢
x
1
+
c
¢
x
2
+
¢¢¢
+
c
¢
x
n
=
c
(¢
x
1
+¢
x
2
+
¢¢¢
+¢
x
n
)=
c
(
b¡a
)
:
Zatem
f
jest całkowalna w przedziale[
a;b
]i
Z
b
f
(
x
)
dx
=
c
(
b¡a
)
:
a
Uwaga. W definicji całki oznaczonej zakładali±my, »e funkcja
f
jest
ograniczona w przedziale w[
a;b
]. Sumy całkowe
¾
(
f;P
n
)mo»emy zde-
finiowa¢ równie» wtedy, gdy funkcja
f
jest nieograniczona, lecz wtedy
mo»na zawsze wybra¢ punkty po±rednie
»
k
, tak, »eby suma
j¾
(
f;P
n
)
j
była dowolnie du»a. Ci¡g sum całkowych
¾
(
f;P
n
)jest wtedy rozbie»ny,
zatem
funkcja nieograniczona w przedziale
[
a;b
]
nie jest w tym prze-
dziale całkowalna.
Twierdzenie. Je»eli funkcja
f
jest całkowalna w przedziale[
a;b
], to
jest równie» całkowalna w ka»dym przedziale[
c;d
], gdzie
a·c<d·b
.
Twierdzenie. Ka»da funkcja ci¡gła w przedziale domkni¦tym jest w
tym przedziale całkowalna.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej. Załó»my, »e funk-
cja
f
(
x
)jest nieujemna i ci¡gła w przedziale[
a;b
]. Oznaczmy przez
D
zbiór punktów na płaszczy¹nie o współrz¦dnych(
x;y
)spełniaj¡cych
nierówno±ci
a·x·b;
0
·y·f
(
x
)
:
(
D
jest obszarem ograniczonym prostymi
x
=
a
,
x
=
b
,
y
=0i krzyw¡
Z
b
y
=
f
(
x
).) Wtedy pole obszaru
D
równa si¦ całce
f
(
x
)
dx
.
a
3
Twierdzenie. Załó»my, »e funkcje
f
i
g
s¡ całkowalne w przedziale
[
a;b
], a
®2
R jest dowoln¡ stał¡. Wtedy zachodz¡ wzory
Z
b
Z
b
Z
b
(
f
(
x
)+
g
(
x
))
dx
=
f
(
x
)
dx
+
g
(
x
)
dx;
a
a
a
Z
b
Z
b
®f
(
x
)
dx
=
®
f
(
x
)
dx:
a
a
Twierdzenie. Je»eli funkcja
f
jest całkowalna w przedziale[
a;b
]i je»eli
a<c<b
, to
Z
b
Z
c
Z
b
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
dx:
a
a
c
Twierdzenie. Je»eli funkcja
f
jest całkowalna w przedziale[
a;b
]i
spełniona jest nierówno±¢
m·f
(
x
)
·M
dla
x2
[
a;b
], to
Z
b
m
(
b¡a
)
·
f
(
x
)
dx·M
(
b¡a
)
:
a
Twierdzenie. Je»eli funkcje
f
i
g
s¡ całkowalne w przedziale[
a;b
]i
spełniona jest nierówno±¢
f
(
x
)
·g
(
x
)dla
x2
[
a;b
], to
Z
b
Z
b
f
(
x
)
dx·
g
(
x
)
dx:
a
a
Twierdzenie. Je»eli funkcja
f
(
x
)jest całkowalne w przedziale[
a;b
],
to funkcja
jf
(
x
)
j
równie» jest całkowalna i spełniona jest nierówno±¢
Z
b
Z
b
j
f
(
x
)
dxj·
jf
(
x
)
jdx:
a
a
4
Twierdzenie. (
O warto±ci ±redniej.
) Je»eli
f
jest funkcj¡ ci¡gł¡ w
przedziale[
a;b
], to istnieje
c2
[
a;b
], takie »e
1
b¡a
Z
b
f
(
x
)
dx
=
f
(
c
)
:
a
Wyra»enia po lewej stronie powy»szego wzoru nazywamy
warto±ci¡
±redni¡
funkcji
f
w przedziale[
a;b
].
Dowód.
Poniewa»
f
jest funkcj¡ ci¡gł¡ w przedziale domkni¦tym[
a;b
],
wi¦c przyjmuje w tym przedziale warto±¢ najmniejsz¡
m
i warto±¢ naj-
wi¦ksz¡
M
(patrz wykład o funkcjach ci¡głych). Skoro
m·f
(
x
)
·M
dla
x2
[
a;b
], wi¦c
Z
b
m
(
b¡a
)
·
f
(
x
)
dx·M
(
b¡a
)
:
a
Z
b
Oznaczmy przez
y
warto±¢
1
b¡a
f
(
x
)
dx
. Dziel¡c w powy»szych
nierówno±ciach przez
b¡a
otrzymujemy
m·y·M:
Na mocy własno±ci Darboux, funkcja ci¡gła
f
przyjmuje w przedziale
[
a;b
]ka»d¡ warto±¢ po±redni¡ pomi¦dzy
m
i
M
, wi¦c
y
=
f
(
c
)dla
pewnego
c2
[
a;b
].
a
Twierdzenie. (
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.
) Załó»my,
»e
f
jest funkcj¡ całkowaln¡ w przedziale[
a;b
]. Definiujemy funkcj¡
F
(
x
)wzorem
Z
x
F
(
x
)=
f
(
t
)
dt
dla
x2
[
a;b
]
:
a
Funkcja
F
(
x
)
1) jest ci¡gła w przedziale[
a;b
];
2) ma pochodn¡
F
0
(
x
)równ¡
f
(
x
)w ka»dym punkcie, w którym funkcja
f
jest ci¡gła.
Wniosek. Ka»da funkcja ci¡gła w przedziale[
a;b
]ma w tym przedziale
funkcj¡ pierwotn¡.
Dowód.
Niech
f
b¦dzie dowoln¡ funkcj¡ ci¡gł¡ w przedziale[
a;b
]Wtedy
funkcja
Z
x
F
(
x
)=
f
(
t
)
dt
a
jest ró»niczkowalna w przedziale[
a;b
]i
F
0
(
x
)=
f
(
x
). Zatem
F
(
x
)jest
funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
w przedziale[
a;b
].
5
Twierdzenie. (
Zwi¡zek całki oznaczonej z całk¡ nieoznaczon¡.
) Je»eli
G
(
x
)jest dowoln¡ funkcj¡ pierwotn¡ funkcji ci¡głej
f
w przedziale[
a;b
],
to
Z
b
f
(
x
)
dx
=
G
(
b
)
¡G
(
a
)
:
a
Dowód.
Załó»my, »e
G
(
x
)jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
w przedziale
[
a;b
]. Na mocy ostatniego twierdzenia,
Z
x
F
(
x
)=
f
(
t
)
dt
a
równie» jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
. Poniewa» dwie funkcje pier-
wotne tej samej funkcji ró»ni¡ si¦ o stał¡, wi¦c
F
(
x
)=
G
(
x
)+
C;
dla pewnego
C2
R
:
Dla
x
=
a
mamy
F
(
a
)=0, wi¦c
C
=
¡G
(
a
), sk¡d
Z
b
f
(
x
)
dx
=
F
(
b
)=
G
(
b
)+
C
=
G
(
b
)
¡G
(
a
)
:
a
Uwaga. Powy»sze twierdzenie pozwala obliczy¢ całk¡ oznaczon¡, gdy
znamy całk¡ nieoznaczon¡. Ró»nic¦
G
(
b
)
¡G
(
a
)b¦dziemy cz¦sto za-
pisywa¢ krócej:
G
(
x
)
j
b
a
. Wtedy wzór w twierdzeniu przyjmuje posta¢
Z
b
f
(
x
)
dx
=
G
(
x
)
j
b
a
:
a
Przykład. a) Poniewa» funkcj¡ pierwotn¡ funkcjicos
x
jestsin
x
, wi¦c
Z
¼
2
cos
xdx
=sin
¼
2
¡
sin0=1
¡
0=1
:
0
Z
1
b) Poniewa»
x
2
dx
=
¡
1
x
+
C
, wi¦c
Z
2
x
2
dx
=
¡
1
¯
¯
¯
¯
2
=
¡
1
2
+1=
1
2
:
x
1
1
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]