wyklad9 2008 tekst, Matematyka studia, Statystyka i prawdpodopdobieństwo
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład8.Przedziałyufno±ciitestowaniehipotez
Agdynieznamywariancji
2
?
Załó»my,»e
X
marozkładnormalny,alenieznamywarto±ciani
m
ani
2
.Jakwtedyszacowa¢warto±¢
±redni¡
m
?
Przypomnijmy,»e
ˆ
S
2
=
1
n
−
1
n
X
(
X
i
−
X
)
2
i
=1
Wtedystatystyka
X
−
m
ˆ
S
p
n
ma
rozkład
t
-Studenta
o
n
−
1stopniachswobody.
U»ywa¢
S
czy
ˆ
S
?
Okre±lili±mydwie,bardzopodobnestatystyki:
S
=
1
p
n
t
n
X
(
X
i
−
X
)
2
,
ˆ
S
=
1
p
n
−
1
t
n
X
(
X
i
−
X
)
2
.
i
=1
i
=1
Statystyka
X
−
m
S
p
n
−
1te»ma
rozkład
t
-Studenta
o
n
−
1stopniachswobody.
Uwaga:Oczywi±cie
p
nS
=
p
n
−
1
ˆ
S
,wi¦c
X
−
m
ˆ
S
p
n
=
X
−
m
S
p
n
−
1
.
KimbyłStudent?
Pracanatemattegorozkładuzostałaopublikowanawczasopi±mie
Biometrika
w1908roku.
•
Dlaczegopracapodpisanabyłapseudonimem?
•
Londyn—najwa»niejszyo±rodekstatystykina±wiecie.
•
KarlPearson(1857-1936)wprowadziłnp.termin
odchyleniestandardowe
,test
2
-Pearsonaitp.
•
EgonPearson(1895-1980)współpracowałzJerzymSpław¡-Neymanem,byłsynemKarlaPearsona.
•
WilliamGosset„Student”.
Rozkład
t
-Studenta
RozkładStudentajest(napierwszyrzutoka)podobnydorozkładunormalnego,majednak„ci¦»kieogony”.
Tablice:np.winternecie(Studentt-distribution).
•
Kształtjegog¦sto±cizale»yodliczbystopniswobody.
•
Dla
n
=1maniesko«czon¡warto±¢oczekiwan¡.
•
Gdy
n
!1
,torozkładStudentazbli»asi¦dorozkładunormalnegotak,»e
•
dla
n>
30ró»nicapomiedzytymirozkładamijestniewielka.
•
TablicerozkładuStudentapodaj¡zwykletylkowarto±cidla
n
¬
30stopniswobody.
1
Zadanie
Znajd¹dwiesymetrycznewarto±ci
−
t
i
t
takie,»emi¦dzynimizawierasi¦0,95masyrozkładuStudenta
z11stopniamiswobody.
•
Rozwi¡zanie.
•
Niech
T
k
oznaczazmienn¡orozkładziestudentaz
k
stopniamiswobody.
•
Szukamytakiego
t
,dlaktórego
•
P
(
T
11
<t
)=0
,
975
.
•
Ztablic
t
=2
,
2010.
•
Odpowied¹:
−
t
=
−
2
,
2010,
t
=2
,
2010.
Zadanie
Wytrzymało±¢pewnegomateriałubudowlanegomarozkładnormalny
N
(
m,
2
).
Pi¦cioelementowapróbawylosowanychsztuktegomateriałudaławyniki:¯
x
=20
,
8
N/cm
2
,ˆ
s
=2
,
8
N/cm
2
.
Napoziomieufno±ci0,99zbudujprzedziałufno±cidla±redniejm.
Rozwi¡zanie
Nieznamywarto±ciparametru
,apróbamaliczebno±¢
n<
30,wi¦cmusimyu»y¢rozkładu
t
-Studenta.
•
Wiemy,»e
X
−
m
ˆ
S
p
n
−
1
•
marozkładStudentao4stopniachswobody.
•
Dlapoziomuufno±ci0,99i4stopniswobodyodczytujemyztablic
t
=4
,
6041
•
Zatem
p
n
−
1
<
4
,
6041
!
−
4
,
6041
<
X
−
m
P
ˆ
S
=0
,
99
,
•
codajeprzedział(14
,
36;27
,
24).
Aje±liprzedziałjestzbytszeroki?
Zwi¦kszaj¡cliczb¦pomiarówwpróbie,mo»emyzmniejszy¢długo±¢przedziałuufno±ci.
Gdystosujemyrozkład
t
-Studentapowinni±myzwraca¢baczn¡uwag¦na:
•
liczb¦stopniswobody,
•
rodzajstatystyki,jak¡stosujemy:
S
czyte»
ˆ
S
.
•
Je±lijestwi¦cejni»30obserwacjiwpróbie,tokorzystamyztablicrozkładunormalnego.
•
Przedziałyufno±cidlafrakcjiwpopulacji
Przypu±¢my,»echcemyoszacowa¢prawdopodobie«stwowyst¡pieniapewnegozdarzenia.Dlaprzykładu
rozwa»myniesymetryczn¡monet¦(lubkostk¦).Jakiejestprawdopodobie«stwo
p
uzyskaniaorławjednym
rzucie?
•
Szukamytutajprawdopodobie«stwa
p
sukcesuwpróbachBernoulliego.
•
Mogliby±myskorzysta¢zrozkładuBernoulliego,alewymagałobytouci¡»liwychrachunków.
•
Korzystamyzprzybli»eniarozkładuBernoulliegorozkłademnormalnym:
2
•
gdy
Y
marozkładBernoulliego
B
(
n,p
)i
n
jestdu»e,wtedy
Y
mawprzybli»eniurozkład
•
normalny
N
(
np,
(
p
np
(1
−
p
))
2
).
Zmienna
Y
n
=cz¦sto±¢wyst¡pieniazdarzeniaw
n
próbach
q
p
(1
−
p
)
n
2
!
•
mawprzybli»eniurozkładnormalny
N
p,
.
•
Musimyjaunormowa¢,odejmuj¡c±redni¡
p
idziel¡cprzezodchyleniestandardowe
n
.Statystyka
•
n
−
p
q
p
(1
−
p
)
n
mawprzybli»eniurozkład
N
(0
,
1)(dladostateczniedu»ejliczbyobserwacji
n
).
Przykład
Spo±ródstałychmieszka«cówpewnegomiastawylosowanoprób¦prost¡zło»on¡z400osóbiokazałosi¦,»e
w±ródnichjest320osób,któresi¦wtymmie±cieurodziły.
Zbudujprzedziałufno±cinapoziomie0,95dlanieznanegowska¹nikastrukturyˆ
p
osób,mieszkajacychwtym
mie±cieitamurodzonych.
Rozwi¡zanie
Niech
Y
b¦dzieliczb¡tychosóbwpróbie,któreurodziłysi¦wtymmie±cie.Poniewa»
n
=400jestdosta-
teczniedu»e(rz¦dukilkuset),wi¦czmienna
n
−
p
q
p
(1
−
p
)
n
•
mazcałkiemdobrymprzybli»eniemrozkład
N
(0
,
1).
•
Szukamytakiego
z
,aby
P
(
−
z
<Z<z
)=0
,
95.
•
Ztablicrozkładunormalnegoodczytujemy
z
=1
,
96
.
Rozwi¡zanie-c.d.
Zatem
0
1
400
−
p
P
@
−
1
,
96
<
q
p
(1
−
p
)
400
<
1
,
96
A
=0
,
95
,
•
sk¡d,poprzekształceniach—długich,aleniezbyttrudnych,botorównaniekwadratowe,
•
otrzymujemyszukanyprzedziałufno±ci
•
(0
,
754;0
,
836)
.
Wzoryprzybli»onenagraniceprzedziałuufno±ci
Gdy
n
jestdu»e,toprzedziałufno±cidla
p
magranice(przybli»one!)
Y
n
±
z
t
Y
n
1
−
Y
n
n
.
Rozkład
2
Niech
X
1
,X
2
,...,X
n
b¦d¡niezale»nymizmiennymilosowymiojednakowymrozkładzienormalnym
N
(0
,
1).
Wtedyzmienna
3
q
p
(1
−
p
)
Y
Y
320
U
n
=
X
2
1
+
X
2
2
+
...
+
X
2
n
ma
rozkład
2
n
(czyt.:chi-kwadrat)
o
n
stopniachswobody
.
•
Rozkładtenjeststabelaryzowany.
•
Gdy
n
!1
,tozmienna
U
n
marozkładasymptotycznienormalny
N
(
k,
(
p
2
k
)
2
).
•
Tabelezawieraj¡zwykledanedlaliczbystopniswobodyod1do30.
Rozkładwariancjizpróby
Niech
X
1
,X
2
,...,X
n
b¦dzieci¡giemniezale»nychzmiennychlosowychojednakowymrozkładzie
N
(
m,
2
).
Zwyklenieznamyani
m
,ani
,dlategozamiast
2
u»yjemystatystyki
S
2
=
1
n
P
n
i
=1
(
X
i
−
¯
X
)
2
.
Wówczaszmiennalosowa
nS
2
2
marozkład
2
n
−
1
o(
n
−
1)stopniachswobody.
Zadanie(abstrakcyjne)
Zbudowa¢przedziałufno±cidlanieznanejwariancjirozkładunormalnegonapoziomieufno±ci1
−
.
Budowaprzedziałuufno±cidlawariancji
Załó»my,»epobierzemyprób¦liczebno±ci
n
,niech
X
1
,X
2
,...,X
n
b¦d¡wynikamitejpróby.
Wiemy,»ezmiennalosowa
nS
2
2
marozkład
2
n
−
1
o(
n
−
1)stopniachswobody.
•
Dlazadanegopoziomuufno±ciszukamywtablicachtakichdwóchliczb
u
1
oraz
u
2
,aby
•
u
1
¬
nS
2
!
P
2
¬
u
2
=1
−
.
•
Takichparliczbjestniesko«czeniewiele,zwyklewybieramyjetak,aby
P
(0
<U<u
1
)=
2
oraz
P
(
u
2
<U<
1
)=
2
.
Mamywi¦c
u
1
¬
nS
2
!
P
2
¬
u
2
=1
−
,
sk¡d
nS
2
u
2
¬
2
¬
nS
2
!
P
=1
−
.
u
1
•
Szukanymprzedziałemufno±cijestwi¦cprzedział
•
nS
2
u
2
;
nS
2
!
.
u
1
Konkretnyprzykład
Zpopulacjiorozkładzienormalnympobranoprób¦prost¡iotrzymanowyniki:
3,23,74,13,53,0.
Napoziomieufno±ci0,9zbudujprzedziałufno±cidlanieznanejwariancjitegorozkładu.
Rozwi¡zanie
Obliczamy:
4
5
=17
,
5
/
5=3
,
5
•
S
2
=
1
5
((3
,
2
−
3
,
5)
2
+(3
,
7
−
3
,
5)
2
+(4
,
1
−
3
,
5)
2
+
+(3
,
5
−
3
,
5)
2
+(3
−
3
,
5)
2
)=0
,
74
/
5=0
,
148
.
•
Ztablicrozkładu
2
4
zczteremastopniamiswobodyodczytujemy,»e
P
(0
,
711
<
2
4
<
9
,
488)=0
,
9
.
•
St¡dprzedziałemufno±cidla
2
jest
9
,
488
¬
2
¬
5
·
0
,
148
0
,
711
czyli0
,
28
¬
¬
1
,
02
.
Testowaniehipotez
Idea:
•
Chcemyodpowiedzie¢napytaniedotycz¡cepewnej(lubpewnych)populacji.
•
Decyzj¦podejmujemywoparciuoprób¦-dysponujemyinformacj¡fragmentaryczn¡.
•
Wrezultaciemo»emypopełni¢bł¡dprzypodejmowaniudecyzji.
•
Chcemyzminimalizowa¢prawdopodobie«stwobł¦du.
Typowepytania
Pytaniaowarto±ciparametrówwrozkładzie.
•
DlapopulacjiorozkładzieBernoulliego:Czyprawdopodobie«stwosukcesuwynosi1/2?(„Czymoneta
jestsymetryczna?”)
•
Dlarozkładunormalnego:Czy±redniawpopulacjiwynosi0?Czy±redniawpopulacjiwynosi
m
?
Typowepytania
Pytaniaoposta¢rozkładu.
•
Czytenrozkładjestrozkłademnormalnym?
•
Amo»ejestrozkłademwykładniczym?
•
Amo»etojestrozkładBernoulliego?
Pytanieoniezale»no±¢
Czydanedwiecechys¡niezale»ne?
•
Naprzykładwagaiwzrost.
•
Albowzrostiocenywszkole.
•
Albo...
Sposóbformułowaniaodpowiedzi
Nawi¦kszo±¢zpowy»szychpyta«s¡dwiemo»liweodpowiedzi–takalbonie(prawdaalbofałsz).
Pytaniadotycz¡całejpopulacji,doktórejnaogółniemamydost¦pu.Naszadecyzja,któr¡podejmujemyw
oparciuoprób¦,jestzagro»onabł¦dem.
•
Zamiast:„Prawda”mówimy:„Woparciuot¦prób¦niemo»emywykluczy¢postawionejhipotezy”.
•
Przykład:„Przeprowadzonebadanianiepotwierdzaj¡,»ebadanepopulacjemaj¡ró»ny±rednipoziom
badanejcechy.”(Aleniemo»nawykluczy¢,»eniemaró»nicy).
5
•
¯
X
=
3
,
2+3
,
7+4
,
1+3
,
5+3
,
0
5
·
0
,
148
[ Pobierz całość w formacie PDF ]