wyklad9(2), matematyka, 0, httpwww.fuw.edu.pl~pmajlect.php, Matematyka II 20102011Z
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład9.
Matematyka 2, semestr letni 2010/2011
W poprzednim wykładzie omówione zostały liniowe równania ró»niczkowe, a wi¦c równania
nast¦puj¡cej postaci:
x
0
=
a
(
t
)
x
+
b
(
t
)
.
Zajmowa¢ si¦ b¦dziemy teraz podobnym typem równania, ale w przypadku, gdy warto±ci od-
wzorowania
t
7!
x
(
t
) le»¡ w przestrzeni wektorowej wymiaru wi¦kszego ni» 1. Twierdzenie
Cauchy’ego o istnieniu i jednoznaczno±ci wymaga, aby była to unormowana, zupełna prze-
strze« wektorowa. My pracowa¢ b¦dziemy zwykle w R
n
. Równanie o którym b¦dziemy mówi¢
b¦dzie wi¦c równaniem na krzyw¡ w R
n
:
2
3
x
1
(
t
)
x
2
(
t
)
.
.
.
x
n
(
t
)
4
5
I
3
t
7−!
x
(
t
)=
.
Wtymkontek±cieznakró»niczkowania”prim”
x
0
zast¦powanyjestzazwyczajprzezkropk¦nad
funkcj¡ (np. ˙
x
1
), a wektor
2
4
3
5
˙
x
1
(
t
)
˙
x
2
(
t
)
.
.
.
˙
x
n
(
t
)
˙
x
(
t
)=
jest interpretowany jako wektor styczny do krzywej
t
7!
x
(
t
) w punkcie
x
(
t
) oznaczaj¡cy pr¦d-
ko±¢ punktu poruszaj¡cego si¦ wzdłu» krzywej. Wpoprzednim wykładzie u»ywali±my nast¦pu-
j¡cego przykładu. Dla krzywej
"
#
"
#
x
1
(
t
)
x
2
(
t
)
t
t
2
R
3
t
7−!
x
(
t
)=
=
pr¦dko±¢ w punkcie
t
=1 jest wektorem
"
#
"
#
"
#
˙
x
1
(
t
)
˙
x
2
(
t
)
1
2
t
1
2
˙
x
(
t
)
|
t
=1
=
=
=
.
|
t
=1
|
t
=1
˙
x
1
(1)
x
(
t
)
x
(1)
˙
x
2
(1)
t
Równanie
liniowe jednorodne
na krzyw¡ w R
n
jest to równanie postaci
˙
x
(
t
)=
A
(
t
)
x
(
t
)
1
2
albo dokładniej
2
3
2
3
2
3
˙
x
1
(
t
)
˙
x
2
(
t
)
.
.
.
˙
x
n
(
t
)
a
1
1
(
t
)
a
1
2
(
t
)
···
a
1
n
(
t
)
a
2
1
(
t
)
a
2
2
(
t
)
···
a
2
n
(
t
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
(
t
)
a
n
2
(
t
)
···
a
n
n
(
t
)
x
1
(
t
)
x
2
(
t
)
.
.
.
x
n
(
t
)
4
5
4
5
4
5
=
.
Zamiast”równanieliniowe”nakrzyw¡ wprzestrzeniwektorowej mówisi¦tak»e”układrówna«
liniowych na funkcje
x
1
,...,x
n
. Mo»emy rozwa»a¢ tak»e równanie niejednorodne z niejedno-
rodno±ci¡
2
3
b
1
(
t
)
b
2
(
t
)
.
.
.
b
n
(
t
)
4
5
t
7−!
b
(
t
)=
,
tzn.
˙
x
(
t
)=
A
(
t
)
x
(
t
)+
b
(
t
)
.
Niestety ogólne równanie liniowe w wymiarze
n >
1 nie jest tak łatwo rozwi¡za¢ jak w wy-
miarze
n
= 1. Wiadomo, »e
przestrze« rozwi¡za« równania niejednorodnego jest n-wymiarow¡
przestrzeni¡wektorow¡
.Baz¦(
1
(
t
)
,
2
(
t
)
,...,
n
(
t
))tejprzestrzeninazywamy
fundamentalnym
układem rozwi¡za«
.Ka»derozwi¡zanierównaniajednorodnego(RORJ)jestkombinacj¡ liniow¡
elementów bazowych, czyli jest postaci
x
o
(
t
)=
C
1
1
(
t
)+
C
2
2
(
t
)+
···
+
C
n
n
(
t
)
.
Wadomotak»e,»e
przestrze« rozwi¡za« równania niejednorodnegojest n-wymiarow¡ przestrze-
ni¡ aniczn¡
. Rozwi¡zanie ogólne równania niejednorodnego (RORN) mo»e by¢, podobnie jak
w jednym wymiarze, przedstawione jako suma (RORJ) i (RSRN):
x
(
t
)=
x
o
(
t
)+
x
s
(
t
)
.
Podstawow¡ trudno±¢ stanowi znalezienie (RORJ). (RSRN) mo»a uzyska¢ metod¡ uzmiennia-
nia stałych. Ogólna metoda rozwi¡zywania równa« liniowych istnieje dla przypadku, gdy
A
nie zale»y od czasu, czyli jest stał¡ macierz¡. Spróbujemy znale¹¢ t¦ metod¦, posługuj¡c si¦
metod¡kolejnychprzybli»e«jakwdowodziePicardatwierdzeniaCauchy’ego.B¦dziemymy±le¢
o rozwi¡zywaniu zagadnienia pocz¡tkowego z warunkiem pocz¡tkowym wybranym dla
t
=0.
Równanie liniowe, jednorodne, o stałych współczynnikach.
Dlaułatwienia przyjmijmy
n
= 2. post¦powanie dla dowolnego wymiaru przestrzeni niczym si¦ nie ró»ni. Układ równa«
ma posta¢:
"
#
"
#"
#
˙
x
˙
y
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
x
y
=
.
Macierz współczynników oznaczmy
A
i ustalmy warunki pocz¡tkowe
x
(0) =
x
0
,
y
(0) =
y
0
.
Stosuj¡c metod¦ Picarda zapisujemy ospowiednie równanie całkowe
"
#
"
#
"
#"
#
Z
t
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
x
(
t
)
y
(
t
)
x
0
y
0
x
(
s
)
y
(
s
)
d
s.
=
+
0
3
Pewne zdziwenie mo»e budzi¢ zapis wektorowy pod całk¡. Oznacza to jednynie tyle, »e ka»d¡
współrz¦dn¡ nale»y całkowa¢ oddzielnie, tzn:
2
3
Z
t
"
#"
#
"
#
a
1
1
x
(
s
)+
a
1
2
y
(
s
)
d
s
Z
Z
4
5
t
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
x
(
s
)
y
(
s
)
t
a
1
1
x
(
s
)+
a
1
2
y
(
s
)
a
2
1
x
(
s
)+
a
2
2
y
(
s
)
0
d
s
=
d
s
=
.
Z
t
0
0
a
2
1
x
(
s
)+
a
2
2
y
(
s
)
d
s
0
Rozpoczynamy rozwi¡zywanie od zerowego przybli»enia
"
#
x
0
y
0
'
0
(
t
)=
.
Wówczas pierwsze przybli»enie to
"
#
"
#
"
#
"
#
Z
x
0
y
0
t
0
A
x
0
y
0
x
0
y
0
x
0
y
0
d
s
=
'
1
(
t
)=
+
+
At
.
Wynik podstawiamy do wzoru na drugie przybli»enie:
"
#
"
#
"
#
!
"
#
"
#
"
#!
Z
Z
x
0
y
0
t
0
A
x
0
y
0
x
0
y
0
x
0
y
0
t
x
0
y
0
x
0
y
0
+
A
2
t
d
s
=
d
s
=
'
2
(
t
)=
+
+
At
+
A
0
"
#
"
#
"
#
"
#
+
1
=
(
I
+
At
+
1
x
0
y
0
x
0
y
0
x
0
y
0
x
0
y
0
2
A
2
t
2
2
A
2
t
2
)
+
At
.
Policzmy jeszcze trzecie przybli»enie:
"
#
"
#
!
Z
(
I
+
As
+
1
x
0
y
0
t
0
A
x
0
y
0
2
A
2
s
2
)
d
s
=
'
3
(
t
)=
+
"
#
"
#!
Z
(
A
+
A
2
s
+
1
x
0
y
0
t
0
A
x
0
y
0
2
A
3
s
2
)
d
s
=
+
"
#
"
#
"
#
+(
At
+
1
2
A
2
t
2
+
1
=
(
I
+
At
+
1
2
A
2
t
2
+
1
x
0
y
0
x
0
y
0
x
0
y
0
6
A
3
t
3
)
6
A
3
t
3
)
.
Obserwuj¡c sposób wyznaczania kolejnych przybli»e« stwierdzamy, »e
'
n
(
t
)=(
I
+
At
+
1
"
#
2
A
2
t
2
+
···
+
1
x
0
y
0
n
!
A
n
t
n
)
.
Zgodniezzasadamisztukirozwi¡zaniepowinnozatemby¢granic¡jednostajn¡ci¡guprzybli»e«:
"
#
n
!1
(
I
+
At
+
1
2
A
2
t
2
+
···
+
1
x
0
y
0
n
!
A
n
t
n
)
x
(
t
)= lim
n
!1
'
n
(
t
)= lim
.
Wprowad¹my nast¦puj¡ce oznaczenia
1
n
!1
(
I
+
At
+
1
2
A
2
t
2
+
···
+
1
X
1
n
!
(
At
)
n
=exp(
At
)
.
Okazuje si¦, »e dla ka»dej macierzy
A
powy»sza granica istnieje i jest pewn¡ macierz¡ 2
×
2, której współczynniki zale»¡ od czasu. Rozwi¡zanie równania jednorodnego z warunkiem
pocz¡tkowym ma wi¦c posta¢
n
!
A
n
t
n
)=
lim
n
=0
"
#
"
#
x
(
t
)
y
(
t
)
x
0
y
0
=exp(
At
)
.
4
Oddzieln¡ trudno±¢ stanowi wyznaczanie macierzy b¦d¡cej warto±ci¡ funkcji wykładniczej ar-
gumentu maierzowego. Temu problemowi po±wi¦cimy nast¦pny fragment wykładu.
Funkcja
exp
argumentumacierzowego.
Wiadomo,»emacierzekwadratowe
n
×
n
(reprezen-
tuj¡ce endomorzmy liniowe przestrzeni R
n
) mo»na przez siebie mno»y¢. Mo»na tak»e oczywi-
±cie mno»y¢ macierze przez liczby i dodawa¢ je do siebie. Operacje wektorowe (mno»enie przez
liczbyidodawanie)wrazzmno»eniemmacierzytworz¡wzbiorzemacierzystruktur¦nazywan¡
algebr¡
. Ze wzgl¦du na istnienie macierzy jednostkowej, która jest elementem neutralnym ze
wzgl¦du na mno»enie, algebra macierzy jest
algebr¡ z jedynk¡
. Operacja mno»enia macierzy
pozwala nam łatwo deniowa¢ funkcje wielomianowe argumentu macierzowego. Nie ma chyba
w¡tpliwo±ci cooznacza
w
(
A
),je±li
A
2
R
n
n
a
w
jestwielomianem. Naprzykładdlawielomianu
stopnia drugiego postaci
w
(
t
)=
at
2
+
bt
+
c
, podstawiaj¡c
A
w miejsce
t
, otrzymujemy
w
(
A
)=
aA
2
+
bA
+
cI.
Zwró¢my uwag¦ na wyraz wolny - jest on pomno»ony przez macierz jednostkow¡. Teoretycznie
potramy wi¦c obliczy¢ ka»dy wielomian od ka»dej macierzy. Oczywi±cie je±li ten wielomian
jest wysokiego stopnia (na przykład 100) mo»emy napotka¢ na pewne trudno±ci techniczne
(na przykład brak cierpliwo±ci, albo brak czasu na długotrwałe rachunki). Pod koniec tego
wykładu powinni±my potra¢poradzi¢ sobie z tymi trudno±ciami, stosuj¡c szybk¡ metod¦ wy-
znaczania warto±ci wielomianu (nawet wysokiego stopnia) na danej macierzy. Troch¦ inaczej
sytuacjawygl¡dadlafunkcjiinnychni»wielomiany.Czypotraliby±myzdeniowa¢np.funkcj¦
wykładnicz¡ argumentu macierzowego?
Jedn¡ z wielu mo»liwych denicji funkcji exp jest denicja za pomoc¡ szeregu pot¦gowego:
x
n
n
!
.
Wiadomo,»e szereg ten ma niesko«czony promie« zbie»no±ci, zatem funkcja exp okre±lona jest
na całym zbiorze R. posługuj¡c si¦ szeregiem pot¦gowym potramy rozszerzy¢ funkcj¦ exp na
zbiór C. Potrzebna jest do tego (dobrze nam znana) operacja mno»enia liczb zespolonych i
poj¦cie zbie»no±ci na płaszczy¹nie zespolonej (te» dobrze nam znane, bo takie jak w R
2
). ›e-
by sensownie zdeniowa¢ exp(
A
) dla
A
2
R
n
n
potrzebujemy, oprócz mno»enia macierzy tak»e
poj¦cie zbie»no±ci w przestrzeni macierzy. Poniewa» jako przestrze« wektorowa R
n
n
jest izo-
morczna z R
n
2
mo»emy u»y¢ topologiiw tej ostatniej przestrzeni. Nie b¦dziemy si¦ zajmowa¢
aspektami teoretycznymi. Zadowolimy si¦ nast¦puj¡cym twierdzeniem
Fakt 1.
Dla dowolnej macierzy A
2
R
n
n
(a tak»e A
2
C
n
n
) szereg
1
X
(1)
exp(
x
)=
n
=0
1
X
A
n
n
!
exp(
A
)=
n
=0
jest zbie»ny.
Skupimy si¦ za to na kwestiach technicznych, tzn
jak to policzy¢
?! Najłatwiej jest zacz¡¢ od
macierzy diagonalnej i wymiaru przestrzeni
n
=2. Dla macierzy
"
#
0
0
µ
A
=
warto±¢ exp(
A
) wyznaczamy bez trudno±ci. Obserwujemy, »e
"
#
"
#
"
#
2
0
0
µ
2
0
0
µ
0
0
µ
A
2
=
·
=
5
i ogólnie
"
#
"
#
n
0
0
µ
n
0
0
µ
n
A
n
=
=
.
Otrzymujemy zatem
"
#
"
P
1
#
"
#
n
=0
n
1
A
n
n
!
=
1
X
X
1
n
!
n
0
0
µ
n
0
exp(
) 0
0 exp(
µ
)
exp(
A
)=
=
n
!
=
.
P
n
=0
µ
n
1
0
n
=0
n
=0
n
!
Niestety zazwyczaj mamy do czynienia z macierz¡, która nie jest diagonalna. Niektóre ma-
cierze mo»na jednak sprowadzi¢ do postaci diagonalnej wyra»aj¡c je w innej bazie. My±limy
nast¦puj¡co: macierz
A
reprezentuje odwzorowanie liniowe z R
2
do R
2
. By¢ mo»e macierz tego
odwzorowania w bazie innej ni» kanoniczna oka»e si¦ diagonalna. Załó»my przez chwil¦, »e tak
jest, tzn,»e mamy baz¦
v
=(
v
1
,v
2
) tak¡,»e[
A
]
v
v
jest diagonalna.Oznaczmy macierz przej±cia
z bazy
e
do bazy
v
przez
Q
:
Q
=[id]
v
e
. Wtedy
Q
−
1
=[id]
e
v
i zachodzi wzór
"
#
0
0
µ
=[
A
]
v
v
=
QAQ
−
1
Dla ułatwienia oznaczmy liter¡
D
macierz diagonaln¡
"
#
0
0
µ
D
=
.
Mamy wi¦c wzór
D
=
QAQ
−
1
i odwrotn¡ zale»no±¢
A
=
Q
−
1
DQ
W dalszych rachunkach podstawowe znaczenie ma nastepuj¡ca obserwacja:
A
2
=
AA
=
Q
−
1
D
QQ
−
1
DQ
=
Q
−
1
D
I
DQ
=
Q
−
1
D
2
Q,
podobnie
A
n
=
Q
−
1
D
n
Q.
Obserwacja ta pozwala nam wyliczy¢ exp(
A
), je±li znamy
D
i
Q
:
!
1
1
1
X
1
X
1
X
1
n
!
A
n
=
n
!
Q
−
1
D
n
Q
=
Q
−
1
n
!
D
n
(2) exp(
A
)=
Q
=
n
=0
n
=0
n
=0
"
#
exp(
) 0
0 exp(
µ
)
Q
−
1
exp(
D
)
Q
=
Q
−
1
Q.
pozostaje oczywi±cie pytania: Jak znale¹¢ macierz
D
odpowiadaj¡c¡
A
, tzn. jak znale¹¢ baz¦
w której
A
ma posta¢ diagonaln¡? Czy taka baza zawsze istnieje?
Diagonalizowalno±¢ operatorów liniowych:
Podstawow¡ obserwacj¡ jest, »e je±li istnieje
baza w której
A
jest diagonalny (mówimy wtedy, »e
A
jest
diagonalizowalny
) to elementy tej
bazy maj¡ pewn¡ szczególn¡ własno±¢. Oznaczmy jak poprzednio baz¦ diagonalizuj¡c¡ przez
v
=(
v
1
,v
2
), posta¢ diagonaln¡ macierzy
A
przez
D
i odpowiednie macierzowe elementy diago-
nalneprzez
i
µ
.Obliczmy
A
(
v
1
)i
A
(
v
2
).Najwygodniejjesttozrobi¢korzystj¡czreprezentacji
w bazie
v
:
"
#"
#
"
#
"
#
0
0
µ
1
0
0
1
0
[
Av
1
]
v
=[
A
]
v
v
[
v
1
]
v
=
=
[
v
1
]
v
.
=
=
[ Pobierz całość w formacie PDF ]