wyklad6 2008 tekst, Matematyka studia, Statystyka i prawdpodopdobieństwo
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład6
CentralneTwierdzenieGraniczne.
Rozkładywielowymiarowe
Nierówno±¢Czebyszewa
Niech
X
b¦dziezmienn¡losow¡osko«czonejwariancji
Var
(
X
).Wtedywarto±¢
oczekiwana
E
(
X
)te»jestsko«czonaidlaka»dego
t>
0zachodzinierówno±¢:
P
(
|
X
−
E
(
X
)
|
>t
)
¬
Var
(
X
)
t
2
.
Równowa»nie:
P
(
|
X
−
E
(
X
)
|¬
t
)
1
−
Var
(
X
)
t
2
.
Zastosowanienierówno±ciCzebyszewa
Chcemywykona¢10000rzutówsymetryczn¡moneta.Jakiejest
prawdopodobie«stwotego,»eliczbauzyskanychorłówb¦dziezawartawprzedziale:
•
[4000
,
6000]?
•
[4500
,
5500]?
•
[4900
,
5100]?
•
[4950
,
5150]?
Rozwi¡zanie
Liczbaorłóww10000rzutówmarozkładBernoulliegozparametrami
p
=
1
2
oraz
n
=10000.
St¡d
•
10000
k
!
1
2
10000
P
(
S
10000
=
k
)=
=
p
k
.
•
Zatem
600
X
P
(4000
¬
S
10000
¬
6000)=
p
k
=
k
=4000
•
1,00000000000000(14zer)—wynikprogramu„Mathematica”
•
Wprzypadkuprzedziału[4500
,
5500]—wyniktakisam.
•
Wprzypadkuprzedziału[4900
,
5100]0,95557420095392.
•
Wprzypadkuprzedziału[4950
,
5050]0,68750479048932.
•
Wprzypadkuprzedziału[4850
,
5150]0,99738926209332.
Agdyniemamykomputera?
Zastosujemynierówno±¢Czebyszewadla
E
(
S
n
)=
np
=5000
, Var
(
S
n
)=
np
(1
−
p
)=2500
.
•
P
(4000
¬
S
10000
¬
6000)=
=
P
(
|
S
10000
−
5000
|¬
1000)
1
−
2500
1000
2
=1
−
25
10000
=0
,
9975
.
1
•
P
(4500
¬
S
10000
¬
5500)=
=
P
(
|
S
10000
−
5000
|¬
500)
1
−
2500
500
2
=1
−
1
100
=0
,
99
.
•
P
(4900
¬
S
10000
¬
5100)=
=
P
(
|
S
10000
−
5000
|¬
100)
1
−
2500
100
2
=1
−
1
4
=0
,
75
.
Czytoprzypadek?
Powró¢mydooblicze«dokładnych:dlaodchylenialiczbyorłówod±redniej5000:
•
o
±
50dostali±myprawdopodobie«stwo0,68750479048932;
•
o
±
100dostali±myprawdopodobie«stwo0,95557420095392;
•
o
±
150dostali±myprawdopodobie«stwo0,99738926209332.
•
Podobneliczbyju»spotkali±my.Kiedy?
•
Tutajmamy
=
p
2500=50.
DeskaGaltona
Przydo±wiadczeniuzdesk¡Galtona
•
Słupkiwskazuj¡cecz¦sto±cikulwkolejnychprzegródkachukładałysi¦wkształciekrzywejGaussa.
•
Takjestnietylkodlamonetyz
p
=
1
2
,aleogólniewprzypadkuschematuBernoulliego(poodpowiednim
unormowaniu).
•
OdkrytotowXVIIIwieku.
TwierdzeniedeMoivre’a–Laplace’a
Je»eli
S
n
oznaczaliczb¦sukcesówwschemacieBernoulliegozparametrami
n
oraz
p
2
(0
,
1),todladowolnych
−1¬
a<b
¬1
mamy
!
Z
b
a<
S
n
−
np
1
p
2
e
−
x
2
2
dx
=(
b
)
−
(
a
)
.
n
!1
P
p
np
(1
−
p
)
<b
=
a
Zastosowaniedozadania.
Wzadaniumieli±my
n
=10000,
p
=
1
2
,sk¡d
E
(
S
10000
)=5000i
p
np
(1
−
p
)=
50.ZatemtwierdzeniedeMoivre’a–Laplace’amówi,»e
•
4000
−
5000
P
(4000
¬
S
10000
¬
6000)=
=
P
50
¬
S
10000
−
5000
50
¬
(
6000
−
5000
50
P
(
−
20
¬
Z
¬
20)=1
Podobnie
•
4900
−
5000
P
(4900
¬
S
10000
¬
5100)=
=
P
50
¬
S
10000
−
5000
50
¬
(
5100
−
5000
50
P
(
−
2
¬
Z
¬
2)=0
,
95
...
2
lim
•
P
(4950
¬
S
10000
¬
5050)=
4950
−
5000
=
P
50
¬
S
10000
−
5000
50
¬
(
5050
−
5000
50
P
(
−
1
¬
Z
¬
1)=0
,
68
...
Kiedywolnostosowa¢twierdzeniedeMoivre’a–Laplace’a?
•
Zauwa»my,»erówno±¢mamydopierowgranicy!
•
Okazujesi¦jednak,»ezbie»no±¢jest
zwykle
takszybka,i»dla
n>
30mamycałkiemniezłeprzybli-
»enia.
CentralneTwierdzenieGraniczne
Je»eli
X
1
,X
2
,...,X
n
,...
s¡niezale»nymizmiennymilosowymiojednakowymrozkładzie,o±redniej
E
(
X
1
)i
wariancji
2
todladowolnych
−1¬
a<b
¬1
mamy
n
!1
P
a<
X
1
+
...
+
X
n
−
nE
(
X
1
)
p
n
<b
=
Z
b
2
e
−
x
2
2
dx
=(
b
)
−
(
a
)
.
a
CoznaczywpraktyceCTG?
•
CTGmówi,»egdy
dodajemydu»oniezale»nychzmiennych
ojednakowymrozkładzie,to
•
odpowiedniounormowanasumamawprzybli»eniurozkładnormalny
.
•
Twierdzeniewyja±nawi¦c,dlaczegorozkładnormalnyjesttakpowszechny(jest„normalny”).
•
Naprzykład,nabł¡dpomiaruwpływmawieleniezle»nychczynników,któresi¦sumuj¡.
•
Nawzrostczłowiekate».
•
Anawag¦człowieka?
Wektorlosowy
Załó»my,»edanes¡dwiezmiennelosowe
X
i
Y
orazich
ł¡cznyrozkład
,toznaczy
opisanes¡warto±ciobuzmiennychiprawdopodobie«stwazjakimitewarto±cis¡przyjmowane:
P
(
X
=
x
i
,Y
=
y
j
)=
p
ij
powszystkichmo»liwych
x
i
,y
j
oraz
i,j
Wektorlosowy
Takiezmiennemo»emyzapisa¢wpostaciwektoraodwóchwspółrz¦dnych(
X,Y
):
P
((
X,Y
)=(
x
i
,y
j
))=
p
ij
.
Wektorlosowy
Gdywektor(
X,Y
)przyjmujetylkosko«czeniewielewarto±ci,tojegorozkładwygodnie
jestprzedstawi¢zapomoc¡tabelki:
Y
\
X
0 1 2
−
1
1
3
lim
1
p
Jakieliczbymog¡pojawi¢si¦wpustychmiejscachtabelki?
Wektorlosowy
Załó»my,»edanyjestwektor(
X,Y
)ijegorozkład
Y
\
X
0 1 2
−
1 0
,
20
,
10
,
1
1 0
,
10
,
30
,
2
•
Jakiewarto±ciprzyjmuje
X
,ajakie
Y
?
•
Zjakimiprawdopodobie«stwami?
•
Zadanie:Opisa¢rozkładyzmiennych
X
i
Y
.
Rozwi¡zanie
Y
\
X
0 1 2
−
1 0
,
20
,
10
,
1
1 0
,
10
,
30
,
2
Rozkładzmiennej
X
mo»emyprzedstawi¢wtabelce:
x
i
0 1 2
p
i
0
,
30
,
40
,
3
Rozkładybrzegowe
Rozkładpojedynczejzmiennej
X
(lub
Y
)nazywamy
rozkładembrzegowym
wektora(
X,Y
).Wrozwa-
»anymzadaniumamy
•
Dlazmiennej
X
:
x
i
0 1 2
p
i
0
,
30
,
40
,
3
•
Dlazmiennej
Y
:
y
j
−
1 1
p
j
0
,
40
,
6
Obliczeniadlarozkładówbrzegowych
Znaj¡crozkładybrzegowewektora(
X,Y
),toznaczyrozkładyzmiennych
X
oraz
Y
,mo»emyobliczy¢ich:
•
warto±cioczekiwane,
•
wariancje,
•
inneparametry.
Poniewa»
x
i
0 1 2
E
(
X
)=0
·
0
,
3+1
·
0
,
4+2
·
0
,
3=1
,
Var
(
X
)=(0
−
1)
2
·
0
,
3+(1
−
1)
2
·
0
,
4+(2
−
1)
2
·
0
,
3=0
,
3+0
,
3=0
,
6
.
Podobnieliczymy
E
(
Y
)=
...
oraz
Var
(
Y
)=
...
.
Rozkładsumy
X
+
Y
Gdydanyjestrozkładł¡czny(
X,Y
),tomo»emyłatwoobliczy¢rozkłady
4
p
i
0
,
30
,
40
,
3
,
wi¦c
•
sumy
X
+
Y
,
•
ró»nicy
X
−
Y
,
•
iloczynu
XY
,
•
ilorazu
X/Y
(oilemianownikniezerujesi¦).
•
Wnaszymprzykładzie
X
+
Y
przyjmujewarto±ci
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3zprawdopodobie«stwami...
Niezale»no±¢zmiennych
Znaj¡crozkładwektora(
X,Y
)czylirozkładł¡cznypary
X,Y
,mo»emybada¢niezale»no±¢zmiennych
X
i
Y
.
•
Czyzmienne,opisanewtabelces¡niezale»ne?
•
Jakłatwopozna¢ztabelki,czyzmiennes¡niezale»ne?
Czy
X
i
Y
s¡niezale»ne?
Przypomnijmydefinicj¦niezale»no±cizmiennychorozkładachdyskretnych:
XiYs¡niezale»ne,gdydlawszystkichmo»liwychwarto±cix
i
,y
j
,jakietezmienneprzyjmuj¡zachodzi
równo±¢
P
(
X
=
x
i
,Y
=
y
j
)=
P
(
X
=
x
i
)
·
P
(
Y
=
y
j
)
.
•
Czynaszezmienne
X
,
Y
maj¡t¦własno±¢?
•
Sprawd¹my:
P
((
X,Y
)=(0
,
−
1))=0
,
2
•
P
(
X
=0)
·
P
(
Y
=
−
1)=0
,
3
·
0
,
4=0
,
12
.
•
Tezmiennes¡zale»ne!
Niezale»no±¢zmiennychzadanychtabelk¡
Zmienne
X
i
Y
s¡niezale»ne,gdyrozkładł¡cznyjestproduktemrozkładówbrzegowych,toznaczy
praw-
dopodobie«stwawtabelces¡iloczynamiodpowiednichprawdopodobie«stwbrzegowych
.
Jakieliczbynale»ywpisa¢wtabelk¦,abydla
X
i
Y
ozadanychrozkładachbrzegowychzmiennetebyły
niezale»ne?
Rozkładwektoralosowego
(
X,Y,Z
)
Wprzypadkuwektorówowi¦kszejliczbiewspółrz¦dnychwszystkierachunkis¡analogiczne,aledłu»sze.A
rozkładwektora(
X,Y,Z
)powinienby¢zadany„tabelk¡trójwymiarow¡”.
Kowariancja
Miar¡zale»no±cizmiennychjestich
kowariancja
cov
(
X,Y
)=
E
(
XY
)
−
E
(
X
)
E
(
Y
)
.
•
Wiemyju»,jakobliczy¢
E
(
X
)i
E
(
Y
).
•
Znaj¡crozkładwektora(
X,Y
)(czyliwarto±ciwtabelce),mo»emyobliczy¢
E
(
XY
):
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]