wyklad5, matematyka, 0, httpmath.uni.lodz.pl~kowalcr, Topologia 1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 5
Przekształcenia ci
Ģ
głe i homeomorficzne. Odwzorowania domkni
ħ
te i otwarte.
Niech od tej pory, o ile nie załoŇymy inaczej,
(
)
i
(
)
X
, r
Y
, r
oznaczajĢ dowolne przestrzenie metryczne.
1
2
Definicja 52 (Cauchy’ego ci
Ģ
gło
Ļ
ci w punkcie)
Powiemy,
Ň
e funkcja
f
:
X
®
Y
jest ci
Ģ
gła w punkcie
x
Î
0
X
, je
Ļ
li
Ù
Ú
Ù
(
(
)
(
( )
(
)
)
e
,
r
x
,
x
<
d
¼
r
f
x
,
f
x
<
1
0
2
0
e
>
0
d
>
0
x
Î
X
lub, wykorzystuj
Ģ
c poj
ħ
cie kuli,
Ň
e
Ù
Ú
Ù
(
(
)
( )
(
(
)
)
)
x
Î
K
x
,
d
¼
f
x
Î
K
f
x
,
e
0
0
e
>
0
d
>
0
x
Î
X
i równowa
Ň
nie
Ù
>
Ú
(
(
)
)
(
(
)
e
(
Å
)
.
f
K
x
,
d
Ì
K
f
x
,
0
0
e
0
d
>
0
Definicja ta pochodzi od Cauchy’ego. Czħsto uŇywana jest druga, równowaŇna powyŇszej, definicja ciĢgłoĻci
pochodzĢca od Heinego. Podajemy jĢ poniŇej bez dowodu.
Definicja 53 (Heinego ci
Ģ
gło
Ļ
ci w punkcie)
Powiemy,
Ň
e funkcja
f
:
X
®
Y
jest ci
Ģ
gła w punkcie
x
Î
0
X
, je
Ļ
li
Ù
(
)
(
)
(
)
.
lim
x
=
x
¼
lim
f
x
=
f
x
n
0
n
0
{
}
x
n
X
n
®
¥
n
®
¥
Definicja 54 (ci
Ģ
gło
Ļ
ci w zbiorze)
Powiemy,
Ň
e funkcja
f
:
X
®
Y
jest ci
Ģ
gła w zbiorze X , lub po prostu ci
Ģ
gła, je
Ļ
li jest ona ci
Ģ
gła w ka
Ň
dym
punkcie zbioru X , tj. je
Ļ
li
Ù
Ù
Ú
Ù
(
(
)
(
( )
(
)
)
d
r
x
,
x
<
d
¼
r
f
x
,
f
x
<
1
0
2
0
x
Î
X
e
>
0
d
>
0
x
Î
X
0
Zachodzi nastħpujĢce twierdzenie.
Twierdzenie 55
Funkcja
f
:
X
®
Y
jest ci
Ģ
gła w zbiorze X wtedy i tylko wtedy, gdy:
( )
−
(a) dla dowolnego zbioru G otwartego w Y zbiór
f
G
jest otwarty w X ,
( )
−
(b) dla dowolnego zbioru F domkni
ħ
tego w Y zbiór
f
F
jest domni
ħ
ty w X .
Dowód
(a) Załó
Ň
my najpierw,
Ň
e funkcja
f
jest ci
Ģ
gła w zbiorze
X
, tj. w ka
Ň
dym punkcie zbioru
X
. Niech
G
b
ħ
dzie
( )
−
1
dowolnym zbiorem otwartym w
Y
. Je
Ļ
li
f
G
=
Æ
, to jest on oczywi
Ļ
cie zbiorem otwartym w
X
. Niech
1
( )
( )
.
Poniewa
Ň
(
)
−
1
−
teraz
f
G
¹
Æ
. We
Ņ
my dowolny punkt
x
nale
ŇĢ
cy do zbioru
f
G
f
x
Î
G
i zbiór
G
jest
0
(
(
)
)
. A poniewa
Ň
f
jest funkcj
Ģ
ci
Ģ
gł
Ģ
, to
(
zob. warunek
(
Å
)
otwarty, to istnieje
e
>
0
takie,
Ň
e
K
f
x
,
e
Ì
G
0
(
(
)
)
(
(
)
definicji 52) znajdziemy liczb
ħ
d
>
0
tak
Ģ
,
Ň
e
f
K
x
,
d
Ì
K
f
x
,
e
. A zatem
0
0
(
(
)
)
d
,
f
K
x
,
Ì
G
0
sk
Ģ
d
(
)
(
(
(
)
)
)
( )
.
−
1
−
1
K
x
,
d
Ì
f
f
K
x
,
d
Ì
f
G
0
0
(
( )
)
( )
(
( )
)
To pokazuje,
Ň
e
x
Î
Int
f
−
1
G
. Z dowolno
Ļ
ci wyboru
x
mamy
f
−
1
G
Ì
Int
f
−
1
G
, a to ju
Ň
oznacza,
Ň
e
0
( )
−
zbiór
f
G
jest otwarty.
( )
−
1
Załó
Ň
my z kolei,
Ň
e zbiór
f
G
jest otwarty dla dowolnego zbioru
G
otwartego w
Y
. Niech
x
b
ħ
dzie
(
(
)
e
dowolnym punktem przestrzeni
X
, a
e
>
0
dowoln
Ģ
liczb
Ģ
dodatni
Ģ
. Poniewa
Ň
kula
K
f
x
,
jest zbiorem
(
(
(
)
)
)
otwartym (zob. twierdzenie 39 (b)), wi
ħ
c równie
Ň
zbiór
f
−
1
K
f
x
,
e
jest otwarty i
x
do niego nale
Ň
y. Z
0
(
)
(
(
(
)
)
)
−
1
otwarto
Ļ
ci istnieje zatem liczba dodatnia
d
>
0
taka,
Ň
e
K
x
,
d
Ì
f
K
f
x
,
e
. Mamy teraz
0
0
(
(
)
)
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
)
e
−
1
f
K
x
,
d
Ì
f
f
K
f
x
,
e
Ì
K
f
x
,
,
0
0
0
co pokazuje, na mocy warunku (
Å
) definicji 52,
Ň
e funkcja
f
jest ci
Ģ
gła w punkcie
x
Î
0
X
i z dowolno
Ļ
ci
wyboru punktu
x
w całym zbiorze
X
.
(b) Wykorzystujac (a) oraz twierdzenie 34 otrzymujemy
Ù
Ù
Ù
( )
( )
( )
( )
f
−
1
F
Î
S
Û
X
\
f
−
1
F
Î
Û
f
−
1
Y
\
f
−
1
F
Î
Û
X
X
X
F
Î
S
F
Î
S
F
Î
S
Y
Y
Y
Ù
Ù
Ù
(
)
( )
( )
f
jest ci
Ģ
gła.
Û
f
−
1
Y
\
F
Î
Û
f
−
1
G
Î
Û
f
−
1
G
Î
Û
X
X
X
(
)
Y
\
Y
\
F
Î
S
Y
\
G
Î
S
G
Î
Y
Y
Y
Definicja 56 (Cauchy’ego ci
Ģ
gło
Ļ
ci jednostajnej)
Powiemy,
Ň
e funkcja
f
:
X
®
Y
jest jednostajnie ci
Ģ
gła w przestrzeni X , je
Ļ
li
Ù
Ú
Ù
Ù
(
(
)
(
( )
(
)
)
e
.
r
x
,
x
<
d
¼
r
f
x
,
f
x
<
1
0
2
0
e
>
0
d
>
0
x
Î
X
x
Î
X
0
Definicja ta pochodzi od Cauchy’ego. Czħsto uŇywana jest druga, równowaŇna powyŇszej definicja ciĢgłoĻci
jednostajnej pochodzĢca od Heinego. Podajemy jĢ poniŇej bez dowodu.
Definicja 57 (Heinego ci
Ģ
gło
Ļ
ci jednostajnej)
Powiemy,
Ň
e funkcja
f
:
X
®
Y
jest jednostajnie ci
Ģ
gła w przestrzeni X , je
Ļ
li
Ù
Ì
Ù
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
.
lim
r
x
,
z
=
0
¼
lim
r
f
x
,
f
z
=
0
1
n
n
2
n
n
{
}
{
}
x
X
z
Ì
X
n
®
¥
n
®
¥
n
n
Łatwo zauwaŇyę, Ňe kaŇda funkcja jednostajnie ciĢgła jest takŇe ciĢgła. JednakŇe, nie kaŇda funkcja ciĢgła
jest jednostajnie ciĢgła. Pokazuje to poniŇszy przykład.
2
Przykład 58 (funkcji ci
Ģ
głej i nie ci
Ģ
głej jednostajnie)
(
)
Niech funkcja
f
:
X
®
Y
, gdzie
X
=
Y
=
0
+¥
i w przestrzeni
X
zadana jest metryka euklidesowa
× ,
1
( )
b
ħ
dzie dana wzorem
f
x
=
. Funkcja
f
jest ci
Ģ
gła w
X
, ale nie jest jednostajnie ci
Ģ
gła. Istotnie, bior
Ģ
c dwa
x
1
1
{ }
n
{ }
n
ci
Ģ
gi
x
i
z
punktów
przestrzeni
X
postaci
x
n
=
i
z
n
=
,
n
Î
i
mamy
n
2
n
1
1
(
)
(
)
lim
x
−
z
=
lim
−
=
0
oraz
lim
f
x
−
f
z
=
lim
n
−
2
n
=
+¥
¹
0
.
n
n
n
n
n
2
n
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
IstniejĢ jednak pewne typy przestrzeni metrycznych (np. przestrzenie zwarte o których bħdziemy mówili w
dalszej czħĻci wykładu) takie, Ňe kaŇda funkcja ciĢgła okreĻlona na takiej przestrzeni jest juŇ funkcjĢ
jednostajnie ciĢgłĢ.
Podamy teraz definicjħ przekształcenia homeomorficznego.
Definicja 59 (przekształcenia homeomorficznego)
Powiemy,
Ň
e funkcja
f
:
X
®
Y
jest homeomorfizmem, je
Ļ
li jest ona funkcj
Ģ
wzajemnie jednoznaczn
Ģ
(ró
Ň
nowarto
Ļ
ciow
Ģ
i „na”) oraz funkcje f i
f
−
s
Ģ
ci
Ģ
głe
JeŇeli funkcja
f
jest homeomorfizmem, to mówimy, Ňe przestrzeı
(
)
Y
, r
jest obrazem homeomorficznym
2
przestrzeni
(
)
X
, r
. PoniewaŇ łatwo zauwaŇyę, Ňe jeĻli funkcja
f
jest homeomorfizmem, to równieŇ
1
jest homeomorfizmem, wiħc bħdziemy mówię, Ňe przestrzenie
(
)
i
(
)
funkcja
f
−
X
, r
Y
, r
sĢ
1
2
homeomorficzne i bħdziemy to oznaczali
(
)
~
(
)
X
, r
Y
, r
lub krótko
X
~
Y
.
1
2
Analogicznie do ciĢgowych definicji ciĢgłoĻci i ciĢgłoĻci jednostajnej (zob. definicje 53 i 57) moŇna podaę
ciĢgowĢ definicjħ odwzorowania bħdĢcego homeomorfizmem. A mianowcie:
Definicja 60
Powiemy,
Ň
e funkcja
f
:
X
®
Y
jest homeomorfizmem, je
Ļ
li jest ona funkcj
Ģ
wzajemnie jednoznaczn
Ģ
(ró
Ň
nowarto
Ļ
ciow
Ģ
i „na”) oraz
Ù
Î
Ù
(
)
(
)
( )
lim
x
=
x
Û
lim
f
x
=
f
x
.
n
n
{
}
x
X
x
Ì
X
n
®
¥
n
®
¥
0
n
Definicja ta jest równowaŇna definicji 59, co wynika z definicji ciĢgłoĻci w sensie Heinego (zob. definicja 53)
−
zastosowanej do funkcji
f
i
f
.
Przykład 61 (odwzorowania ci
Ģ
głego i homeomorfizmu)
(a) Niech
X
=
Y
=
i niech w przestrzeni
X
b
ħ
dzie zadana metryka euklidesowa, a w przestrzeni
Y
metryka
( )
zero-jedynkowa, oraz niech odwzorowanie
f
:
X
®
Y
b
ħ
dzie dane wzorem
f
x
=
x
. Łatwo zauwa
Ň
y
ę
, co na
pierwszy rzut oka wydaje si
ħ
do
Ļę
zaskakuj
Ģ
ce,
Ň
e funkcja
f
nie jest ci
Ģ
gła. Bior
Ģ
c bowiem, np. zbiór otwarty
(
)
−
1
(
0
w przestrzeni
Y
(zob. przykład 30 (b)) jego przeciwobraz
f
(
0
=
(
0
nie jest otwarty w przestrzeni
3
euklidesowej
X
, a to na mocy twierdzenia 55 (a) oznacza,
Ň
e funkcja
f
nie jest ci
Ģ
gła. Natomiast, funkcja
odwrotna do
f
, tj. funkcja
−
1
i
−
1
jest ci
Ģ
gła, gdy
Ň
bior
Ģ
c dowolny zbiór
G
otwarty w
X
f
:
Y
®
X
f
(
y
)
=
y
jego przeciwobraz
(
)
( )
−
1
−
1
f
G
=
G
jest otwarty w przestrzeni dyskretnej
X
, gdy
Ň
tam ka
Ň
dy zbiór jest otwarty
(zob. przykład 30 (b)).
(b) Je
Ň
eli rozwa
Ň
y
ę
funkcj
ħ
okre
Ļ
lon
Ģ
tym samym wzorem co w przykładzie (a), ale na przestrzeniach
zada
ę
takie same metryki (dowolne), to wówczas obie funkcje
f
i
−
b
ħ
d
Ģ
ci
Ģ
głe. Funkcja
f
X
=
Y
=
f
b
ħ
dzie zatem homeomorfizmem.
Sformułujemy teraz twierdzenie „podobne” do twierdzenia 55 dla homeomorfizmów.
Twierdzenie 62
f
b
ħ
dzie wzjajemnie jednoznacznym odwzorowaniem przestrzeni metrycznej
(
)
na przestrze
ı
Niech
X
, r
1
metryczn
Ģ
(
)
Y
, r
. Nast
ħ
puj
Ģ
ce warunki s
Ģ
równowa
Ň
ne:
2
(a)
f
jest homeomorfizmem,
( )
(b) dla dowolnego zbioru
G
Ì
X
,
G
jest otwarty w
X
wtedy i tylko wtedy, gdy
f
G
jest otwarty w
Y
,
( )
(c) dla dowolnego zbioru
F
Ì
X
,
F
jest domkni
ħ
ty w
X
wtedy i tylko wtedy, gdy
f
F
jest domkni
ħ
ty w
Y
.
Dowód
−
Dla uproszczenia przyjmijmy,
Ň
e
g
:
Y
®
X
jest funkcj
Ģ
odwrotn
Ģ
do
f
:
X
®
Y
, tj.
g
=
f
.
(a)
¼
(b) Niech
f
b
ħ
dzie homeomorfizmem. Musimy pokaza
ę
,
Ň
e bior
Ģ
c dowolny zbiór
G
Ì
X
,
G
jest
( )
otwarty w
X
wtedy i tylko wtedy, gdy
f
G
jest otwarty w
Y
. We
Ņ
my zatem dowolny
G
Ì
X
.
Załó
Ň
my najpierw,
Ň
e
G
jest otwarty w
X
.
Poniewa
Ň
( )
{
( )
}
{
( )
(
( )
)
}
{
( )
}
{
( )
}
( )
−
1
−
1
−
1
f
G
=
f
x
Î
Y
:
x
Î
G
=
f
x
Î
Y
:
f
f
x
Î
G
=
y
Î
Y
:
f
y
Î
G
=
y
Î
Y
:
g
y
Î
G
=
g
G
( )
( )
−
i
g
jest ci
Ģ
gła, wi
ħ
c
g
G
jest zbiorem otwartym w
Y
(zob. twierdzenie 55 (a)), a co za tym idzie
f
G
jest
zbiorem otwartym w
Y
.
(
( )
)
( )
−
Załó
Ň
my z kolei,
Ň
e
f
G
jest zbiorem otwartym w
Y
. Poniewa
Ň
G
=
f
f
G
, wi
ħ
c równie
Ň
G
jest zbiorem
( )
otwartym w
X
, gdy
Ň
jest to przeciwobraz zbioru otwartego
wyznaczony przez ci
Ģ
gł
Ģ
funkcj
ħ
f
(zob.
f
G
twierdzenie 55 (a)).
( )
(b)
¼
(c) Załó
Ň
my,
Ň
e dla dowolnego zbioru
G
Ì
X
,
G
jest otwarty w
X
wtedy i tylko wtedy, gdy
f
G
jest
otwarty w
Y
. Musimy pokaza
ę
,
Ň
e bior
Ģ
c dowolny zbiór
,
F
jest domkniety w
X
wtedy i tylko wtedy,
F
Ì
X
( )
jest domkniety w
Y
. We
Ņ
my zatem dowolny
.
Korzystaj
Ģ
c z twierdzenia 34 dostajemy
gdy
f
F
F
Ì
X
(
)
F
domkni
ħ
ty w
X
Û
X
\
F
otwarty w
X
Û
f
X
\
F
otwarty w
Y
Û
(
)
( )
( )
( )
f
X
\
f
F
otwarty w
Y
Û
Y
\
f
F
otwarty w
Y
Û
f
F
domkni
ħ
ty w
Y
.
Û
( )
(c)
¼
(a) Załó
Ň
my,
Ň
e dla dowolnego zbioru
F
Ì
X
,
F
jest domkni
ħ
ty w
X
wtedy i tylko wtedy, gdy
f
F
jest domkni
ħ
ty w
Y
. Mamy pokaza
ę
,
Ň
e
f
jest homeomorfizmem, tj.,
Ň
e odwzorowania
f
i
g
s
Ģ
ci
Ģ
głe. Na
mocy twierdzenia 55 (b) wystarczy pokaza
ę
,
Ň
e przeciwobrazy dowolnych zbiorów domkni
ħ
tych wyznaczone
4
przez funkcje
f
i
g
s
Ģ
zawsze zbiorami domkni
ħ
tymi. We
Ņ
my najpierw dowolny zbiór
F
domkni
ħ
ty w
Y
.
(
(
)
)
(
)
Poniewa
Ň
F
f
f
−
1
F
, wi
ħ
c na mocy zało
Ň
enia
f
−
1
F
jest zbiorem domkni
ħ
tym w
X
, a to uzasadnia
=
1
1
1
(
)
(
)
−
1
ci
Ģ
gło
Ļę
funkcji
f
. We
Ņ
my teraz dowolny zbiór
F
domkni
ħ
ty w
X
. Poniewa
Ň
g
F
=
f
F
(zobacz
2
2
(
)
(
)
g
−
1
dowód (a)
¼
(b)), wi
ħ
c na mocy zało
Ň
enia dostajemy,
Ň
e
f
F
jest zbiorem domni
ħ
tym w
Y
, tj.
F
jest
2
−
zbiorem domkni
ħ
tym w
Y
, a to oznacza ciagło
Ļę
funkcji
g
. Poniewa
Ň
funkcje
f
i
g
s
Ģ
ci
Ģ
głe, wi
ħ
c
f
jest
homeomorfizmem.
Definicja 63 (odwozrowania otwartego i domkni
ħ
tego)
Powiemy,
Ň
e funkcja
f
:
X
®
Y
jest odwzorowaniem otwartym, je
Ļ
li dla dowolnego zbioru G otwartego w X
( )
jest otwarty w Y , natomiast odwzorowaniem domkni
ħ
tym, je
Ļ
li dla dowolnego zbioru F
zbiór
f
G
( )
domkni
ħ
tego w X zbiór
f
F
jest domkni
ħ
ty w Y
.
WykorzystujĢc pojħcie odwzorowania otwartego i domkniħtego moŇna podaę jeszcze jedno twierdzenie o
homeomorfizmach.
Twierdzenie 64
f b
ħ
dzie wzjajemnie jednoznacznym odwzorowaniem przestrzeni metrycznej
(
)
Niech
X
, r
na przestrze
ı
1
metryczn
Ģ
(
)
Y
, r
. Nast
ħ
puj
Ģ
ce warunki s
Ģ
równowa
Ň
ne:
2
(a)
f
jest homeomorfizmem,
(b)
f
jest odwzorowaniem ci
Ģ
głym i otwartym,
(c)
f
jest odwzorowaniem ci
Ģ
głym i domkni
ħ
tym.
Dowód
−
Wystarczy pokaza
ę
,
Ň
e ci
Ģ
gło
Ļę
odwzorowania
f
jest tym samym, co otwarto
Ļę
lub domkni
ħ
to
Ļę
odwzorowania
f
. Szczegóły dowodu pozostawiamy czytelnikowi.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]