wyklad5 2008 tekst, Matematyka studia, Statystyka i prawdpodopdobieństwo
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład5
PrawoWielkichLiczb
Własno±ciwarto±cioczekiwanejiwariancji
Niech
X
i
Y
b¦d¡zmiennymilosowymiiniech
a,b
2
R
.Wtedy
•
E
(
aX
)=
aE
(
X
),
•
E
(
X
+
b
)=
E
(
X
)+
b
,
•
Ogólnie:
E
(
aX
+
bY
)=
aE
(
X
)+
bE
(
Y
),
•
Var
(
aX
)=
a
2
Var
(
X
),
•
Var
(
X
+
b
)=
Var
(
X
),
•
Var
(
aX
+
bY
)=?UWAGA:potrzebnes¡dodatkowezało»enia!
Standaryzacja
Załó»my,»e
E
(
X
)=
m
,a
Var
(
X
)=
2
.Wtedy
•
E
(
X
−
m
)=?
•
E
(
X
−
m
)=
E
(
X
)
−
m
=0,
•
X
−
m
Var
=?
•
X
−
m
=
1
2
Var
(
X
−
m
)=
1
Var
2
·
2
=1
.
Zadanie
Przypu±¢my,»ezmiennalosowa
X
marozkład
N
(
m,
2
).Korzystaj¡cztablicstandardowegorozkładu
normalnego,obliczy¢:
•
P
(
X
¬
m
),
•
P
(
|
X
−
m
|¬
),
•
P
(
|
X
−
m
|¬
2
),
•
P
(
|
X
−
m
|¬
3
).
Rozwi¡zanie
Musimytakprzekształci¢zmienn¡
X
,abymiałarozkładstandardowy
N
(0
,
1).
•
Wtymceluodejmujemy±redni¡
m
idzielimyprzezdyspersj¦
(czylipierwiastekzwariancji
2
).
•
Je±li
X
marozkład
N
(
m,
2
),tozmiennalosowa
•
Z
=
X
−
m
•
marozkład
N
(0
,
1)
•
iwarto±cijejdystrybuantyznajdziemywtablicach.
1
•
X
−
m
¬
m
−
m
P
(
X
¬
m
)=
P
=
P
(
Z
¬
0)=?
•
czywtymprzypadkupotrzebnes¡tablice?
•
Korzystmyzsymetriirozkładu(popatrzmynarysunekfunkcjig¦sto±ci!)
•
P
(
Z
¬
0)=
1
2
.
•
Ailewynosi
P
(
Z<
0)?
•
|
X
−
m
|
¬
P
(
|
X
−
m
|¬
)=
P
=
P
(
|
Z
|¬
1)=
P
(
−
1
¬
Z
¬
1)=(1)
−
(
−
1)
.
•
Wi¦kszo±¢tablicpodajetylkowarto±cidystrybuantydla
t
2
[0
,
3].
•
Znówkorzystamyzsymetriirozkładu:
•
(
−
1)=1
−
(1),wi¦c(1)
−
(
−
1)=2(1)
−
1=2
·
0
,
841
−
1
0
,
68.
Licz¡canalogicznie,otrzymujemy
•
P
(
|
X
−
m
|¬
2
)=
P
(
−
2
¬
Z
¬
2)=2(2)
−
1=2
·
0
,
977
−
1
0
,
95,
•
P
(
|
X
−
m
|¬
3
)=
P
(
−
3
¬
Z
¬
3)=2(3)
−
1=2
·
0
,
998650
−
1
0
,
997,
•
Tenostatniwyniknazywamy
reguł¡trzechsigm
:
•
Zmiennaorozkładzienormalnymodchylasi¦odswojej±redniejpraktycznieconajwy»ejo
±
3
.
•
Czyistnieje„regułatrzechsigm”dlainnychrozkładów?
Rozkładnormalny—bardzoprzydatnewzory
Niech
Z
b¦dziezmienn¡orozkładzie
N
(0
,
1),czylio
dystrybuancie.Wtedy
•
(
−
t
)=?
•
P
(
Z>t
)=?
•
P
(
a<Z<b
)=?
•
P
(
|
Z
|
>
1
,
96)=?
Niezale»no±¢zmiennychlosowych
Zmiennelosowe
X
i
Y
s¡niezale»ne,je±lidladowolnychdwóchzbiorów
A,B
•
P
(
X
2
A,Y
2
B
)=
P
(
X
2
A
)
P
(
Y
2
B
)
.
•
Wystarczybra¢przedziały,np.
A
=(
a,b
)i
B
=(
c,d
)iwtedy
•
P
(
a<X<b,c<Y<d
)=
P
(
a<X<b
)
P
(
c<Y<d
).
2
Trywialnyprzykładniezale»nychzmiennychlosowych
Rzucamydwarazykostk¡.
•
X
=
wynikpierwszegorzutu
•
Y
=
wynikdrugiegorzutu
•
Zmienne
X
i
Y
s¡niezale»ne.
•
Sprawdzenie:zdarzenia
{
X
=
k
}
oraz
{
Y
=
l
}
s¡niezale»ne.
Ciekawszyprzykładniezale»nychzmiennychlosowych
Spo±ródliczb12,13,14,...,100,101losujemyjedn¡liczb¦.
•
X
=
liczbajedno±ciwwylosowanejliczbie
•
Y
=
liczbadziesi¡tekwwylosowanejliczbie
•
Zmienne
X
i
Y
s¡niezale»ne.
Sprawdzenie
•
Niech
X
=
k
,
Y
=
l
,
k,l
=2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
.
•
P
(
Y
=
l,X
=
k
)=
P
(wylosujemyliczb¦
lk
)=
1
90
.
•
P
(
Y
=
k
)=
9
90
=
1
10
,
P
(
X
=
l
)=
10
90
=
1
9
.
•
1
90
=
1
10
·
1
9
.
•
Analogiczniesprawdzamyniezale»no±¢,gdyjednazcyfrjestzeremlubjedynk¡.
•
Tezmiennes¡niezale»ne!
•
Agdyby±mylosowaliliczb¦zezbioru11,12,13,...,99,100?
Bardzowa»newłasno±ciniezale»nychzmiennychlosowych
Je»elizmiennelosowe
X
oraz
Y
s¡niezale»ne,to
•
E
(
XY
)=
E
(
X
)
E
(
Y
)
•
Var
(
X
+
Y
)=
Var
(
X
)+
Var
(
Y
)
•
Var
(
aX
+
bY
)=
a
2
Var
(
X
)+
b
2
Var
(
Y
)
•
UWAGA:Gdyzmienne
nies¡niezale»ne
,powy»szewzorymog¡by¢fałszywe!
redniaarytmetyczna
Gdy
X
1
,X
n
,...,X
n
s¡zmiennymilosowymi,tocz¦stobadamyich±redni¡arytmetyczn¡
X
=
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
n
.
•
Tote»jestzmiennalosowa.
3
•
Dladowolnychzmiennych(tak»ezale»nych!)
•
E
(
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
)=
E
(
X
1
)+
E
(
X
2
)+
...
+
E
(
X
n
)
•
wi¦c
•
E
(
X
)=
E
(
X
1
)+
E
(
X
2
)+
...
+
E
(
X
n
)
n
.
Wariancja±redniejarytmetycznej
Niech
X
1
,X
n
,...,X
n
b¦d¡
niezale»nymi
zmiennymilosowymi.Wtedy
•
Var
(
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
)=
Var
(
X
1
)+
Var
(
X
2
)+
...
+
Var
(
X
n
)
,
•
wi¦c
•
Var
(
X
)=
Var
(
X
1
)+
Var
(
X
2
)+
...
+
Var
(
X
n
)
n
2
.
Parametry±redniej
Załó»my,»ewszystkiezmienne
X
1
,X
2
,...,X
n
maj¡takisamrozkładis¡niezale»ne.
Wóczas
•
E
(
X
)=
E
(
X
1
)
•
Var
(
X
)=
Var
(
X
1
)
n
.
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
n
•
Dowód:
E
(
X
)=
E
n
=
E
(
X
1
)
,
•
Var
(
X
)=
1
n
2
(
Var
(
X
1
)+
...
+
Var
(
X
n
))=
nVar
(
X
1
)
n
2
=
Var
(
X
1
)
n
.
Nierówno±¢Czebyszewa
Niech
X
b¦dziezmienn¡losow¡osko«czonejwariancji
Var
(
X
).Wtedywarto±¢
oczekiwana
E
(
X
)te»jestsko«czonaidlaka»dego
t>
0zachodzinierówno±¢:
P
(
|
X
−
E
(
X
)
|
>t
)
¬
Var
(
X
)
t
2
.
Równowa»nie:
P
(
|
X
−
E
(
X
)
|¬
t
)
1
−
Var
(
X
)
t
2
.
Odchyleniestandardowe
Niech
X
b¦dziezmienn¡osko«czonejwariancji
Var
(
X
).
•
Wariancj¦oznaczamyte»symbolem
2
(jakwprzypadkurozkładunormalnego).
•
Pierwiastekzwariancjioznaczamysymbolem
•
inazywamy
odchyleniemstandardowym
albo
dyspersj¡
.
•
Formalnie:
=
p
Var
(
X
).
•
Dlaczegozwykle
jestwygodniejszaod
2
?
4
=
nE
(
X
1
)
Regułatrzechsigm
•
Je±lizmienna
X
masko«czon¡wariancj¦,to
•
P
(
|
X
−
E
(
X
)
|¬
3
)
8
9
0
,
889
.
•
Uwaga:dlarozkładunormalnegotobyło0,997.
•
Dowód:wnierówno±ciCzebyszewawstawiamy
t
=3
.
Jeszczeo±redniej
Przypu±¢my,»erzucamysymetryczn¡monet¡.Niech
(
1
,
gdyw
i
-tymrzucieorzeł
0
,
gdyw
i
-tymrzuciereszka
X
i
=
•
Comierzysuma
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
?
•
A±rednia
X
?
•
Cosi¦dziejez
X
,gdy
n
−!1
?
•
TosamopytaniewprzypadkupróbBernoulliego.
PrawoWielkichLiczb
Załó»my,»ezmienne
X
1
,X
2
,...,X
n
s¡niezale»neimaj¡takisamrozkład.Załó»myte»,»emaj¡sko«czon¡
wariancj¦(wtedywarto±¢oczekiwanate»jestsko«czona).Wówczasdladowolnego
">
0
n
!1
P
lim
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
n
−
E
(
X
1
)
>"
=0
.
DowódPrawaWielkichLiczb
Poniewa»zmienne
X
1
,X
2
,...,X
n
s¡niezale»neimaj¡takisamrozkład,wi¦czwłasno±ciwariancjiwynika,
i»
Var
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
n
=
Var
(
X
1
)
n
,
awtedynierówno±¢Czebyszewadajedla
n
!1
:
P
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
n
−
E
(
X
1
)
>"
¬
Var
(
X
1
)
n
2
!
0
.
WniosekzPrawaWielkichLiczb
Przypowy»szychzało»eniach
n
!1
P
lim
−
"
¬
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
n
−
E
(
X
1
)
¬
"
=1
.
czyli
n
!1
P
E
(
X
1
)
−
"
¬
X
1
+
X
2
+
...
+
X
n
n
¬
E
(
X
1
)+
"
=1
.
5
lim
[ Pobierz całość w formacie PDF ]