wyklad4(1), matematyka, 0, httpwww.fuw.edu.pl~pmajlect.php, Matematyka II 20102011Z
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład4.
Matematyka 2, semestr letni 2010/2011
Po nauczeniu si¦ solidnej porcji algebry liniowej mo»emy w ko«cu przej±¢ do analizy funkcji
wielu zmiennych rzeczywistych. B¦dziemy pracowa¢ tak»e z odwzorowaniami z R
n
do R
m
, tzn
odwzorowaniami „składaj¡cymi si¦” z
m
funkcji
n
zmiennych:
F
: R
n
3
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)
7−!
(
F
1
(
x
1
,...,x
n
)
, F
2
(
x
1
,...,x
n
)
,...,F
m
(
x
1
,...,x
n
))
2
R
m
Zanim zajmiemy si¦ ró»niczkowaniem musimy omówi¢ problemy zwi¡zane z ci¡gło±ci¡ i poj¦-
ciem granicy odwzorowania w punkcie. Przypomnijmy sobie denicj¦ ci¡gło±ci funkcji jednej
zmiennejwpunkcie.Niech
I
b¦dzieodcinkiemotwartymw R (bezko«ców).Mówimy,»efunkcja
f
:
I
!
R jest ci¡gła w punkcie
x
0
2
I
je±li warto±ci funkcji w punktach bliskich
x
0
s¡ bliskie
f
(
x
0
). Precyzyjnie warunek ci¡gło±ci zapisujemy
(1)
8
">
0
9
>
0:
|
x
−
x
0
|
<
)|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
<".
Powy»sz¡denicj¦(zwan¡
denicj¡ci¡gło±ciCauchy’ego
)mo»nauogólni¢naprzypadekodwzo-
rowa«z R
n
do R
m
posługuj¡csi¦poj¦ciemodległo±ci.Załó»my,»epotramymierzy¢odległo±¢
mi¦dzypunktamiw R
n
iw R
m
.Niech
x
=(
x
1
,x
2
,...,x
n
),
y
=(
y
1
,y
2
,...,y
n
)b¦d¡elementami
R
n
,wtedyodległo±¢mi¦dzy nimioznaczymy
d
(
x,y
).Wprzestrzeni warto±ci,czyliw R
m
u»yje-
my symbolu
, tzn je±li
a
=(
a
1
,a
2
,...,a
m
),
b
=(
b
1
,b
2
,...,b
m
) to odległo±¢ mi¦dzy punktami
a
i
b
oznaczymy
(
a,b
).Teraz mo»emy napisa¢ warunek ci¡gło±ciwpunkcie
x
0
2
R
n
:Mówimy,
»e odwzorowanie
R
m
jest ci¡głe w punkcie
x
0
, je±li spełniony jest warunek
(2)
8
">
0
9
>
0:
d
(
x,x
0
)
<
)
(
F
(
x
)
,F
(
x
0
))
<".
Warunek (2) jest bardzo podobny do (1) - warto±¢ bezwzgl¦dn¡ ró»nicy liczb nale»y zamieni¢
na odległo±¢ mi¦dzy punktami odpowiednio w R
n
i R
m
. Wygl¡da wi¦c na to, »e ci¡gło±¢ od-
wzorowaniazale»yodsposobumierzeniaodległo±ciwdziedzinieizbiorzewarto±ci.Wogólno±ci
rzeczywi±cie tak jest. Oto przykład:
F
: R
n
−!
Przykład 1.
Rozwa»my dwa sposoby mierzenia odległo±ci mi¦dzy punktami na płaszczy¹nie
(R
2
). Pierwszy sposób - euklidesowy:
q
x
=(
x
1
,x
2
)
, y
=(
y
1
,y
2
)
, d
2
(
x,y
)=
(
x
1
−
y
1
)
2
−
(
x
2
−
y
2
)
2
,
y
x
adrugiklolejowy(stacjaw¦złowa itory):je±lipunkty
x
i
y
le»¡najednejprostejprzechodz¡cej
przez punkt (0
,
0) wtedy odległo±¢ mierzymy jak zwykle:
q
d
k
(
x,y
)=
(
x
1
−
y
1
)
2
−
(
x
2
−
y
2
)
2
,
1
y
2
x
w przeciwnym przypadku jedziemy najpierw do stacji w¦złowej:
q
q
d
k
(
x,y
)=
(
x
1
)
2
+(
x
2
)
2
+
(
y
1
)
2
+(
y
2
)
2
.
y
x
Rozwa»my teraz funkcj¦, która przypisuje punktowi
x
=(
x
1
,x
2
) warto±¢
F
(
x
1
,x
2
)=
r
(
x
)
'
(
x
)
,
gdzie
r
(
x
)jestodległo±ci¡punktu
x
od(0
,
0)wsensieeuklidesowym a
'
(
x
)
2
[0
,
2
[jestk¡tem
jak we współrz¦dnych biegunowych. Rozwa»my punkt
x
0
= (1
,
0) Funkcja ta jest nieci¡gła w
x
0
wzgl¦dem metryki euklidesowej. Istotnie, Odległo±¢ euklidesowa od punktu
x
0
do punktu
x
=(1
,
−
a
) dla
a>
0 jest równa
a
. Ró»nica w warto±ci za± jest bliska 2
i dla
a
d¡»¡cego do 0
ro±nie do 2
a nie zmniejsza si¦. W metryce kolejowej punt (1
,
−
a
) nie jest dobrym punktem
do konstruowania kontrprzykładu na ci¡gło±¢, gdy» odległo±¢ kolejowa
p
1+
a
2
>
2
.
Naprawd¦bliskopunktu
x
0
le»¡jedyniepunktypoło»onenaosi0
X
.Dlatychpunktówwarto±¢
funkcji jest stała i równa zero. Funkcja
F
jest wi¦c ci¡gła wzgl¦dem odległo±ci kolejowej. Oto
wykres funkcji
F
:
d
k
(
x
0
,x
)=1+
|
Korzystaj¡c z poj¦cia odległo±ci mo»emy równie» mówi¢ o ci¡gach zbie»nych w R
n
. Niech
(
x
k
)
1
k
=1
b¦dzie ci¡giem punktów w R
n
(tzn. ka»de
x
k
ma
n
współrz¦dnych: (
x
1
k
,x
2
k
,...,x
k
)).
Mówimy, »e
ci¡g
(
x
k
)
jest zbie»ny do x
0
=(
x
1
0
,x
2
0
,...,x
0
) je±li spełniony jest warunek
(3)
N :
8
k >Nd
(
x
k
,x
0
)
¬
".
Poj¦cie ci¡gło±ci w R
n
ma te» swoj¡ ci¡gow¡ wersj¦, podobn¡ do denicji Heinego:
8
">
0
9
N
2
3
Fakt1.
OdwzorowanieF
: R
n
!
R
n
wtedyi tylkowtedy, gdydlaka»dego
ci¡gu
(
x
k
)
zbie»nego do x
0
, ci¡g F
(
x
k
)
jest zbie»ny do F
(
x
0
)
.
R
m
jestci¡głewx
0
2
Nieb¦dziemydowodzi¢tegofaktu,gdy»dowódnieró»nisi¦oddowodudlajednegowymiaru.
Ci¡gowa wersja denicji ci¡gło±ci nadaje si¦ dobrze do wykazywania, »e jaka± funkcja jest
nieci¡gła. Wystarczy wtedy poda¢ jeden ci¡g (
x
k
) stanowi¡cy kontrprzykład, tzn taki, który
jest zbie»ny do
x
0
, ale ci¡g warto±ci
F
(
x
k
) nie jest zbie»ny do
F
(
x
0
). Denicja Cauchy’ego
nadaje si¦ lepiej do dowodzenia ci¡gło±ci.
W denicji ci¡gło±ci Cauchy’ego badamy warto±ci funkcji
F
na punktach R
n
znajduj¡cych
si¦ w odległo±ci mniejszej ni»
od
x
0
. Zbiór tych punktów nazywa¢ b¦dziemy kul¡ otwart¡.
Dokładniej,
kul¡ otwart¡
w R
n
o ±rodku w
x
0
i promieniu
wzgl¦dem odległo±ci
d
nazywamy
zbiór
R
n
:
d
(
x,x
0
)
<
}
.
K
d
(
x
0
,
)=
{
x
2
Warunek ci¡gło±ci mo»na przeformułowa¢ u»ywaj¡c kul:
8
">
0
9
>
0:
x
2
K
d
(
x
0
,
)
)
F
(
x
)
2
K
(
F
(
x
0
)
,"
)
.
W poj¦ciu ci¡gło±ci wa»ny jest wi¦c kształt kul wzgl¦dem danej odległosci. Zdarza si¦, »e
ró»nesposobymierzenia odległo±ciprowadz¡dotakiegosamegozbiorufunkcjici¡głych.Zanim
omówimy to szczegółowo sformułujmy precyzyjnie poj¦cie
sposobu mierzenia odległo±ci
:
Sposób mierzenia odległo±ci wyra»amy matematycznie za pomoc¡ funkcji zwanej metryk¡.
Mówimy, »e
d
:
X
×
X
!
R jest
metryk¡
na zbiorze
x
gdy spełnione s¡ warunki
(1)
8
x,y
2
X d
(
x,y
)
-
0
(2)
8
x,y
2
X d
(
x,y
)=
d
(
y,x
)
(3)
d
(
x,y
)=0
,
x
=
y
(4)
8
x,y,z
2
X d
(
x,z
)
¬
d
(
x,y
)+
d
(
y,z
)
Warunek (2) oznacza, »e metryka jest symetryczna, warunek (3) wyra»a niezdegenerowanie,
warunek (4) nosi nazw¦ nierówno±ci trójk¡ta. Oprócz całego mnóstwa dziwnych metryk na R
n
istniej¡ trzy bardzo zwyczajne, których b¦dziemy u»ywa¢: Pierwsza metryka to
metryka eukli-
desowa
, zapewne najbardziej dla pa«stwa naturalna, ale i najtrudniejsza w u»yciu ze wzgl¦du
na niepor¦czny pierwiastek:
q
d
2
(
x,y
)=
(
x
1
−
y
1
)
+
···
+(
x
n
−
y
n
)
2
.
Drugametryka nazywana jest
metryk¡ miejsk¡
,gdy»odległo±¢ mierzona jest wzdłu» prostopa-
dłych ulic:
d
1
(
x,y
)=
|
x
1
−
y
1
|
+
·
+
|
x
n
−
y
n
|
.
Ostatnia metryka, to tak zwana
metryka maksimum
:
d
1
(
x,y
)=max
{|
x
1
−
y
1
|
,...
+
|
x
n
−
y
n
|}
.
Wspomnieli±my wcze±niej, »e dla poj¦cia ci¡gło±ci istotny jest kształt kuli wzgl¦dem metryki.
›ebywyrobi¢sobiejakie±wyobra»enieotrzechu»ywanychprzeznasmetrykachnarysujmykule
o ±rodku w (0
,
0) i promieniu 1 w R
2
wzgl¦dem ka»dej z nich:
4
d
2
d
1
d
1
Zauwa»mytak»e,»edobieraj¡codpowiedniopromieniemo»emyzawrze¢jedn¡kul¦wdrugiej:
np dla
d
2
i
d
1
:
p
p
2
2
)
K
2
((0
,
0)
,
2
2
)
K
1
((0
,
0)
,
1)
K
2
((0
,
0)
,
1)
K
1
((0
,
0)
,
Podobnie dla pary
d
2
,
d
1
:
p
p
2
2
)
K
1
((0
,
0)
,
2
2
)
K
2
((0
,
0)
,
1)
K
1
((0
,
0)
,
1)
K
2
((0
,
0)
,
To samo dla pary
d
1
,
d
1
:
K
1
((0
,
0)
,
1
2
)
K
1
((0
,
0)
,
1
2
)
K
1
((0
,
0)
,
1)
K
1
((0
,
0)
,
1)
Je±li wi¦c funkcja
f
: R
n
!
R jest ci¡gła wzgl¦dem
d
2
, tzn dla ka»dego
"
znajdziemy
tak¡,
»e warunek ci¡gło±ci (2) zachodzi dla metryki
d
2
, to b¦dzie zachodził tak»e dla
p
0
2
=
2
dla
0
metryki
d
1
(bokulawzgl¦dem
d
1
ipromieniu
zawierasi¦wkuliopromieniu
wzgl¦demme-
tryki
d
2
).Warunektenb¦dziezachodziłtak»edla
d
1
je±liwe¹miemy promie«
00
=
.Podobnie,
je±li zapiszemy warunek dla metryki
d
1
, to mo»emy dobra¢ takie promienie wzgl¦dem
d
2
i
d
1
,
»eby odpowiednie kule si¦ zawierały w kuli wzgl¦dem
d
1
i warunek zachodził. To samo, je»eli
zaczniemy od
d
1
. Wida¢ wi¦c, »e metrykom
d
1
,
d
2
,
d
1
odpowiadaj¡ takie same zbiory funkcji
5
ci¡głych. Dopuszczenie wielu wymiarów w przestrzeni warto±ci nie zmienia sytuacji: tak»e te
trzymetrykimaj¡tesamezbioryodwzorowa«ci¡głych.B¦dziemywi¦cwewszelkichdowodach
ci¡gło±ci i zbie»no±ci u»ywa¢ tych trzech metryk wymiennie - w zale»no±ci od wygody rachun-
kowej. Podobnie jest ze zbie»no±ci¡ ci¡gów w R
n
. Wszystkie trzy metryki deniuj¡ takie same
zbiory ci¡gów zbie»nych. Niech (
x
k
) b¦dzie ci¡giem zbie»nym do
x
0
wzgl¦dem którejkolwiek z
trzech metryk. Wtedy jest zbie»ny tak»e wzgl¦dem metryki maksimum. Oznacza to, »e
8
n>N
max
{|
x
1
k
−
x
1
0
|
,...
|
x
k
−
x
0
|}
<"
8
">
0
9
N
2
N
Skoro najwi¦ksza z ró»nic jest mniejsza ni»
"
to tak»e ka»da z nich jest mniejsza. To prowadzi
do wniosku, »e ka»da ze współrz¦dnych ci¡gu (
x
k
) zbiega oddzielnie do odpowiedniej współ-
rz¦dnej punktu granicznego
x
0
. Odwrotnie, je±li ka»da ze współrz¦dnych ci¡gu (
x
k
) zbiega do
odpowiedniej współrz¦dnej punktu (
x
0
), to znaczy, »e dla ka»dego indeksu
i
mo»emy znale¹¢
N
i
takie, »edla
n>N
i
zachodzi nierówno±¢
|
x
i
k
−
x
i
0
|
<"
Najwi¦ksze z
N
i
zapewnia spełnienie
warunkuzbie»no±ci ci¡gu
x
k
do
x
0
.Zbie»no±¢w R
n
oznaczawi¦czbie»no±¢ powspółrz¦dnych.
Otodwaprzykładyniecodziennychsytuacji,któremo»emynapotka¢badaj¡cci¡gło±¢funkcji
zale»nych od wielu zmiennych:
Przykład2.
Rozwa»my funkcj¦
f
: R
2
!
R w otoczeniu punktu (0
,
0)
8
<
xy
x
2
+
y
2
(
x,y
)
6
=(0
,
0)
:
f
(
x,y
)=
0
(
x,y
)
6
=(0
,
0)
Na osiach współrz¦dnych, czyli na zbiorach
{
(0
,y
)
}
i
{
(
x,
0)
}
funkcja
f
przyjmuje warto±¢ 0.
Gdy jednak zmierzamy do zera wzdłu» innej prostej, np
y
=
ax
okazuje si¦, »e
f
jest nieci¡gła
w (0
,
0). Niech
k
=(
1
n
,
n
). Jest oczywiste, »e
k
!1
k
=(0
,
0)
lim
Ci¡g warto±ci jest ci¡giem stałym
a
n
2
f
(
k
)=
f
(
1
n
,
a
a
1+
a
2
n
)=
=
n
2
+
n
2
1
z granic¡
a
6
=0.
a
+
a
2
|
[ Pobierz całość w formacie PDF ]