wyklad4(1), matematyka, 0, httpmath.uni.lodz.pl~kowalcr, Topologia 1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 4
Zbiory domkni
ħ
te i otwarte w podprzestrzeni.
Punkty skupienia i pochodna zbioru.
Zbiory g
ħ
ste i nigdzie g
ħ
ste.
JeĻli
(
r
, para
(
r
X
,
jest przestrzeniĢ metrycznĢ, to biorĢc dowolny niepusty zbór
M
Ì
X
M
,
równieŇ
jest przestrzeniĢ metrycznĢ, którĢ to przestrzeı nazywamy podprzestrzeniĢ przestrzeni
(
r
(zob.
X
,
twierdzenie 12 i definicja 13).
BiorĢc teraz dowolny zbiór
A
Ì
moŇemy mówię o jego domkniħciu i wnħtrzu w podprzestrzeni
M
, a
takŇe moŇemy wprowadzię pojħcie zbiorów domkniħtych i otwartych w podprzestrzeni
M
. Aby wprowadzię
M
( )
( )
jednoznacznoĻę znakowania umówimy siħ, Ňe symbolami
Cl
A
i
Int
A
bħdziemy oznaczali domkniħcie i
( )
( )
wnħtrze zbioru
A
w przestrzeni
X
, a symbolami
Cl
A
i
Int
A
bħdziemy oznaczali domkniħcie i
M
M
wnħtrze zbioru
A
w podprzestrzeni
M
. Wprost z definicji domkniħcia i wnħtrza mamy zatem nastħpujĢcĢ
definicjħ.
Definicja 40
Domkni
ħ
ciem zbioru
A
Ì
M
w podprzestrzeni M nazywamy zbiór
>
Ù
Ê
Ú
( )
(
)
Cl
A
=
x
Î
M
:
K
x
,
r
Ç
A
¹
Æ
.
M
r
0
( )
Ponadto powiemy,
Ň
e zbiór
A
Ì
M
jest domkni
ħ
ty w podprzestrzeni M , gdy
Cl
A
=
A
.
M
Wn
ħ
trzem zbioru
A
Ì
M
w podprzestrzeni M nazywamy zbiór
>
Ú
Ê
Ú
( )
(
)
Int
A
=
x
Î
M
:
K
x
,
r
Ì
A
.
M
r
0
( )
Ponadto powiemy,
Ň
e zbiór
A
Ì
M
jest otwarty w podprzestrzeni M , gdy
Int
A
=
A
.
M
Prosty rachunek pokazuje, Ňe
Ù
Ù
Ê
Ú
Ê
Ú
( )
(
)
(
)
( )
Cl
A
=
x
Î
M
:
K
x
,
r
Ç
A
¹
Æ
=
M
Ç
x
Î
X
:
K
x
,
r
Ç
A
¹
Æ
=
M
Ç
Cl
A
M
r
>
0
r
>
0
oraz (wobec twierdzenia 31)
( )
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
Int
A
=
M
\
Cl
M
\
A
=
M
\
M
Ç
Cl
M
\
A
=
M
Ç
X
\
Cl
M
\
A
=
M
Ç
Int
X
\
M
È
A
.
M
M
Nastħpne twierdzenie podaje praktyczny sposób stwierdzania, czy dany zbiór jest domkniħty, czy teŇ otwarty
w podprzestrzeni.
Twierdzenie 41
Niech
(
r
b
ħ
dzie przestrzeni
Ģ
metryczn
Ģ
, a
(
r
X
,
M
,
jej podprzestrzeni
Ģ
. Nast
ħ
puj
Ģ
ce warunki zachodz
Ģ
:
(a) Zbiór
A
Ì
M
jest domkni
ħ
ty w podprzestrzeni M wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór F domkni
ħ
ty w X
taki,
Ň
e
A
=
M
Ç
F
.
1
(b) Zbiór
A
Ì
M
jest otwarty w podprzestrzeni M wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór G otwarty w X taki,
Ň
e
A
=
M
Ç
G
.
Dowód
(a) Korzystaj
Ģ
c z powy
Ň
szych wyprowadze
ı
i uwagi 28 (c) dostajemy:
( )
( )
( )
A
domkni
ħ
ty w
M
Û
A
=
Cl
A
Û
A
=
M
Ç
Cl
A
Û
A
=
M
Ç
F
i
F
=
Cl
A
jest domkni
ħ
ty w
X
.
M
(b) Korzystaj
Ģ
c z twierdzenia 34 dostajemy:
A
otwarty w
M
Û
M
\
A
domkni
ħ
ty w
M
Û
M
\
A
=
M
Ç
F
dla pewnego
F
domkni
ħ
tego w
X
Û
(
)
(
)
A
=
M
\
M
Ç
F
dla pewnego
F
domkni
ħ
tego w
X
Û
A
=
M
Ç
X
\
F
dla pewnego
F
domkni
ħ
tego w
X
Û
A
=
M
Ç
G
i
G
=
X
\
F
otwarty w
X
.
Przykład 42
Je
Ļ
li w przestrzeni metrycznej
(
,
rozwa
Ň
ymy podprzestrze
ı
(
)
)
[
)
|
M
, ×
|
, gdzie
M
=
0
4
, to np.
(
[
)
)
[
)
(
[
)
)
[
)
Cl
2,4
=
2,4
, a
Int
0,2
=
0,2
.
M
M
Oznacza to,
Ň
e zbiór
[
2,4 jest domkni
ħ
ty w podprzestrzeni
M
, a zbiór
[
)
)
0,2 jest otwarty w podprzestrzeni
M
,
cho
ę
Ň
aden z tych zbiorów nie jest ani domkni
ħ
ty ani otwarty w przestrzeni
(
)
,
.
|
Niech od tej pory, o ile nie załoŇymy inaczej,
(
r
X
,
oznacza dowolnĢ przestrzeı metrycznĢ.
Definicja 43 (punktów skupienia i izolowanych zbioru oraz pochodnej zbioru)
Powiemy,
Ň
e punkt
x
Î
X
jest punktem skupienia zbioru
A
Ì
X
je
Ļ
li
>
Ù
[
(
)
]
.
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
A
¹
Æ
r
0
Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A
nazywamy pochodn
Ģ
zbioru A . Oznacza
ę
go b
ħ
dziemy symbolem
d
A
. A zatem
>
Ù
Ê
Ú
[
(
)
]
d
A
=
x
Î
X
:
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
A
¹
Æ
.
r
0
d
Ponadto powiemy,
Ň
e punkt
x
Î
X
jest punktem izolowanym zbioru
A
Ì
X
, je
Ļ
li
x
Î
A
\
A
.
Przykład 44 (pochodnej zbioru i punktów izolowanych)
d
Ê
1
1
Ú
,
, np.
(
)
[
{
0
(a) W przestrzeni euklidesowej
(
)
d
d
0
=
0
,
1
,
,...
=
i
8
=
. Ponadto bior
Ģ
c dowolny
2
3
d
zbiór sko
ı
czony
S
¹
Æ
łatwo pokaza
ę
,
Ň
e
S
=
Æ
, sk
Ģ
d wynika,
Ň
e zbiór
S
składa si
ħ
z samych punktów
izolowanych.
.
(b) W przestrzeni dyskretnej
(
)
d
X
, r
bior
Ģ
c dowolny zbiór
A
łatwo pokaza
ę
,
Ň
e
A
=
Æ
01
Uwaga 45
d
&
2
razy
d
Mo
Ň
na wprowadzi
ę
tak
Ň
e pochodne wy
Ň
szych rz
ħ
dów zbioru
A
Ì
X
. I tak, przez
A
n
−
,
n
³
2
, (w skrócie
2
d
d
&
2
d
Ä
d
&
2
d
Ô
( )
Å
Æ
Õ
Ö
n
A
) oznaczamy
n
-t
Ģ
pochodn
Ģ
zbioru
A
i definiujemy j
Ģ
jako
A
n
razy
=
A
n
−
1
raz
y
.
Nastħpne twierdzenie podaje własnoĻci pochodnej zbioru.
Twierdzenie 46 (własno
Ļ
ci pochodnej zbioru)
Dla dowolnych zbiorów
A
,
B
Ì
X
zachodz
Ģ
nast
ħ
puj
Ģ
ce warunki:
Æ
d
(a)
=
Æ
,
d
d
(b) Je
Ļ
li
A
Ì
B
, to
A
Ì
B
,
(c)
(
)
d
d
d
A
È
B
=
A
È
B
,
(d)
(
)
d
d
d
A
Ç
B
Ì
A
Ç
B
,
( )
d
(e)
Cl
A
=
A
È
A
.
Dowód
(a) Wprost z definicji pochodnej dostajemy
Ù
Ù
Ê
Ú
Ê
Ú
[
(
)
]
d
Æ
=
x
Î
X
:
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
Æ
¹
Æ
=
x
Î
X
:
Æ
¹
Æ
=
Æ
.
r
>
0
r
>
0
(b) We
Ņ
my dowolny
d
. Poniewa
Ň
x
Î
A
[
(
)
]
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
A
¹
Æ
przy ka
Ň
dym
r
>
0
i
A
Ì
B
, to równie
Ň
[
(
)
]
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
B
¹
Æ
,
d
d
d
przy ka
Ň
dym
r
>
0
. To pokazuje,
Ň
e
x
Î
B
i tym samym,
Ň
e
A
Ì
B
.
(c) Poniewa
Ň
A
Ì
A
È
B
i
B
Ì
A
È
B
, wi
ħ
c korzystaj
Ģ
c z (b) mamy
(
)
d
(
)
d
d
d
A
Ì
A
È
B
oraz
B
Ì
A
È
B
,
sk
Ģ
d
(
)
d
d
d
(*)
A
È
B
Ì
A
È
B
.
(
)
d
Poka
Ň
emy inkluzj
ħ
przeciwn
Ģ
. We
Ņ
my dowolny
x
Î
A
È
B
. Wówczas dla dowolnego
r
>
0
[
(
)
]
(
)
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
A
È
B
¹
Æ
,
sk
Ģ
d
[
(
)
]
[
(
)
]
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
A
¹
Æ
lub
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
B
¹
Æ
,
a st
Ģ
d
d
d
x
Î
A
lub
x
Î
B
.
d
d
Ostatecznie
x
Î
A
È
B
i inkluzja
(
)
d
d
d
(**)
A
È
B
Ì
A
È
B
zachodzi. Z (*) i (**) dostajemy równo
Ļę
(
)
d
d
d
A
È
B
=
A
È
B
.
(d) Poniewa
Ň
, wi
ħ
c korzystaj
Ģ
c z (b) dostajemy
A
Ç
B
Ì
A
i
A
Ç
B
Ì
B
3
(
)
oraz
(
)
d
d
d
d
A
Ç
B
Ì
A
A
Ç
B
Ì
B
,
sk
Ģ
d
(
)
d
d
d
A
Ç
B
Ì
A
Ç
B
.
( )
(e) Załó
Ň
my najpierw,
Ň
e
x
Î
Cl
A
. A zatem
>
Ù
(
)
K
x
,
r
Ç
A
¹
Æ
.
r
0
A
Mog
Ģ
zachodzi
ę
teraz dwie mo
Ň
liwo
Ļ
ci:
x
Î
A
lub
x
Ï
A
. Je
Ň
eli
x
Î
A
, to oczywi
Ļ
cie
x
Î
A
È
, a je
Ň
eli
x
Ï
A
, to na mocy powy
Ň
szego warunku
Ù
Ù
(
)
[
]
[
(
)
]
K
x
,
r
Ç
A
\
{
x
}
¹
Æ
Û
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
A
¹
Æ
,
r
>
0
r
>
0
sk
Ģ
d
x
Î
A
i co za tym idzie
x
Î
A
È
A
. Pokazali
Ļ
my zatem inkluzj
ħ
( )
d
(*)
Cl
A
Ì
A
È
A
.
A
Poka
Ň
emy teraz inkluzj
ħ
przeciwn
Ģ
. We
Ņ
my dowolny
x
Î
A
È
. Je
Ň
eli
x
Î
A
, to na mocy twierdzenia 27 (b),
( )
A
x
Î
Cl
A
, a je
Ň
eli
x
Î
, to przy dowolnym
r
>
0
[
(
)
]
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
A
¹
Æ
,
sk
Ģ
d równie
Ň
(
)
K
x
,
r
Ç
A
¹
Æ
,
( )
przy dowolnym
r
>
0
, a to pokazuje,
Ň
e
x
Î
Cl
A
. Pokazalismy zatem,
Ň
e
( )
d
(**)
A
È
A
Ì
Cl
A
.
( )
d
Z (*) i (**) dostajemy równo
Ļę
Cl
A
=
A
È
A
.
Uwaga 47
(
)
d
(a) Zauwa
Ň
my,
Ň
e inkluzji z twierdzenia 46 (d) nie da si
ħ
odwróci
ę
, tj. inkluzja
d
d
A
Ç
B
Ì
A
Ç
B
na ogół nie
zachodzi. Istotnie, je
Ļ
li w przestrzeni euklidesowej
rozwa
Ň
y
ę
zbiory
A
=
8
i
B
=
I
, to
(
)
(
)
d
d
A
d
Ç
B
d
=
8
d
Ç
I
8
d
=
Ç
=
Ë
Æ
=
Æ
d
=
8
Ç
I
8
=
A
Ç
B
.
(b) Zauwa
Ň
my,
Ň
e zwi
Ģ
zek (e) z twierdzenia 46 pozwala na inne, cz
ħ
sto stosowane w praktyce, zdefiniowanie
( )
domkni
ħ
cia dowolnego zbioru
A
Ì
X
, a mianowicie
Cl
A
=
A
È
A
d
.
Kolejne twierdzenie podaje inny sposób wyraŇenia pochodnej zbioru – uŇywajĢc pojħcia ciĢgu.
Twierdzenie 48
Niech
A
Ì
X
b
ħ
dzie dowolnym niepustym zbiorem. Wówczas
Ì
Ú
lim
x
Î
A
d
Û
x
=
x
.
n
{
}
x
A
\
{
x
}
n
®
¥
n
Dowód
A
Załó
Ň
my najpierw,
Ň
e
x
Î
. Na mocy definicji pochodnej zbioru dostajemy
4
>
Ù
[
(
)
]
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
A
¹
Æ
.
r
0
1
(
)
Niech
r
=
1
. Znajdziemy
x
Î
1
A
taki,
Ň
e
0
<
r
x
,
x
<
1
. Niech
r
=
. Znajdziemy
x
Î
2
A
taki,
Ň
e
1
2
1
1
(
)
0
<
r
x
,
x
<
. Post
ħ
puj
Ģ
c tak dalej, i bior
Ģ
c
r
=
przy ka
Ň
dym
n
Î
i
, znajdziemy
x
n
Î
A
takie,
Ň
e
2
2
n
1
(
)
. A zatem istnieje ci
Ģ
g
{ }
0
< r
x
n
,
x
<
x
n
Ì
A
taki,
Ň
e
n
1
(
)
0
£ r
x
n
,
x
<
.
n
(
)
Z twierdzenia o trzech ci
Ģ
gach dostajemy teraz
lim
r
x
n
,
x
=
0
lub równowa
Ň
nie
lim
x
n
=
x
.
n
®
¥
n
®
¥
Ì
Ú
lim
Załó
Ň
my na odwrót,
Ň
e
{
x
n
=
x
. Bior
Ģ
c dowolne
r
>
0
znajdziemy tak
Ģ
liczb
ħ
naturaln
Ģ
n
,
Ň
e dla
}
x
n
A
\
{
x
}
n
®
¥
(
)
(
)
r
[
(
)
]
wszystkich
n
³
n
mamy
0
<
r
x
n
,
x
<
r
. St
Ģ
d w szczególno
Ļ
ci
0
<
r
x
n
,
x
<
, tj.
x
n
Î
K
x
,
r
\
{
x
}
Ç
A
,
0
0
A
przy ka
Ň
dym
r
>
0
, a to oznacza,
Ň
e
x
Î
.
Definicja 49 (zbioru g
ħ
stego i nigdzie g
ħ
stego)
Powiemy,
Ň
e zbiór
( )
jest g
ħ
sty w przestrzeni
X
, gdy
, a nigdzie g
ħ
sty w przestrzeni
X
, gdy
A
Ì
X
Cl
A
=
X
(
( )
)
Int
Cl
A
=
Æ
.
Przykład 50 (zbioru g
ħ
stego i nigdzie g
ħ
stego)
W przestrzeni euklidesowej
przykładem zbiorów g
ħ
stych mog
Ģ
by
ę
, np. zbiór liczb wymiernych
8
i
niewymiernych I
, a przykładem zbiorów nigdzie g
ħ
stych mog
Ģ
by
ę
, np. dowolny zbiór sko
ı
czony
S
i zbiór
Cantora
C
(o zbiorze Cantora C powiemy dokładniej przy okazji omawiania przestrzeni metrycznych zwartych
– zob. przykład 93).
Twierdzenie 51 (charakterystyka zbiorów g
ħ
stych i nigdzie g
ħ
stych)
Niech
A
Ì
b
ħ
dzie dowolnym zbiorem. Zachodz
Ģ
nast
ħ
puj
Ģ
ce warunki:
(a) Zbiór A jest g
ħ
sty w X wtedy i tylko wtedy, gdy
X
U
Ç
A
¹
Æ
dla dowolnego niepustego zbioru otwartego
U
.
(b) Zbiór A jest nigdzie g
ħ
sty w X wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego niepustego zbioru otwartego U
istnieje niepusty zbiór otwarty
V
Ì
U
taki,
Ň
e
V
Ç
A
=
Æ
lub równowa
Ň
nie:
Ú
Ù
(
)
A nie jest nigdzie g
ħ
sty w X
Û
V
Ì
U
¼
V
Ç
U
¹
Æ
.
zb.
otwarty,
niepusty
U
zb.
otwartego,
niepustego
V
Dowód
(a) Załó
Ň
my najpierw,
Ň
e zbiór
A
jest g
ħ
sty w
X
niech i
U
b
ħ
dzie dowolnym niepusty zbiorem otwartym w
X
. Musimy pokaza
ę
,
Ň
e
U
Ç
A
¹
Æ
. We
Ņ
my
x
Î
0
U
. Poniewa
Ň
U
jest otwarty, to znajdziemy
r
0
>
0
takie,
Ň
e
(
)
(*)
K
x
0
,
r
Ì
U
.
0
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]