wyklad29 całki podwójne, nauka, PW, sem 2, Anailza 2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
RACHUNEKCAÃLKOWYFUNKCJIWIELUZMIENNYCH
CAÃLKAPODW
´
OJNA
CaÃlkapodw´ojnapoprostok¸acie
Rozwa˙zmyprostok¸at
P
,okre´slonynapÃlaszczy´znie
XOY
:
P
=
f
(
x;y
)
2IR
2
:
a·x·b^c·y·dg
orazfunkcj¸edw´ochzmiennych
f
(
x;y
)okre´slon¸aiograniczon¸anatympros-
tok¸acie.
Prostok¸at
P
dzielimyna
n
prostok¸at´ow
P
k
opolach¢
¾
k
,
k
=1
;
2
;:::;n
.
Definicja1(podziaÃluprostok¸ata)
PodziaÃlemprostok¸ataP,ozn.
¢
n
,nazywamyzbi´orprostok¸at´owP
k
,k
=1
;
2
;:::;n,kt´orecaÃlkowicie
gowypeÃlniaj¸aimaj¸aparamirozÃl¸acznewn¸etrza.
Niech
A
k
(
x
k
;y
k
)oznaczadowolnypunktnale˙z¸acydoprostok¸ata
P
k
,tzw.
punktpo´sredni.
Definicja2(sumycaÃlkowej)
Niechfunkcjafb¸edzieograniczona
naprostok¸acieP.Sum¸acaÃlkow¸afunkcjif
(
x;y
)
poprostok¸acieP
odpowiadaj¸ac¸apodziaÃlowi
¢
n
nazywamy
S
n
=
n
X
k
=1
f
(
x
k
;y
k
)¢
¾
k
folia1,wyklad29.tex,26.02.2003
Definicja3(´srednicypodziaÃlu)
Niechd
k
oznaczadÃlugo´s´cprzek¸atnej
prostok¸ataP
k
.Liczb¸e
1
·k·n
d
k
nazywamy´srednic¸apodziaÃlu
¢
n
.DladanegopodziaÃlu
¢
n
prostok¸ata
Pliczbatajestokre´slonajednoznacznie.
±
n
=max
Rozwa˙zmyci¸agpodziaÃl´ow(¢
n
)prostok¸ata
P
.
Definicja4(ci¸agunormalnegopodziaÃl´ow)
Ci¸agpodziaÃl´ow
(¢
n
)
nazywamyci¸agiemnormalnympodziaÃl´ow,je˙zeliodpowiadaj¸acymuci¸ag
´srednic
(
±
n
)
d¸a˙zydozera,tj.
n!1
±
n
=0
Definicja5(caÃlkipodw´ojnejpoprostok¸acie)
Je˙zelidlaka˙zdego
normalnegoci¸agupodziaÃl´owprostok¸ataPci¸agsumcaÃlkowych
(
S
n
)
jest
zbie˙znydotejsamejgranicywÃla´sciwej,niezale˙znejodwyborupunkt´ow
A
k
,tot¸egranic¸enazywamycaÃlk¸apodw´ojn¸afunkcjif
(
x;y
)
popros-
tok¸aciePioznaczamysymbolem
Z
Z
Z
Z
f
(
x;y
)
d¾lub
f
(
x;y
)
dxdy
P
P
St¸ad
Z
Z
f
(
x;y
)
dxdy
def
=lim
±
n
!
0
n
X
f
(
x
k
;y
k
)¢
¾
k
k
=1
P
Je˙zelicaÃlkapowy˙zszaistnieje,tom´owimy,˙zefunkcjaf
(
x;y
)
jestcaÃl-
kowalnawsensieRiemannanaprostok¸acieP.
folia2,wyklad29.tex,26.02.2003
lim
Twierdzenie1(ocaÃlkowalno´scifunkcjidw´ochfunkcji)
Funkcja
f
(
x;y
)
ograniczonanaprostok¸aciePici¸agÃlazwyj¸atkiemconajwy˙zej
zbiorupunkt´ow,daj¸acegosi¸epokry´csko´nczon¸aliczb¸aprostok¸at´ow,kt´o-
rychsumap´oljestdowolniemaÃla,jestcaÃlkowalnanatymprostok¸acie.
Twierdzenie2(oliniowo´scicaÃlki)
Je˙zelifunkcjef
(
x;y
)
ig
(
x;y
)
s¸acaÃlkowalnenaprostok¸acieP,to
Z
Z
Z
Z
[
f
(
x;y
)+
g
(
x;y
)]
dxdy
=
f
(
x;y
)
dxdy
+
g
(
x;y
)
dxdy
P
P
P
Z
Z
Z
Z
[
C¢f
(
x;y
)]
dxdy
=
C¢
f
(
x;y
)
dxdy;gdzieC2IR
P
P
Twierdzenie3(oaddytywno´scicaÃlkiwzg.obszarucaÃlkowania)
Je˙zelifunkcjaf
(
x;y
)
jestcaÃlkowalnanaprostok¸acieP,todladowol-
negopodziaÃlutegoprostok¸atanaprostok¸atyP
1
iP
2
orozÃl¸acznych
wn¸etrzachzachodzir´owno´s´c
Z
Z
Z
Z
Z
Z
f
(
x;y
)
dxdy
=
f
(
x;y
)
dxdy
+
f
(
x;y
)
dxdy
P
P
1
P
2
folia3,wyklad29.tex,26.02.2003
Z
Z
Twierdzenie4
Je´slif
(
x;y
)
jestfunkcj¸apodcaÃlkow¸anaprostok¸acieP,przyczymm
=
inf
P
f
(
x;y
)
,to
m¾·
Z
Z
f
(
x;y
)
d¾·M¾
P
gdzie¾oznaczapoleprostok¸ataP.
Niech
f
(
x;y
)b¸edziefunkcj¸acaÃlkowaln¸anaprostok¸acie
P
opolu
¾
.
Definicja6
Liczb¸e
¹
=
1
Z
Z
f
(
x;y
)
d¾
¾
P
nazywamywarto´sci¸a´sredni¸afunkcjif
(
x;y
)
wprostok¸acieP.
Twierdzenie5(caÃlkoweowarto´sci´sredniej)
Je˙zelifunkcjaf
(
x;y
)
jestci¸agÃlanaprostok¸acieP,toistniejetakipunkt
C2P,˙ze
Z
Z
f
(
x;y
)
d¾
=
f
(
C
)
¢¾
P
folia4,wyklad29.tex,26.02.2003
P
f
(
x;y
)
orazM
=sup
Twierdzenie6(ozamianiecaÃlkipodw´ojnejnacaÃlk¸eiterowan¸a)
Je˙zelifunkcjaf
(
x;y
)
jestci¸agÃlanaprostok¸acieP:a·x·bi
c·y·d,to
Z
Z
d
Z
2
6
4
b
Z
3
7
5
dy
(1)
f
(
x;y
)
dxdy
=
f
(
x;y
)
dx
c
a
P
oraz
Z
b
Z
2
d
Z
3
Z
f
(
x;y
)
dxdy
=
6
4
f
(
x;y
)
dy
7
5
dx
(2)
a
c
P
CaÃlkiwyst¸epuj¸acepoprawejstroniewzor´ow(1)i(2)nazywamykr´otko
caÃlkamiiterowanymifunkcjipoprostok¸acie.
Umowniepiszesi¸er´ownie˙z
d
Z
b
Z
d
Z
2
6
4
b
Z
3
7
5
dy
dy
f
(
x;y
)
dxzamiast
f
(
x;y
)
dx
c
a
c
a
oraz
b
Z
d
Z
b
Z
2
6
4
d
Z
3
7
5
dx
dx
f
(
x;y
)
dyzamiast
f
(
x;y
)
dy
a
c
a
c
Fakt1(caÃlkapodw´ojnazfunkcjiorozdzielonychzmiennych)
Je˙zelifunkcjafjestfunkcj¸aorozdzielonychzmiennychpostaci
f
(
x;y
)=
g
(
x
)
¢h
(
y
)
gdziefunkcjegihs¸aci¸agÃleodpowiednionaprzedziaÃlachha;biihc;di,
tocaÃlkapodw´ojnapoprostok¸acieP:a·x·bic·y·dmo˙zeby´c
liczonajako
Z
0
B
@
b
Z
1
C
A
¢
0
B
@
d
Z
1
C
A
f
(
x;y
)
dxdy
=
g
(
x
)
dx
h
(
y
)
dy
a
c
P
folia5,wyklad29.tex,04.03.2003
Z
[ Pobierz całość w formacie PDF ]