wyklad2(1), matematyka, 0, httpmath.uni.lodz.pl~kowalcr, Topologia 1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 2
Ci
Ģ
gi w przestrzeniach metrycznych.
Ci
Ģ
gi zbie
Ň
ne i ci
Ģ
gi Cauchy’ego.
CiĢgiem punktów w przestrzeni metrycznej
(
r
X
,
nazywamy, jak zwykle w matematyce, dowolnĢ funkcjħ
n
®
x
okreĻlonĢ na zbiorze liczb naturalnych i o wartoĻciach w przestrzeni
X
, którĢ standardowo
(wymiennie stosuje siħ takŇe oznaczenia
{ }
¥
=1
lub
(
)
¥
=1
bħdziemy oznaczali symbolem
{ }
n
,
(
)
).
x
x
x
x
n
n
n
n
JeŇeli wszystkie wyrazy ciĢgu
{ }
x
sĢ z przestrzeni
X
, tj. jeĻli
x
n
Î
X
dla wszystkich i
n
Î
, to fakt ten
bħdziemy krótko oznaczali w nastħpujĢcy sposób:
{ }
x
n
Ì
X
.
PodciĢgiem ciĢgu
{ }
n
nazywamy ciĢg
{
}
, gdzie
{ }
x
x
Ì
X
n
jest dowolnym rosnĢcym ciĢgiem liczb
n
naturalnych.
W dalszym ciĢgu wykładu wykorzystywaę bħdziemy nastħpujĢcĢ własnoĻę ciĢgu
{ }
k
n
a mianowicie:
Î
Ù
(*)
n
³
k
.
k
k
i
Dla
k
=
1
nierównoĻę jest oczywista. ZakładajĢc, Ňe nierównoĻę zachodzi dla dowolnie ustalonego i
k
Î
,
dla
k
+
1
dostajemy
n
>
n
³
k
, skĢd
n
k
³
k
+
1
. Warunek (*) wynika zatem z zasady indukcji
k
+1
k
+
1
matematycznej.
Niech od tej pory, o ile nie załoŇymy inaczej,
(
r
X
,
oznacza dowolnĢ przestrzeı metrycznĢ.
Definicja 14 (ci
Ģ
gu zbie
Ň
nego)
Powiemy,
Ň
e ci
Ģ
g
{ }
x
n
Ì
X
jest zbie
Ň
ny, dokładniej zbie
Ň
ny w przestrzeni X , gdy istnieje punkt
x
Î
X
taki,
Ň
e
(
)
lim
r
x
n
,
x
=
0
,
n
®
¥
lub równowa
Ň
nie
Ù
Ú
Ù
(
)
r
x
n
,
x
<
e
.
e
>
0
n
Î
i
n
³
n
0
0
Fakt zbie
Ň
no
Ļ
ci ci
Ģ
gu
{ }
x
do punktu
x
b
ħ
dziemy oznaczali nast
ħ
puj
Ģ
co:
lim
x
n
=
x
lub
x
n
®
x
.
n
®
¥
spełniaj
Ģ
cy powy
Ň
szy warunek, to ci
Ģ
g
{ }
n
Je
Ļ
li nie istnieje punkt
x
Î
X
x
nazwiemy ci
Ģ
giem rozbie
Ň
nym.
Przykład 15 (ci
Ģ
gu zbie
Ň
nego i rozbie
Ň
nego)
Zauwa
Ň
my,
Ň
e zbie
Ň
no
Ļę
ci
Ģ
gu zale
Ň
y nie tylko postaci ci
Ģ
gu ale i od przestrzeni, w której poło
Ň
one s
Ģ
wyrazy
1
Ê
Ú
jest zbie
Ň
ny w przestrzeni metrycznej
(
)
ci
Ģ
gu. Np., ci
Ģ
g
,
, lecz nie jest zbie
Ň
ny w przestrzeni
n
metrycznej
(
(
]
)
0
1
,
×
.
Definicja 16 (ci
Ģ
gu ograniczonego i nieograniczonego)
1
Powiemy,
Ň
e ci
Ģ
g
{ }
jest ograniczony, je
Ļ
li zbiór jego warto
Ļ
ci
{
i
x
n
Ì
X
x
n
:
n
Î
jest ograniczony, tj. gdy
{
}
.
Ponadto powiemy,
Ň
e ci
Ģ
g
{ }
n
diam
x
n
:
n
Î
i
<
+¥
x
jest nieograniczony, je
Ļ
li nie jest ograniczony.
Twierdzenie 17 (własno
Ļ
ci ci
Ģ
gu)
Niech
{ }
x
b
ħ
dzie dowolnym ci
Ģ
giem punktów przestrzeni X . Zachodz
Ģ
nast
ħ
puj
Ģ
ce warunki:
n
(a) Ci
Ģ
g
{ }
x
jest zbie
Ň
ny do punktu
x
Î
X
, wtedy i tylko wtedy, gdy ka
Ň
da kula otwarta o
Ļ
rodku w punkcie
x
n
zawiera prawie wszystkie wyrazy ci
Ģ
gu
{ }
x
, tj. wszystkie, poza co najwy
Ň
ej sko
ı
czon
Ģ
ich ilo
Ļ
ci
Ģ
.
(b) Ci
Ģ
g
{ }
ma co najwy
Ň
ej jedn
Ģ
granic
ħ
.
x
, tj. je
Ļ
li ci
Ģ
g
{ }
(c) Je
Ļ
li
x
n
=
x
, dla
n
³
n
x
jest stały od pewnego miejsca, to
lim
x
n
=
x
.
0
n
®
¥
(d) Je
Ļ
li ci
Ģ
g
{ }
, to ka
Ň
dy jego podci
Ģ
g
{
}
x
jest zbie
Ň
ny do
x
Î
X
x
te
Ň
jest zbie
Ň
ny do
x
.
n
(e) Je
Ļ
li ci
Ģ
g
{ }
x
jest zbie
Ň
ny, to jest ograniczony.
(f) Je
Ļ
li ka
Ň
dy podci
Ģ
g
{
}
ci
Ģ
gu
{ }
n
posiada podci
Ģ
g
{ }
l
, to sam ci
Ģ
g
{ }
zbie
Ň
ny do punktu
te
Ň
x
x
x
x
Î
X
x
n
n
jest zbie
Ň
ny do x .
Dowód
(a) Załó
Ň
my najpierw,
Ň
e ci
Ģ
g
{ }
x
jest zbie
Ň
ny do punktu
x
. We
Ņ
my dowolne
r
>
0
. Poka
Ň
emy,
Ň
e prawie
wszystkie wyrazy ci
Ģ
gu
{ }
(
)
x
le
ŇĢ
w kuli
K
x
,
r
. Bior
Ģ
c
, wobec definicji 14, znajdziemy takie
n
Î
i
,
e
=
r
(
)
(
)
(
)
Ň
e dla wszystkich
n
³
n
:
r
x
n
,
x
<
e
lub równowa
Ň
nie
x
n
Î
K
x
,
r
. Oznacza to,
Ň
e poza kul
Ģ
K
x
,
r
wyrazów ci
Ģ
gu
{ }
pozostaje, co najwy
Ň
ej
n
0
−
1
x
:
x
,
x
,...,
x
– czyli sko
ı
czona ich ilo
Ļę
.
1
2
n
−
1
0
Załó
Ň
my na odwrót, tj.
Ň
e w ka
Ň
dej kuli otwartej o
Ļ
rodku
x
le
ŇĢ
prawie wszystkie wyrazy ci
Ģ
gu
{ }
n
x
. We
Ņ
my
(
e
(
e
e
>
0
i rozwa
Ň
my kul
ħ
K
x
,
. Istnieje
n
Î
i
takie,
Ň
e dla wszystkich
n
³
n
wyrazy
x
le
ŇĢ
w kuli
K
x
,
.
0
(
)
To oznacza,
Ň
e
r
x
n
,
x
<
e
dla
n
³
n
, co wobec definicji 14 oznacza,
Ň
e
lim
x
n
=
x
.
n
®
¥
(b) Przypu
Ļę
my,
Ň
e
lim
x
n
=
x
i
lim
x
n
=
y
i
x
,
y
Î
X
. We
Ņ
my dowoln
Ģ
liczb
ħ
e
>
0
. Poniewa
Ň
lim
x
n
=
x
, to
n
®
n
®
n
®
e
(
)
znajdziemy
n
Î
i
takie,
Ň
e dla
n
³
n
:
r
x
n
,
x
<
, a poniewa
Ň
lim
x
n
=
y
, to znajdziemy
n
Î
i
takie,
Ň
e
2
n
®
e
(
)
{
}
dla
n
³
n
:
r
x
n
,
y
<
. Wówczas dla
n
³
n
=
max
n
,
n
, wobec nierówno
Ļ
ci trójk
Ģ
ta dla
r
dostajemy
2
0
1
2
2
e
e
(
)
(
)
(
)
r
x
,
y
£
r
x
,
x
+
r
x
,
y
<
+
=
e
.
n
n
2
2
(
)
(
)
Z dowolno
Ļ
ci
e
>
0
mamy zatem
r
x
,
y
£
0
, sk
Ģ
d
r
x
,
y
=
0
, tj.
.
x
=
y
(c) We
Ņ
my dowoln
Ģ
liczb
ħ
e
>
0
. Przyjmuj
Ģ
c
n
takie jak w zało
Ň
eniu i bior
Ģ
c dowolne
n
³
n
dostajemy
(
)
(
)
r
x
n
,
x
=
r
x
,
x
=
0
<
e
.
A zatem
lim
x
n
=
x
.
n
®
¥
2
(d) Niech
{
}
b
ħ
dzie dowolnym podci
Ģ
giem ci
Ģ
gu
{ }
n
. Poniewa
Ň
ci
Ģ
g
{ }
n
x
x
x
jest zbie
Ň
ny do
x
, to bior
Ģ
c
n
dowolne
e
, znajdziemy
i
takie,
Ň
e dla
>
0
n
Î
n
³
n
(
)
(*)
r
x
n
,
x
<
e
.
Bior
Ģ
c teraz dowoln
Ģ
liczb
ħ
naturaln
Ģ
k
³
n
, wobec tego,
Ň
e
n
k
³
n
i (*) dostajemy
(
)
e
r
x
n
,
x
<
,
a to oznacza,
Ň
e
lim
x
n
=
x
.
k
®
(e) Załó
Ň
my,
Ň
e ci
Ģ
g
{ }
x
jest zbie
Ň
ny do
x
Î
X
. Bior
Ģ
c
e
=
1
znajdziemy liczb
ħ
naturaln
Ģ
n
tak
Ģ
,
Ň
e
(
)
r
x
n
,
x
<
1
(
)
(
)
(
)
1
dla
n
³
n
. Kład
Ģ
c
r
=
r
x
,
x
+
r
x
,
x
+
...
+
r
x
,
x
+
widzimy,
Ň
e
1
2
n
−
1
0
{
}
(
)
Î
i
,
x
n
:
n
Ì
K
x
,
r
co wobec twierdzenia 11 i definicji 16 daje ograniczono
Ļę
ci
Ģ
gu
{ }
x
.
n
(f) Przypu
Ļę
my,
Ň
e ci
Ģ
g
{ }
n
x
nie jest zbie
Ň
ny do punktu
x
. Zgodnie z definicj
Ģ
14
Ú
Ù
Ú
(
)
r
x
n
,
x
³
e
.
e
>
0
n
Î
i
n
³
n
0
0
(
)
e
We
Ņ
my
n
0
=
1
. Znajdziemy
n
³
n
takie,
Ň
e
r
x
n
,
1
x
³
. We
Ņ
my
n
1
+
1
. Znajdziemy
n
>
n
takie,
Ň
e
1
0
2
1
(
)
e
(
)
e
r
x
n
,
x
³
. We
Ņ
my
n
2
+
1
. Znajdziemy
n
>
n
takie,
Ň
e
r
x
n
,
x
³
. Kontynuuj
Ģ
c, łatwo ju
Ň
wida
ę
jak
3
2
2
3
skonstruowa
ę
rosn
Ģ
cy ci
Ģ
g
{ }
k
liczb naturalnych taki,
Ň
e
(
)
e
n
r
x
n
,
x
³
,
i
k
Î
. Nierówno
Ļę
ta jednak pokazuje,
Ň
e z ci
Ģ
gu
{
}
x
nie da si
ħ
wybra
ę
Ň
adnego podci
Ģ
gu zbie
Ň
nego do
x
, a to przeczy zało
Ň
eniu.
n
Definicja 18 (ci
Ģ
gu Cauchy’ego)
Powiemy,
Ň
e ci
Ģ
g
{ }
jest ci
Ģ
giem Cauchy’ego (lub,
Ň
e spełnia warunek Cauchy’ego) je
Ļ
li
x
n
Ì
X
Ù
Ú
Ù
(
)
r
x
,
x
<
e
.
m
n
e
>
0
n
Î
i
m
,
n
³
n
0
0
Twierdzenie 19
Je
Ň
eli ci
Ģ
g
{ }
x
n
Ì
X
jest zbie
Ň
ny, to spełnia warunek Cauchy’ego.
Dowód
Niech
x
Î
X
b
ħ
dzie taki,
Ň
e
lim
x
n
=
x
. Bior
Ģ
c dowoln
Ģ
liczb
ħ
e
>
0
, znajdziemy liczb
ħ
naturaln
Ģ
n
tak
Ģ
,
Ň
e
n
®
¥
dla
m
,
n
³
n
zachodz
Ģ
nast
ħ
puj
Ģ
ce nierówno
Ļ
ci
0
e
e
(
)
(
)
r
x
m
,
x
<
i
r
x
n
,
x
<
.
2
2
Z nierówno
Ļ
ci trójk
Ģ
ta dla
r
dostajemy teraz dla
m
,
n
³
n
0
e
e
(
)
(
)
(
)
r
x
,
x
£
r
x
,
x
+
r
x
,
x
<
+
=
e
,
m
n
m
n
2
2
co pokazuje,
Ň
e ci
Ģ
g
{ }
n
x
spełnia warunek Cauchy’ego.
3
Implikacji w powyŇszym twierdzeniu nie da siħ odwrócię, tj. nie kaŇdy ciĢg Cauchy’ego jest zbieŇny. Pokazuje
to poniŇszy przykład.
Przykład 20 (ci
Ģ
gu Cauchy’ego który nie jest zbie
Ň
ny)
Ê
1
Ú
Rozwa
Ň
my w przestrzeni metrycznej
(
(
]
)
0
,
×
ci
Ģ
g
. Poka
Ň
emy najpierw,
Ň
e ci
Ģ
g ten spełnia warunek
n
2
Ç
×
Cauchy’ego. We
Ņ
my dowoln
Ģ
liczb
ħ
e
>
0
. Kład
Ģ
c
n
=
+
1
i bior
Ģ
c dowolne
m
,
n
³
n
dostajemy
É
Ù
0
0
e
1
1
1
1
1
1
2
2
2
−
£
+
£
+
=
=
<
=
e
,
2
m
n
m
n
n
n
n
Ç
2
×
+
1
0
0
0
É
Ù
e
e
co pokazuje,
Ň
e ci
Ģ
g
{ }
x
jest ci
Ģ
giem Cauchy’ego.
Ê
1
Ú
nie jest zbie
Ň
ny w przestrzeni
(
Poka
Ň
emy teraz,
Ň
e ci
Ģ
g
0
. Wobec definicji 14 wystarczy pokaza
ę
,
Ň
e
n
Ù
Ú
Ù
Ú
1
−
x
³
e
.
]
(
n
x
Î
0
,
ō
>
0
n
Î
i
n
³
n
0
0
x
2
Ç
×
(
1
Bior
Ģ
c dowolny
i
i
oraz przyjmuj
Ģ
c
e
i
=
+
dostajemy
x
Î
0
n
Î
=
n
n
É
Ù
0
2
x
1
1
1
1
1
x
−
x
=
x
−
=
x
−
³
x
−
>
x
−
=
=
e
.
2
n
n
Ç
2
×
Ç
2
×
2
n
+
+
1
É
Ù
É
Ù
0
x
x
x
1
w przestrzeni
(
Oznacza to,
Ň
e
lim
¥
0
nie istnieje.
n
n
®
ChociaŇ ciĢg Cauchy’ego sam w sobie nie musi byę zbieŇny, to jednak, jeĻli posiada podciĢg zbieŇny, to jest
juŇ zbieŇny. Pokazuje to poniŇsze twierdzenie.
Twierdzenie 21
Je
Ň
eli ci
Ģ
g
{ }
x
n
Ì
X
spełnia warunek Cauchy’ego i posiada podci
Ģ
g zbie
Ň
ny, to jest zbie
Ň
ny.
Dowód
b
ħ
dzie dowoln
Ģ
liczb
Ģ
. Niech
{
}
b
ħ
dzie podci
Ģ
giem ci
Ģ
gu
{ }
Niech
e
>
0
x
x
zbie
Ň
nym do
x
Î
X
. Istnieje
n
liczba
k
i
taka,
Ň
e dla
k
³
k
Î
(
)
e
(*)
r
x
,
x
<
.
n
2
Poniewa
Ň
ci
Ģ
g
{ }
x
spełnia warunek Cauchy’ego, to istnieje liczba
k
Î
i
taka,
Ň
e dla
m
,
n
³
k
2
2
e
(
)
(**)
r
x
m
x
,
<
.
n
2
Kład
Ģ
c
k
max{
k
,
k
}
i bior
Ģ
c dowolne
n
³
k
, na mocy (*) i (**) i nierówno
Ļ
ci trójk
Ģ
ta dla
r
dostajemy
=
0
1
2
0
4
(
)
(
)
e
e
(
)
r
x
,
x
£
r
x
,
x
+
r
x
,
x
<
+
=
e
.
n
n
n
n
k
k
2
2
0
0
A zatem ci
Ģ
g
{ }
x
jest zbie
Ň
ny do punktu
x
.
Podamy teraz, bez dowodu, jeszcze jedno bardzo waŇne w zastosowaniach twierdzenie.
Twierdzenie 22 (Bolzano-Weierstrassa)
k
posiada podci
Ģ
g zbie
Ň
ny.
Ka
Ň
dy ograniczony ci
Ģ
g punktów przestrzeni metrycznej euklidesowej
KonsekwencjĢ tego twierdzenia jest nastħpujĢce twierdzenie.
Twierdzenie 23
k
ka
Ň
dy ci
Ģ
g spełniaj
Ģ
cy warunek Cauchy’ego jest zbie
Ň
ny.
W przestrzeni metrycznej euklidesowej
Dowód
Niech
{ }
k
spełniaj
Ģ
cym warunek Cauchy’ego. Poka
Ň
emy
x
b
ħ
dzie dowolnym ci
Ģ
giem punktów przestrzeni
n
najpierw,
Ň
e ci
Ģ
g ten jest ograniczony. Bior
Ģ
c
e
>
1
istnieje liczba naturalna
n
taka,
Ň
e dla
n
³
n
mamy
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
. Kład
Ģ
c
widzimy,
Ň
e
r
x
,
x
<
r
=
r
x
,
x
+
r
x
,
x
+
...
+
r
x
,
x
+
e
n
n
1
n
2
n
n
−
1
n
0
0
0
0
0
{
}
(
)
x
:
n
Î
i
Ì
K
x
,
r
,
n
n
0
co wobec twierdzenia 11 i definicji 16 oznacza ograniczono
Ļę
ci
Ģ
gu
{ }
x
.
n
Korzystaj
Ģ
c z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa (zob. twierdzenie 22) z ci
Ģ
gu
{ }
n
x
mo
Ň
emy wybra
ę
podci
Ģ
g
zbie
Ň
ny
{
}
. Ci
Ģ
g Cauchy’ego
{ }
n
posiada wi
ħ
c podci
Ģ
g zbie
Ň
ny, a to na mocy twierdzenia 21 oznacza
x
x
n
równie
Ň
zbie
Ň
no
Ļę
ci
Ģ
gu
{ }
x
.
n
Wniosek 24
Niech
{ }
. Ci
Ģ
g
{ }
k
x
b
ħ
dzie dowolnym ci
Ģ
giem punktów przestrzeni euklidesowej
x
jest zbie
Ň
ny wtedy i
n
n
tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego.
Dowód
Wynika z twierdze
ı
19 i 23.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]