wyklad, Politechnika, Algebra z geometrią analityczną
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebraliniowazgeometri¡
wykładI
1
Oznaczenia
N–zbiórliczbnaturalnych,tutajzaczynaj¡cychsi¦od1
Z–zbiórliczbcałkowitych
Q–zbiórliczbwymiernych
R–zbiórliczbrzeczywistych
C–zbiórliczbzespolonych
H–zbiórkwaternionów
Literatura
Lekturapodstawowa
1.A.I.Kostrikin,
Wst¦pdoalgebry
,cz¦±ci1–3,PWN,Warszawa2004–2005.
2.A.I.Kostrikin(red.),
Zbiórzada«zalgebry
,PWN,Warszawa2005.
Lekturauzupełniaj¡ca
1.A.Białynicki-Birula,
Algebra
,PWN,Warszawa1971.
2.A.Białynicki-Birula,
Algebraliniowazgeometri¡
,PWN,Warszawa1976.
3.A.I.Kostrikin,J.I.Manin,
Algebraliniowaigeometria
,PWN,Warszawa
1993.
4.A.Mostowski,M.Stark,
Elementyalgebrywy»szej
,PWN,Warszawa1972.
2
§
1Ciałaliczbowe
Definicja1PodzbiórFzbioruliczbrzeczywistychnazywamy
ciałemlicz-
bowym
,je±limaprzynajmniejdwaelementyidlaka»dejparyliczb
a
,
b
nale»¡-
cychdoFnast¦puj¡celiczbynale»¡doF:
a
+
b
,
a
−
b
,
a
·
b
,atak»e
a
b
.W
przypadkudzieleniazakładamyoczywi±cie,»e
b
6
=0.
Innymisłowy,ciałoliczbowetozbiórliczblicz¡cywi¦cejni»jedenelement,
wktórymwykonalnes¡wszystkieczterydziałania.
ZbiórNniejestciałemliczbowymnaprzykładdlatego,»eniejestwnim
wykonalneodejmowanie.WzbiorzeZniejestwykonalnedzielenie,wi¦ciZ
niejestciałemliczbowym.NatomiastQiRs¡ciałami.
Przykład1Niech
m>
0b¦dziedowoln¡liczb¡wymiern¡iniechQ[
p
m
]:=
Niech
a
i
b
2
Q[
p
m
],przyty
m
niech
b
6
=0.
Wt
edyistniej¡liczby
wymierne
s
,
t
,
x
,
y
,»e
a
=
s
+
t
p
m
i
b
=
x
+
y
p
m
.Je±li
b
j
estliczb¡
wymiern¡,to
u
:=
s/b
,
v
:=
t/b
s¡wymier
ne
oraz
a/b
=
u
+
v
p
m
.Je±liza±
b
niejestliczbawymiern¡,to
c
:=
x
−
y
p
m
jesttak»eliczb¡niewymiern¡,
wi¦cró»n¡od0.Mamy
a
b
=
ac
bc
.Zauwa»my,»e
ac
=(
sx
−
tym
)+(
tx
−
sy
)
p
m, bc
=
x
2
−
y
2
m.
Pierwszazliczble»ywQ[
p
m
],drugajestwymierna.Ichiloraz,jakju
»w
iemy
napodstawiewcze±niejrozpatrzonegoprzypadku,le»ytak»ewQ[
p
m
],ale
tenilorazjestrówny
a/b
.
Zauwa»my,»etasamaargumentacjamazastosowanie,je±lizamiastQ
wzi¡¢jakiekolwiekciałoliczboweF,a
w
charakterze
m
wzi¡¢dowolnyelement
dodatniciałaF.Wkonsekwencji,F[
p
m
]:=
{
u
+
v
p
m
:
u,v
2
F
}
jestciałem.
Twierdzenie1
Je»eli
F
jestciałemliczbowym,towszystkieliczbywymierne
le»¡w
F(Q
F)
.
Dowód.
Poniewa»
|
F
|
2,wi¦cistniejeniezerowyelement
a
2
F.Dzieleniew
Fjestwykonalne,st¡d1=
a
a
2
F.Dalej,N
F,bogdybynie,toistniałaby
takanajmniejszaliczba
n
2
N,»e
n/
2
F.Jasne,»e
n>
1.Zauwa»myteraz,
»e
n
=(
n
−
1)+1oraz»eobaskładnikitejsumys¡liczbaminaturalnymi
3
{
u
+
v
p
m
:
u,v
2
Q
}
.Tenostatnizbiórjestciałem.Dlaprzykładupoka»emy,
»ejestwnimwykonaln
ed
zielenie.
mniejszymini»
n
;musz¡wi¦cby¢elementamiciałaF.AlewFwykonalne
jestdodawanie,st¡d
n
2
F.Iotrzymali±mysprzeczno±¢.
St¡d»eodejmowaniejestwykonalnewF,mamy
0=1
−
1
2
Fi0
−
n
=
−
n
2
F
,
oile
n
2
N.WkonsekwencjiZ
F.Aleje»eli
w
2
Q,to
w
=
p
q
,
p,q
2
Z.
DzieleniejestwFwykonalne,wi¦c
w
2
F.
Definicja2Powiemy,»e
a
jest
liczb¡algebraiczn¡stopnian
,je»eliistnieje
wielomianstopnia
n
owspółczynnikachwymiernych,
w
(
x
):=
a
0
+
a
1
x
+
...
+
a
n
x
n
,»e
w
(
a
)=0iniemawielomianuowspółczynnikachwymiernych
stopniani»szego,którego
a
byłabypierwiastkiem.
Zadanie1Niech
a
–algebraicznastopnia
n
.Udowodni¢,»ezbiór
Q[
a
]:=
{
p
0
+
p
1
a
+
p
2
a
2
+
...
+
p
n
−
1
a
n
−
1
:
p
0
,...,p
n
−
1
2
Q
}
jestciałem.
§
2Działania
Definicja3Załó»my,»emamyzadanyzbiór
X
.
Dwuargumentowymdzia-
łaniem
,alboinaczej,
operacj¡
w
X
nazywamyprzyporz¡dkowanieka»dej
parzeuporz¡dkowanejzbioru
X
jednegoelementutegozbioru(ró»nymparom
mog¡by¢oczywi±cieprzyporz¡dkowaneró»neelementy).
Działaniaoznaczamysymbolami:+,
−
,
·
,
,
,
itp.Je±linp.
jest
działaniemi
a,b
2
X
,toelementprzyporz¡dkowanyparzeuporz¡dkowanej
(
a,b
)oznaczamy
a
b
.
Przykład2Przyporz¡dkowanie
opisanewzorem
a
b
=(
a
+
b
)
3
jest
działaniemwR.
Definicja4Działanie
w
X
jest
ł¡czne
,je±lidlaka»dychelementów
a,b,c
2
X
a
(
b
c
)=(
a
b
)
c.
Zauwa»my,»edodawaniewRjestł¡czne,za±odejmowanienie.
4
Definicja5Działanie
w
X
jest
przemienne
,je±lidlaka»dych
a,b
2
X
a
b
=
b
a.
DodawaniewRjestoczywi±cieprzemienne,za±odejmowanienie.
Definicja6Je±liw
X
s¡okre±lonedwadziałania
,
,to
jest
rozdzielne
lewostronnie
wzgl¦dem
,je±lidlaka»dych
a,b,c
2
X
a
(
b
c
)=(
a
b
)
(
a
c
)
,
–
prawostronnie
,je±li
(
b
c
)
a
=(
b
a
)
(
b
c
)
.
Zadanie2W(0
,
+
1
)rozpatrzmydwadziałania:zwykłedodawanie+i
dodawanieharmoniczne
a
b
=
ab
a
+
b
.
Czy
jestrozdzielnewzg¦dem+?
Definicja7Element
e
nazywamy
elementemneutralnym
działania
w
X
je±lidlaka»degoelementu
x
2
X
e
x
=
x
e
=
x.
Oczywi±cie0jestelementemneutralnymdodawanialiczb,za±1–mno»enia.
Dzielenieniemaelementuneutralnego.
§
3Aksjomatycznadefinicjaciała
Definicja8NiechFb¦dziezbioremzokre±lonymidwomadziałaniami:do-
dawaniem+,imno»eniem
·
,wktórymmo˙nawyró»ni¢dwaniejednakowe
elementynazywanezwykle0i1.Fnazywamy
ciałem
,je»elidladowolnych
x,y,z
2
F:
(1)
x
+
y
=
y
+
x
,
(2)
x
+(
y
+
z
)=(
x
+
y
)+
z
,
(3)
x
+0=
x
,
(4)
_
t
5
x
+
t
=0
,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]