wyklad 8, Szkoła, Matematyka, Matematyka studia, Algebra
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Wykład 8
Definicja
Półgrup
Ģ
nazywamy zbiór R z jednym działaniem binarnym •, gdy
działanie • jest ł
Ģ
czne.
Monoidem
nazywamy półgrup
ħ
M w której istnieje element neutralny, ij.
istnieje element eÎM taki a•e = e•a=a dla "aÎM.
Grup
Ģ
nazywamy monoid G w którym ka
Ň
dy element jest odwracalny, ij.
dla ka
Ň
dego g
ÎG istnieje element g
-1
ÎG taki g•g
-1
= g
-1
•g=e.
Przykłady
1.
(Z
+
, +) jest półgrup
Ģ
, ale nie jest monoidem.
2.
(N, +) oraz (N, ×) s
Ģ
monoidami
3.
(Z, +) oraz (Z, ×) s
Ģ
monoidami
4.
Zbiór przekształce
ı
dowolnego zbioru jest monoidem.
Pier
Ļ
cienie
ƞ
Definicja
Pier
Ļ
cieniem
nazywamy zbiór R z dwoma działaniami: dodawaniem + i
mno
Ň
eniem •, gdy s
Ģ
spełnione nast
ħ
puj
Ģ
ce warunki:
1) zbiór R z działaniem + jest grup
Ģ
przemienn
Ģ
;
2) działanie • jest ł
Ģ
czne;
3) działanie • jest rozdzielne wzgl
ħ
dem dodawania:
a•(b+c)=a•b+a•c
(a+b) •c=a•c+b•c
Pier
Ļ
cie
ı
P z działaniem mno
Ň
enia • jest
przemienny
,
je
Ļ
li działanie mno
Ň
enia
• jest przemienne.
Pier
Ļ
cie
ı
P nazywamy
pier
Ļ
cieniem z jedynk
Ģ
, je
Ļ
li P ¹{0} oraz istnieje
element neutralny wzgl
ħ
dem mno
Ň
enia 1 ÎP, taki
Ň
e a•1=1•a=a dla "a ÎP.
Przykłady.
1. (
Z
, +,
•) - pier
Ļ
cie
ı
przemienny.
2. (
W
, +, •); (
Q, +,
•)
-
pier
Ļ
cienie przemienne
3. (2
Z
, +, • ) - pier
Ļ
cie
ı
przemienny bez jedynki
2
4. Zbiór wszystkich funkcji okre
Ļ
lonych na pewnym przedziale wzgl
ħ
dem
zwykłych działa
ı
jest pier
Ļ
cieniem przemiennym z jedynk
Ģ
- funkcj
Ģ
stał
Ģ
,
równej 1 na tym przedziale.
5. (
Q
[x], +, •) - pier
Ļ
cie
ı
przemienny
6. (M
n
(R), +, •) - pier
Ļ
cie
ı
nieprzemienny
7. Algebra Boole’a (Ã(X), È, Ç) – nie jest pier
Ļ
cieniem
8. (Ã(X), Å, Ç) - pier
Ļ
cie
ı
przemienny, gdzie X – dowolny zbiór, Å - ró
Ň
nica
symetryczna
9. (
Z
n
, +,
•) - pier
Ļ
cie
ı
przemienny [x]+[y]= [x+y], [x] • [y]=[xy]
Dziedziny całkowito
Ļ
ci i ciała
Definicje
0 ¹
a
Î
P
nazywamy
lewym dzielnikiem zero
, je
Ļ
li $
x
Î
P, x
¹ 0, taki,
Ň
e
ax
=0.
0 ¹
a
Î
P
nazywamy
prawym dzielnikiem zero
, je
Ļ
li $
y
Î
P, y
¹ 0, taki,
Ň
e
ya
=0.
Je
Ň
eli 0 ¹
a
Î
P
jest lewym i prawym dzielnikiem zero, to
a
nazywamy
dzielnikiem zero
.
Pier
Ļ
cieniem bez dzielników zero
nazywamy pier
Ļ
cie
ı
, którego
Ň
aden element
nie jest dzielnikiem zero. Pier
Ļ
cie
ı
przemienny, z jedynk
Ģ
i bez dzielników zero
nazywamy
dziedzina całkowito
Ļ
ci
lub
pier
Ļ
cieniem całkowitym.
Przykłady
1.
Zbiór liczb całkowitych
Z
jest pier
Ļ
cieniem całkowitym.
2.
Zbiór reszt modulo Z
5
jest pier
Ļ
cieniem całkowitym.
3.
Zbiór reszt modulo Z
6
nie
jest pier
Ļ
cieniem całkowitym.
4.
(Ã(X), Å, Ç) nie
jest pier
Ļ
cieniem całkowitym.
5.
(M
n
(R), +, •) nie
jest pier
Ļ
cieniem całkowitym.
Twierdzenie (własno
Ļę
skracania)
Je
Ļ
li x jest niezerowym elementem dziedziny całkowito
Ļ
ci (R, +, •) i xa=xb, to
a=b.
Dowód.
Je
Ļ
li xa=xb, to x(a – b) =xa – xb =0. Poniewa
Ň
R nie ma dzielników zera, to a-
b=0, st
Ģ
d a=b.
3
Definicje
P
- pier
Ļ
cie
ı
z 1.
a
Î
P
nazywamy
lewym dzielnikiem jedynki
, je
Ļ
li $
x
Î
P
taki,
Ň
e
ax
=1.
a
Î
P
nazywamy
prawym dzielnikiem jedynki
, je
Ļ
li $
y
Î
P
taki,
Ň
e
ya
=1.
Je
Ļ
li
a
Î
P
jest prawym i lewym dzielnikiem jedynki, to
a
nazywamy
dzielnikiem jedynki
, lub
elementom odwracalnym
.
ƞ
Definicja
Pier
Ļ
cie
ı
całkowity (K, +, •), który ma przynajmniej 2 elementy, nazywamy
ciałem
, gdy ka
Ň
dy niezerowy element xÎK jest odwracalny wzgl
ħ
dem
mno
Ň
enia.
Przykłady.
1. (
W
, +, •); (
Q, +,
•) – s
Ģ
ciałami.
2. (
Q
(x), +, • ) – ciało.
3. (
Z
, +, •) nie jest ciałem.
Twierdzenie
Ka
Ň
de ciało F jest dziedzin
Ģ
całkowito
Ļ
ci.
Dowód.
Niech ab=0 w F. Je
Ļ
li a¹0, to istnieje element a
-1
ÎF i wtedy
b = (a
-1
a)b= a
-1
(ab)=0. Tak wi
ħ
c a=0 lub b=0, co dowodzi
Ň
e F jest dziedzin
Ģ
całkowito
Ļ
ci.
Twierdzenie
Ka
Ň
da sko
ı
czona dziedzina całkowito
Ļ
ci jest ciałem.
Dowód.
Niech D={x
0
, x
1
, …, x
n
} jest dziedzina całkowito
Ļ
ci z elementem zerowym
x
0
=0 i jedynk
Ģ
x
1
=1. Je
Ļ
li x
i
¹0, to x
i
D = D. Istotnie, je
Ļ
li x
i
x
j
= x
i
x
k
, to z
własno
Ļ
ci skracania x
j
=x
k
.
Zatem w x
i
D istnieje element x
k
taki,
Ň
e x
i
x
k
=1. Takim czynem, D jest ciałem.
Twierdzenie
(
Z
n
, +,
•) jest ciałem Û n jest liczba pierwsza.
Dowód.
4
Je
Ļ
li n=p jest liczba pierwsz
Ģ
, to
Z
n
* jest grup
Ģ
, sk
Ģ
d wynika,
Ň
e (
Z
n
, +,
•) jest
ciałem.
Je
Ļ
li n nie jest liczb
Ģ
pierwsz
Ģ
, to istniej
Ģ
liczby całkowite 1<k<n, 1<s<n takie
Ň
e n=ks. Wtedy [k][s]=[0], co oznacza,
Ň
e (
Z
n
, +,
•) ma dzielniki zero i dlatego
nie jest ciałem.
Ciało kwaternionów
William Roman Hamilton (1805-1865)
H = {
a
1
e + a
2
i
+
a
3
j
+
a
4
k
}, gdzie
a
r
Î
R
dla
r
= 1, 2, 3, 4.
Dla dowolnych elementów
x
=
a
1
e + a
2
i
+
a
3
j
+
a
4
k
Î
H
i
y
=
b
1
e + b
2
i
+
b
3
j
+
b
4
k
Î
H
.
x
+
y
= (
a
1
e + a
2
i
+
a
3
j
+
a
4
k
) + (
b
1
e + b
2
i
+
b
3
j
+
b
4
k
) = (
a
1
+
b
1
)
e +
(
a
2
+
b
2
)
i
+
(
a
3
+
b
3
)
j
+ (
a
4
+
b
4
)
k
Mno
Ň
enie w
H
okre
Ļ
limy najpierw dla elementów
e
,
i
,
j
,
k
za pomoc
Ģ
nast
ħ
puj
Ģ
cej tabeli:
e i j k
e e i j k
i i
−
e
k
−
j
j j
−
k
−
e
i
k k j
−
i
-e
Mno
Ň
enie te mo
Ň
emy rozpowszechni
ę
na wszystkie elementy, korzystaj
Ģ
c z
prawa ł
Ģ
czno
Ļ
ci mno
Ň
enia, wtedy otrzymujemy:
x
×
y
= (
a
1
e + a
2
i
+
a
3
j
+
a
4
k
)×(
b
1
e + b
2
i
+
b
3
j
+
b
4
k
)
= (
a
1
b
1
−
a
2
b
2
−
a
3
b
3
−
a
4
b
4
)
e
+ (
a
1
b
2
+
a
2
b
1
+
a
3
b
4
−
a
4
b
3
)
i
+ (
a
1
b
3
−
a
2
b
4
+
a
3
b
1
+
a
4
b
1
)
j
+ (
a
1
b
4
+
a
2
b
3
−
a
3
b
2
+
a
4
b
1
)
k
1×
e
+ 0×
i
+ 0×
j
+ 0×
k
- jedynka w
H
5
0×
e
+ 0×
i
+ 0×
j
+ 0×
k
– element zerowy w
H.
Własno
Ļ
ci działa
ı
w H:
Dla dowolnych elementów z, z
1
, z
2
, z
3
Î
H:
1. z
1
+ z
2
= z
2
+ z
1
2. (z
1
+ z
2
) + z
3
= z
1
+ (z
2
+ z
3
)
3. (z
1
×
z
2
)
× z
3
= z
1
×
(z
2
× z
3
)
4. (z
1
+ z
2
)
× z
3
= z
1
×
z
2
+ z
1
×z
3
5. z
1
× ( z
2
+ z
3
) = z
1
×z
2
+z
1
×z
3
6. z +0 = 0 + z
7. z×
1 = 1× z = z
Natomiast w ogólnym przypadku
z
1
× z
2
¹ z
2
× z
1
poniewa
Ň
i
×
j
¹
j
×
i.
Je
Ň
eli
x
=
a
1
e + a
2
i
+
a
3
j
+
a
4
k
Î
H
, to okre
Ļ
limy
x
=
a
1
e
−
a
2
i
−
a
3
j
−
a
4
k.
N(
x
)
= x
×
x
=
a
1
2
+ a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
Î
R
.
Je
Ļ
li
x
¹ 0, to element
x
×
x
jest równie
Ň
ró
Ň
ny od zera. Element odwrotny do
elementu
x
ma posta
ę
:
x
-1
= (
a
1
2
+ a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
)
-1
×
x
Î
H
.
A wi
ħ
c
H
jest ciałem nieprzemiennym. Zbiór
H
nazywamy
ciałem
kwaternionów
.
Podpier
Ļ
cienie i morfismy pier
Ļ
cieni
ƞ
Definicja.
Niepusty podzbiór
B
pier
Ļ
cienia
A
=(
P
, +, ×) nazywa si
ħ
podpier
Ļ
cieniem
A
,
je
Ļ
li
B
jest pier
Ļ
cieniem wzgl
ħ
dem działa
ı
+ i ×, inaczej mówi
Ģ
c
B
jest
podpier
Ļ
cieniem
A
, je
Ļ
li spełnione s
Ģ
nast
ħ
puj
Ģ
ce warunki:
1.
je
Ň
eli
a
,
b
Î
B
, to
a
×
b
Î
B
;
2.
je
Ň
eli
a
,
b
Î
B
, to
a+b
Î
B
;
3.
je
Ň
eli
a
Î
B
, to -
a
Î
B
;
4.
0 Î
B
.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]