wyklad-8-20-04,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Ruch wokół położenia równowagi trwałej
U(
x
)
D
U
= D
W
= -D
W
1
'
''
2
U
(
x
)
=
U
(0)
+
U
(0)
x
+
U
(0)
x
zew
wew
2
0
x
dU
1
F
= -
dx
U x
( )
=
U
(0)
+
U
''
(0)
x
2
wew
2
dx
d U
d U
d U
1
F
= -
⇒
''
F
= -
= -
×
2
U
( 0 )
x
= -
k x
w e w
d x
w e w
d x
2
Dla przypadku trójwymiarowego
Ciało wytrącone z położenia równowagi trwałej
będzie wykonywało ruch okresowy wokół tego położenia
d
d
d
d
dU
dU
dU
F
= -
×
i
+
×
j
+
×
k
= -Ñ
U
dx
dy
dz
Ruch wokół położenia równowagi trwałej
W pobliżu punktów równowagi energię potencjalną można przybliżyć
wyrażeniem
1
2
U
(
x
)
=
U
(0)
+
k x
2
Siła
Siła
dU
F
= -
wew
dx
F
=
-
k
x
F
= -
k x
Jednorodne równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
Ruch harmoniczny prosty
2
d x
2
+
w
x
=
0
• W dowolnej chwili
F
= m
a
dt
2
F
= -kx
a
k
m
Rozwiązaniem są funkcje postaci
• Ale tutaj
F
= -kx
x
•
Więc:
x
=
A
cos(
w +
t
f
)
2
d x
d x
2
x
=
A
cos(
w +
t
f
)
=
= -
ma
m
kx
2
dt
p
x
=
A
sin(
w
t
+
f
-
)
2
równanie róŜniczkowe na
x(t)
2
d
x
k
m
x
= -
2
dt
2
d x
k
m
2
+
w
x
=
0
w =
niech
2
dt
Własności ruchu harmonicznego prostego
x
2
∫
D
U
= -
W
= -
(
-
kx dx
)
s
x
Położenie cząstki w dowolnej chwili t:
1
1
2
2
D
U
=
k x
(
-
x
)
2
1
x
(
t
)
=
A
cos(
w +
t
f
)
2
ruch odbywa się wokół położenia
równowagi x=0, można przyjąć:
A…amplituda
w
…częstość
f
w
…częstość
U
(0)
=
0
…faza początkowa
T…okres
(w
wówczas
t
+ F)
…faza
1
2
U x
( )
=
kx
2
2
p
k
F
= -
kx
w =
=
E
=
U
+
E
T
m
c
k
Własności ruchu harmonicznego prostego
Energia całkowita oscylatora harmonicznego
2
2
E
=
E
+
U
=
1
mv
+
1
kx
k
2
2
x t
=
A
cos
w
t
+
f
v t
= -
w
A
sin
w
t
+
f
( )
(
)
( )
(
)
2
2
E
=
1
m
-
w
A
sin
w
t
+
f
+
1
k
A
cos
w
t
+
f
(
)
(
)
2
2
1
2
2
2
2
E
=
1
2
A
m
w
sin
w
t
+
f
+
k
cos
w
t
+
f
(
)
(
)
2
(
)
E
k
=
m
w
A
sin(
w
t
+
f
)
2
k
2
2
w
=
k m
Ale
skąd
2
2
2
2
E
=
1
kA
sin
w
t
+
f
+
cos
w
t
+
f
=
1
kA
(
)
(
)
2
2
1
kx
2
E
p
=
2
2
2
E
=
1
kA
=
1
w
mA
2
2
2
Własności ruchu harmonicznego prostego
Ciało wytrącone z położenia równowagi trwałej
będzie wykonywało ruch okresowy wokół tego położenia
Wahadło matematyczne
Wahadło fizyczne
F
=
-
mg
sin
q
sin
q »
q
dla małych kątów :
F
=
-
mg
sin
q
»
-
mg
q
mg
g
I
F
=
-
L
q
=
-
m
s
=
-
ks
T
=
2
p
L
L
mgh
L
L
mgh
k
mg
/
L
g
w =
=
=
m
m
L
2
p
L
T
=
=
2
p
w
g
Wahadło torsyjne
M
= -
k
q
I
T
=
2
p
k
T
=
2
p
k
gdzie I jest momentem
bezwładności układu
[ Pobierz całość w formacie PDF ]