wykład 7, Modelowanie i symulacja systemów, wykład
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Krótkie przypomnienie
Równania różniczkowe
Przegląd równań różniczkowych
Zadania
§6. Równania różniczkowe
Robert Janczewski
Robert Janczewski
§6. Równania różniczkowe
Krótkie przypomnienie
Równania różniczkowe
Przegląd równań różniczkowych
Zadania
Funkcje pierwotne
Metody całkowania
Podstawowe całki
Całkowanie funkcji f to proces wyznaczania jej funkcji pierwotnej,
tj. funkcji F spełniającej warunek F
′
= f .
Całkować będziemy wyłącznie funkcje przyjmujące wartości
rzeczywiste, o dziedzinie będącej przedziałem.
Każda funkcja ciągła posiada pierwotną. Istnieją funkcje nieciągłe
nie posiadajÄ…ce pierwotnych.
Jeśli F jest funkcją pierwotną dla f , to
Z
Z
B
f (x) dx = F(x) + C
i
f (x) dx = F(b) − F(a),
A
gdzie C jest dowolną stałą.
Robert Janczewski
§6. Równania różniczkowe
Krótkie przypomnienie
Równania różniczkowe
Przegląd równań różniczkowych
Zadania
Funkcje pierwotne
Metody całkowania
Podstawowe całki
Niech a i b będą stałymi, a f i g funkcjami całkowalnymi, o
wartościach rzeczywistych, określonymi na pewnym przedziale.
Wówczas
Z
Z
Z
af (x) ± bg(x) dx = a
f (x) dx ± b
g(x) dx.
Jeżeli dodatkowo f jest różniczkowalna, to
Z
f
′
(x) dx = f (x) + C ,
gdzie C jest dowolną stałą.
Robert Janczewski
§6. Równania różniczkowe
Krótkie przypomnienie
Równania różniczkowe
Przegląd równań różniczkowych
Zadania
Funkcje pierwotne
Metody całkowania
Podstawowe całki
Podczas całkowania wykorzystuje się techniki zwane
całkowaniem
przez części
i
całkowaniem przez podstawienie
.
Całkowanie przez części wykorzystuje wzór
Z
Z
f
′
(x)g(x) dx = f (x)g(x) −
f (x)g
′
(x) dx,
który jest prawdziwy, o ile f i g są różniczkowalne.
Korzystamy z niego, o ile obliczenie całki z f (x)g
′
(x) jest Å‚atwiejsze
niż obliczenie całki z f
′
(x)g(x).
Robert Janczewski
§6. Równania różniczkowe
Krótkie przypomnienie
Równania różniczkowe
Przegląd równań różniczkowych
Zadania
Funkcje pierwotne
Metody całkowania
Podstawowe całki
Dla przykładu, wyznaczymy całkę z ln x:
Z
Z
Z
x ·
1
ln x dx =
1 · ln x dx = x ln x −
x
dx
Z
= x ln x −
dx = x ln x − x + C
oraz z x sin x:
Z
Z
x sin x dx = −x cos x +
cos x dx = sin x − x cos x + C .
Robert Janczewski
§6. Równania różniczkowe
[ Pobierz całość w formacie PDF ]