wyklad 7, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
7. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA
1
7.
7. Płaski stan naprężenia
7.1 Podstawowe wiadomości
W rozdziale 6 zostały opisane naprężenia normalne s
X
oraz naprężenia styczne t
XZ
oraz t
XY
w prętach
pryzmatycznych. Na rysunku 7.1 przedstawiono przykładowy pręt pryzmatyczny, w którym działają siły
przekrojowe: siła poprzeczna oraz moment zginający. Na elementarnej kostce zaznaczono naprężenia
normalne oraz styczne występujące w środniku przekroju dwuteowego powstałe w wyniku działania siły
poprzecznej i momentu zginającego.
T
Zgl
M
Ygl
ZX
=
XZ
X
Y
X
X
X
XZ
XZ
X
XZ
ZX
=
XZ
Z
Z
Z=Z
gl
Rys. 7.1. Stan naprężenia w pręcie zginanym i ścinanym.
Pierwszy indeks przy symbolu naprężenia stycznego wskazuje normalną do płaszczyzny, na której działa to
naprężenie, drugi indeks wskazuje kierunek działania naprężenia. W przypadku naprężenia normalnego mamy
tylko jeden indeks, który wskazuje jednocześnie normalną do płaszczyzny, na której działa to naprężenie i
kierunek działania naprężenia. Przedstawione na rysunku 7.1 naprężenia są dodatnie. Naprężenia normalne s
X
oraz styczne t
XZ
znajdują się na tak zwanej
ściance dodatniej
w układzie XYZ natomiast naprężenie styczne
t
ZX
znajduje się na
ściance ujemnej
. Ogólnie można przyjąć, że ścianki dodatnie to te ścianki, które są
widoczne przez obserwatora znajdującego się w punkcie o wszystkich współrzędnych dodatnich patrzącego w
kierunku początku układu współrzędnych XYZ. Naprężenie jest dodatnie na ściance dodatniej, jeżeli ma zwrot
zgodny ze zwrotem osi natomiast naprężenie jest dodatnie na ściance ujemnej jeżeli ma zwrot przeciwny do
zwrotu odpowiedniej osi. Dodatnie płaszczyzny w układzie XYZ przedstawiono kolorem szarym na rysunku
7.2a natomiast ścianki ujemne przedstawiono na rysunku 7.2b. Naprężenia styczne t
XZ
oraz t
ZX
są sobie
równe. Zostanie to udowodnione w wykładzie numer 8.
Stan naprężenia przedstawiony na rysunku 7.1 jest szczególnym przypadkiem
płaskiego stanu naprężenia
. W
ogólnej postaci płaskiego stanu naprężenia pojawią się jeszcze dodatkowe naprężenia normalne s
Z.
. Ogólną
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
7. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA
2
postać płaskiego stanu naprężenia przedstawiono na rysunku 7.3. Układ współrzędnych, w którym opisujemy
płaski stan naprężenia jest to układ XYZ. W przypadku przekrojów, które posiadają przynajmniej jedną oś
symetrii (dwuteowy, skrzynkowy, teowy, kołowy lub pierścieniowy) osie tego układu będą równoległe do
głównych osi bezwładności Y
gl
oraz Z
gl
. W przekrojach niesymetrycznych (kątownik) osie układu XYZ nie
będą równoległe do głównych osi bezwładności. Dla ułatwienia naprężenia w płaskim stanie naprężenia
przedstawia się na płaszczyźnie w układzie współrzędnych ZX jak to przedstawiono na rysunku 7.3.
a)
b)
X
X
Z
Z
Rys. 7.2. Kostki naprężeń, a)ścianki dodatnie, b) ścianki ujemne.
Z
Z
Y
ZX
=
XZ
X
X
X
X
XZ
XZ
XZ
ZX
=
XZ
Z
Z
Z
Rys. 7.3. Pełna postać płaskiego stanu naprężenia.
Składowe płaskiego stanu naprężenia można zapisać w tablicy zawierającej dziewięć elementów nazywanej
tensorem naprężenia
=
[
X
0
XZ
0 0 0
ZX
0
Z
]
.
(7.1)
Pozostałe składowe, jeżeli są niezerowe opisują naprężenia normalne i styczne działające na płaszczyźnie o
normalnej równoległej do osi Y. Pełna tablica stanowi
przestrzenny stan naprężenia
. Stan ten zostanie
omówiony w wykładzie numer 8.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
7. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA
3
7.2 Naprężenia przy obrocie układu współrzędnych
W rozdziale tym zostaną wyprowadzone wzory wyrażające naprężenia powstałe w elementarnej kostce
podczas obrotu układu współrzędnych wokół osi Y o kąt a. Dodatni kąt obrotu a pokazano na rysunku 7.4a.
Jak widać dodatni kąt obrotu kręci osią Z w kierunku osi X. Ujemny kąt pokazano na rysunku 7.4b.
X '
a)
b)
X
X
0
0
X '
Z '
Z '
Z
Z
Rys. 7.4. Kąt obrotu układu współrzędnych.
Na rysunku 7.5 przedstawiono płaski stan naprężenia w układzie współrzędnych ZX oraz w układzie
współrzędnych Z'X'. Rysunek ten przedstawia naprężenia dodatnie.
Z
Y
ZX
=
XZ
X
Y
X
X
X
XZ
XZ
ZX
=
XZ
Z
Z
Z
Rys. 7.5. Płaski stan naprężenia w układzie ZX oraz w układzie obróconym Z'X'.
Aby wyprowadzić związki pomiędzy naprężeniami w układzie XZ i X'Z' rozpatrzmy równowagę
graniastosłupa o podstawie trójkąta prostokątnego ABC i wysokości dy. Graniastosłup przedstawia rysunek
7.6. Na rysunku 7.7 przedstawiono sposób rzutowania wypadkowych (będących iloczynem naprężenia i pola
powierzchni na jakim działa naprężenie) z poszczególnych naprężeń na kierunki Z' oraz X'. Suma rzutów
wszystkich sił działających na graniastosłup na kierunek Z' wynosi
Z '
=
0
−
X
⋅
dz
⋅
dy
⋅
sin
−
XZ
⋅
dz
⋅
dy
⋅
cos
−
Z
⋅
dx
⋅
dy
⋅
cos
−
ZX
⋅
dx
⋅
dy
⋅
sin
Z '
⋅
ds
⋅
dy
=
0
.
(7.2)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
7. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA
4
dx
Z
Y=A
ZX
B
X
X
XZ
C
Z
Rys. 7.6. Rzut elementarnego graniastosłupa naprężeń.
X
⋅
dy
⋅
dz
ZX
⋅
dy
⋅
dx
XZ
⋅
dy
⋅
dz
Z
⋅
dy
⋅
dx
Rys. 7.7. Sposób rzutowania składowych naprężeń na kierunki Z' oraz X'.
Suma rzutów wszystkich sił działających na graniastosłup na kierunek X' wynosi
X '
=
0
−
X
⋅
dz
⋅
dy
⋅
cos
XZ
⋅
dz
⋅
dy
⋅
sin
Z
⋅
dx
⋅
dy
⋅
sin
−
ZX
⋅
dx
⋅
dy
⋅
cos
Z ' X '
⋅
ds
⋅
dy
=
0
.
(7.3)
Równanie (7.2) i (7.3) po zredukowaniu dy będą miały postać
Z '
=
0
−
X
⋅
dz
⋅
sin
−
XZ
⋅
dz
⋅
cos
−
Z
⋅
dx
⋅
cos
−
ZX
⋅
dx
⋅
sin
Z '
⋅
ds
=
0
,
(7.4)
X '
=
0
−
X
⋅
dz
⋅
cos
XZ
⋅
dz
⋅
sin
Z
⋅
dx
⋅
sin
−
ZX
⋅
dx
⋅
cos
Z ' X '
⋅
ds
=
0
.
(7.5)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
7. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA
5
Zależności pomiędzy dz i dx a ds są następujące
dz
=
ds
⋅
sin
,
(7.6)
dx
=
ds
⋅
cos
.
(7.7)
Podstawiając (7.6) i (7.7) do (7.4) i (7.5) otrzymano
Z '
=
0
−
X
⋅
ds
⋅
sin
⋅
sin
−
XZ
⋅
ds
⋅
sin
⋅
cos
−
Z
⋅
ds
⋅
cos
⋅
cos
−
ZX
⋅
ds
⋅
cos
⋅
sin
Z '
⋅
ds
=
0
,
(7.8)
X '
=
0
−
X
⋅
ds
⋅
sin
⋅
cos
XZ
⋅
ds
⋅
sin
⋅
sin
Z
⋅
ds
⋅
cos
⋅
sin
−
ZX
⋅
ds
⋅
cos
⋅
cos
Z ' X '
⋅
ds
=
0
.
(7.9)
Po zredukowaniu ds, przyrównaniu naprężeń stycznych t
ZX
i t
XZ
otrzymano wyrażenia na obliczenie naprężeń
s
Z'
oraz t
Z'X'
w postaci
Z '
=
X
⋅
sin
2
2
⋅
XZ
⋅
sin
⋅
cos
Z
⋅
cos
2
,
(7.10)
Z ' X '
=
X ' Z '
=
X
⋅
sin
⋅
cos
−
XZ
⋅
sin
2
−
Z
⋅
cos
⋅
sin
XZ
⋅
cos
2
.
(7.11)
Wykorzystując znane z trygonometrii wzory
2sin
⋅
cos
=
sin
2
⋅
,
(7.12)
sin
2
=
1
−
cos
2
⋅
2
,
(7.13)
cos
2
=
1
cos
2
⋅
2
,
(7.14)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
[ Pobierz całość w formacie PDF ]