wyklad 6, Szkoła, Matematyka, Matematyka studia, Algebra
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Wykład 6
Homomorfizm, izomorfizm grup
ƞ
Definicja.
Homomorfizmem grupy
(
G
, •) w grup
ħ
(
H
, °) nazywa si
ħ
takie
odwzorowanie j: G ®H, które dla dowolnych
a
,
b
Î G spełnia warunek:
j(
a
•
b
) = j(
a
) ° j(
b
)
Homomorfizm j grupy (
G
, •) w grup
ħ
(
H
, °) nazywamy
monomorfizmem
,
gdy odwzorowanie
j: G ®H jest injekcj
Ģ
, tzn. z równo
Ļ
ci j(
a
1
) = j(
a
2
) wynika
a
1
=
a
2
.
Homomorfizm j nazywamy
epimorfizmem
, gdy odwzorowanie j: G ®H jest
surjkcj
Ģ
, tzn. z dla ka
Ň
dego elementu
y
Î H istnieje element
x
Î G dla którego
j(
x
) =
y
.
ƚ
Twierdzenie 6.1.
Je
Ļ
li j jest homomorfizmem grupy (
G
, •) w grup
ħ
(
H
, °) z elementem
neutralnymi
e
1
i
e
2
odpowiednio, to dla "
a
Î G.
j(
e
1
)=
e
2
j(
a
-1
)
= j(
a
)
-1
Dowód.
j(
a
) = j(
a
•
e
1
) = j(
a
) ° j(
e
1
)
oraz
j(
a
) =j(
e
1
•
a
) = =j(
e
1
) ° j(
a
),
a wi
ħ
c j(
e
1
)=
e
2
.
Dla "
a
Î G
e
2
=j(
e
1
) = j(
a
•
a
-1
) = j(
a
) ° j(
a
-1
)
oraz
e
2
= j(
e
1
) = j(
a
-1
•
a
) = j(
a
-1
) ° j(
a
),
a wi
ħ
c j(
a
-1
)
= j(
a
)
-1
.
Ƥ
ƞ
Definicja.
Je
Ň
eli j:
G
®
H
jest homomorfizmem grup i
e
2
jest elementem neutralnym
grupy
H
, to zbiór
Ker j = { a Î G | j(a) = e
2
}
nazywamy
j
Ģ
drem homomorfizmu
j.
i
2
Twierdzenie 6.2.
J
Ģ
dro homomorfizmu j:
G
®
H
jest podgrup
Ģ
grupy
G
.
Dowód.
Niech
a
1
,
a
2
Î Ker j, wtedy j(
a
1
) = j(
a
2
) =
e
2
. Poniewa
Ň
j jest
homomorfizmem, to j(
a
1
•
a
2
) = j(
a
1
)
A
j(
a
2
) =
e
2
A
e
2
=
e
2
, sk
Ģ
d
a
1
•
a
2
Î Ker j.
Je
Ļ
li
a
Î Ker j, to zgodnie z twierdzeniem 1.13 j(
a
-1
) = j(
a
-1
)
= j(
a
)
-1
=
−
1
ƞ
Definicja.
Je
Ň
eli j:
G
®
H
jest homomorfizmem grup, to zbiór
Im j = { h Î H | $a Î G, h =j(a) }
nazywamy
obrazem homomorfizmu
j.
Twierdzenie 6.3.
Obraz homomorfizmu j:
G
®
H
jest podgrup
Ģ
grupy
H
.
Dowód.
Niech
b
1
,
b
2
Î Im j, wtedy $
a
1
,
a
2
Î
G
,
Ň
e
b
1
= j(
a
1
),
b
1
= j(
a
1
). Zatem
b
1
A
b
2
= j(
a
1
)
A
j(
a
2
) = j(
a
1
•
a
2
) Î Im j. Je
Ļ
li
b
Î Im j, to $
a
Î
G
,
Ň
e
b
=
j(
a
), wtedy zgodnie z twierdzeniem 6.1
b
-1
= j(
a
)
-1
= j(
a
-1
) Î Im j. Poniewa
Ň
e
2
= j(
e
1
) Î Im j, to na mocy definicji Im j jest podgrupa grupy
H
.
Twierdzenie 6.4.
Homomorfizm j:
G
®
H
jest monomorfizmem Û gdy
Ker j = e, gdzie e jest elementom neutralnym grupy G.
Homomorfizm j:
G
®
H
jest epimorfizmem Û gdy
Im j = H.
Dowód.
1.
Załó
Ň
my,
Ň
e Ker j =
e
1
. Je
Ň
eli dla pewnych
a
1
,
a
2
Î
G
mamy j(
a
1
) = j(
a
2
),
to j(
a
1
•
a
) = j(
a
1
)
A
[j(
a
2
)]
-1
= j(
a
2
)
A
[j(
a
2
)]
-1
=
e
2
, sk
Ģ
d otrzymujemy,
Ň
e
1
a
Î Ker j =
e
1
, czyli
a
1
=
a
2
. Wobec tego j jest monomorfizmem. Na
odwrót, niech j jest monomorfizmem i niech
a
Î Ker j. Wtedy j(
a
) =
e
2
.
Poniewa
Ň
e
2
= j(
e
1
), to j(
a
) = j(
e
1
), czyli
a
=
e
1
. St
Ģ
d mamy Ker j =
e
1
.
−
1
e
=
e
2
, sk
Ģ
d
a
-1
Î Ker j. Poniewa
Ň
z twierdzenia 6.1 mamy
e
1
Î Ker j, to na mocy
definicji Ker j jest podgrupa grupy
G
.
−
2
a
1
•
2
3
2. Własno
Ļę
ta wynika natychmiast z definicji obrazu Im j.
Ƥ
Twierdzenie 6.5.
Je
Ļ
li H
0
G, tz. H jest podgrup
Ģ
normaln
Ģ
grupy G z działaniem •, to
przekształcenie
j:
G
®
G/H
okre
Ļ
lone dla "
a
Î G wzorem
j(a) = a• H
jest homomorfizmem grupy (G, •) w grup
ħ
(G/H, °) oraz
Ker j = H i Imj = G/H.
Dowód.
1)
j( a•b) = (a•b) •H = (a• H) ° (b• H) = j( a) ° j(b)
2)
x Î Ker j
¼
j(x) =e
2
– element neutralny grupy G/H. Poniewa
Ň
e
2
= H , to
j(x) = j(e
1
)
¼
x• H = H
¼
x ÎH
¼
Ker j Í H
Odwrotnie, je
Ļ
li x Î H, to j(x) = x• H = H = e
2
¼
H Í Ker j.
Zatem H = Ker j.
ƞ
Definicja.
Homomorfizm j grupy
(G, •) w grup
ħ
(H, °) nazywa si
ħ
izomorfizmem
,
gdy jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru G na zbiór H.
Je
Ň
eli istnieje izomorfizm j:
G
®
H
, to grupy
G
i
H
nazywamy
izomorficznymi
i oznaczamy
G
@
H
.
Twierdzenie 6.6.
Homomorfizm j grupy
(G, •) w grup
ħ
(H, °)
jest izomorfizmem Û gdy Ker j = e
1
, Imj = H.
Dowód.
Wynika natychmiast z twierdzenia 6.4.
Twierdzenie 6.7.
Wszystkie sko
ı
czone cykliczne grupy rz
Ģ
du m s
Ģ
izomorficzne miedzy sob
Ģ
oraz izomorficzne addytywnej grupie
Z
m
.
Dowód.
G =
¿
g
Ï
, |G|=m, G = {e, g, g
2
, …, g
m-1
}
4
j: G ®
Z
m
j(g
k
) = [k]
Twierdzenie 6.8.
Wszystkie niesko
ı
czone cykliczne grupy s
Ģ
izomorficzne miedzy sob
Ģ
oraz
izomorficzne addytywnej grupie
Z
.
Dowód.
G =
¿
g
Ï
, |G|=m, G = { …,g
-2
, g
-1
, e, g, g
2
, …, g
m
,…}
j: G ®
Z
j(g
k
) =k
Iloczyn prosty
Definicja
Niech (G, •) oraz (H, °) s
Ģ
grupami.
Iloczyn kartezja
ı
ski (G×H, ×) z operacj
Ģ
(g
1
, h
1
) × (g
2
, h
2
) = (g
1
• g
2
, h
1
° h
2
)
nazywamy
iloczynem prostym
grup (G, •) i (H, °) i zapisujemy G×H.
Twierdzenie 6.9.
Iloczyn prosty grup (G, •) i (H, °) z operacj
Ģ
jest grup
Ģ
ze wzgl
ħ
du na operacje
(g
1
, h
1
) × (g
2
, h
2
) = (g
1
• g
2
, h
1
° h
2
)
Twierdzenie 6.10.
Je
Ļ
li n =
k
1
p
k
21
...
p
k
m
1
, gdzie p
1
, p
2
, …,p
m
s
Ģ
ró
Ň
nymi liczbami pierwszymi, to
1
2
C
n
@
C
p
k
1
×
C
p
k
2
×
...
×
C
p
km
m
1
2
Twierdzenie 6.10.
Ka
Ň
da sko
ı
czona grupa abelowa jest isomorficzna z iloczynem prostym grup
cyklicznych.
p
m
[ Pobierz całość w formacie PDF ]