wykład 4 Estymacja, Studia - Politechnika Śląska, Zarządzanie, II STOPIEŃ, Statystyka matematyczna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->2013-12-03Wykład IV. Estymacja parametrówZałóżmy, że rozkład zmiennej losowej X w populacji generalnej jestopisany dystrybuantą F(x;α), gdzie α jest nieznanym parametremF(x;αtego rozkładu; jego wartość będzie szacowana na podstawienelementowej próby( X , X ,...X )12nEstymatorem A(n)parametru αrozkładu zmiennej losowej X jeststatystykaA( n )=a (X1, X2,..., Xn), której rozkład zależy od tegoparametru.Oceną a(n)parametru αjest wartość liczbowaa( n )=a ( x1, x2,..., xn),jaką przyjmuje estymator A(n)dla konkretnej realizacji próby( x1, x2,..., xn).1Estymator jestzgodny,jeśli jest stochastycznie zbieżnydo szacowanego parametru; tzn. spełnia warunekε >0 n→∞∀lim P(| A( n )− α|< ε)=1Estymator jestnieobciążony,jeśli jego wartośćoczekiwana jest równa szacowanemu parametrowi , tzn.E(A(n)) =αEstymator jestnajefektywniejszyw danej klasieestymatorów, jeśli ma najmniejszą wariancję spośródestymatorów danej klasy.12013-12-03Różnica A(n)-α jest zmienną losową zwanąbłędem szacunkuparametru α,jego miarą jest∆ =E(A( n )− α)2Jeśli estymator A(n)jest nieobciążony, to błąd szacunku jestwariancją tego estymatora; wtedy odchylenie standardoweD(A(n)) zwane jestśrednim (standardowym) błędemszacunkuparametru α, awzględnym średnim błędemszacunkujestD( A( n ))αEstymacja:•Punktowa (ocena, błędy szacunku)•Przedziałowa (przedział ufności)Estymacja przedziałowaDEF:Niech cecha X ma w populacji rozkład z nieznanymparametremQ.Załóżmy, że na podstawie próby losowejpochodzącej z tej populacji wyznaczono funkcje:T (X1, X2,..., Xn)iT(X1, X2,..., Xn)takie, że:1. dla każdego( x1, x2,..., xn)zachodziT<Toraz2. dla z góry ustalonego prawdopodobieństwa 1 -αP(T(X1,X2,...,Xn)<Q<T(X1,X2,...,Xn))=1−αmamyLosowy przedział( T ; T )nazywa sięprzedziałem ufnościparametru Q,a ustalone z góry prawdopodobieństwo, z jakim tenprzedział pokrywa nieznaną wartość parametruQ,(1-α)(1-współczynnikiem (poziomem) ufności.22013-12-03Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnejze znanym odchyleniem standardowymNiech cecha X ma w populacji rozkładN(m,σ);m– nieznane,σ- znane.Niech (1 -α)–współczynnik ufności, 0 <α< 1( X1, X2,..., Xn)- próba losowa.Estymatorem parametru m uzyskanym MNW jest1nśrednia arytmetycznaX=∑Xi, która ma rozkładN(m,σ)ni=1nStandaryzując zmiennąXotrzymuje się zmiennąX−mU=no rozkładzie N(0,1).σNiechuαbędzie taką wartością, żeP(−uα<U<uα)=1− αPo podstawieniu za U mamyStądσσ<m<X+uα)=1− αnnNa postawie definicji losowy przedziałP(X−uα(X−uαX−mP(−uα<n<uα)=1− ασjest przedziałem ufności dla średniejm,przywspółczynniku ufności 1 -α.σσ; X+uα)nn32013-12-03Dysponując konkretną próbą( x1, x2,..., xn)otrzyma się,konkretny przedział liczbowy:(x−uασσ; x+uα)nnUwaga: Przedziałufności określony powyższym wzoremσma stałą długość równą2⋅uα, a losowe są tylko jegongranice.Maksymalny błąd szacunku jest równy połowie długościprzedziału ufności:σdx=uα⋅n(im mniejszy błąd szacunku (węższy przedział), tymwiększa dokładność oszacowania)Przykład 14.Waga jabłek przeznaczonych na export ma rozkładnormalny z odchyleniem standardowymrównym 30 g.Zbadano 50 jabłek otrzymującśredniąwagęrówną 250 g.Wyznacz długość przedziału ufności pokrywającegonieznanąśredniąorazwyznacz dokładność oszacowania,przy współczynniku ufności1 –α= 0,95.42013-12-03Przykład 14 - rozwiązanieN(m, 30)(m– nieznane,σ- znane)σ= 30 g -odchylenie standardowe w populacjin = 50 -liczebność próbyX= 250 g –średniawyliczona z próby1–α= 0,95 –poziom ufności (czyliα= 0,05)3030Przedział ufności:(250−uα; 250+uα)505030Długość przedziału ufności:2uα50uαodczytujemy z tablic rozkładu normalnego dlaα:uΦ(uα)=1−2=1−0,025=0,9750 , 975=?Przykład 14 - rozwiązanieu0,975= 1,965
[ Pobierz całość w formacie PDF ]