wyklad 3, Szkoła, Matematyka, Matematyka studia, Algebra
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Wykład 3
Grupy
ƞ
Definicja
Grup
Ģ
nazywamy zbiór G z działaniem •, gdy s
Ģ
spełnione nast
ħ
puj
Ģ
ce
warunki:
1) działanie • jest ł
Ģ
czne;
2) istnieje
element neutralny
e działania • taki,
Ň
e e•a=a•e dla "a ÎG;
3) ka
Ň
dy element a ÎG jest
odwracalny
w G, tzn. istnieje element bÎG taki,
Ň
e
a•b=b•a=e.
ƞ
Definicja.
Grupa
G
=(X, •) nazywa si
ħ
przemienn
Ģ
lub
Abelow
Ģ
, je
Ļ
li działanie • jest
przemienne.
Przykłady.
1.
Z
- zbiór liczb całkowitych z działaniem dodawania +
2.
Q
- zbiór liczb wymiernych z działaniem dodawania +
3.
R
- zbiór liczb rzeczywistych z działaniem dodawania +
4.
R
\{0} - zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mno
Ň
enia.
5.
Z
m
= { [0], [1], …, [m-1]} - zbiór ilorazowy klas kongruencji modulo m z
działaniem dodawania:
[a] + [b] = [a+b]
1) ([a]+[b]) + [c] = [a] + ([b]+[c])
2) [a]+[0]=[0]+[a]=[a]
3) [a]+[-a] = [-a]+[a]=[0]
6.
Z
p
= { [0], [1], …, [p-1]} (p – liczba pierwsza) -
zbiór ilorazowy klas kongruencji modulo p z działaniem mno
Ň
enia:
[a]×[b] = [ab]
1) ([a][b])[c]=[a]([b][c])
2) [a][1]=[1][a]=[a]
3) [a][x] =[1],
gdzie ax º 1 (mod p), tzn. ax = 1 + py.
Poniewa
Ň
NWD(a, p) =1, to ax - py=1 ma rozwi
Ģ
zanie.
2
Twierdzenie 3.1.
1. Element neutralny w dowolnej grupie jest wyznaczony jednoznacznie.
2. W grupie dowolny element
x
ma dokładnie jeden element odwrotny, który
b
ħ
dziemy oznaczali
x
-1
.
Dowód.
Wynika z twierdze
ı
2.1 oraz 2.2.
ƚ
Twierdzenie 3.2.
Dla dowolnej grupy
G
= {X, •} i dowolnych elementów
a
,
x
,
y
Î
G
zachodzi
prawo
jednostronnego skracania
:
je
Ļ
li
a
•
x
=
a
•
y
, to
x
=
y
;
je
Ļ
li
x
•
a
=
y
•
a
, to
x
=
y
.
Dowód.
a
-1
- element odwrotny do
a
Î
G
a
•
x
=
a
•
y
.
a
-1
• (
a
•
x
)=
a
-1
• (
a
•
y
)
¼
(
a
-1
•
a
)•
x
=(
a
-1
•
a
) •
y
¼
e
•
x
=
e
•
y
¼
x
=
y.
ƚ
Twierdzenie 3.3.
Dla dowolnej grupy
G
= {X, •} i dowolnych elementów
a
,
b
Î X zachodzi:
(
a
•
b
)
-1
=
b
-1
•
a
-1
. (1.1)
Dowód.
e
- element neutralny grupy
G
.
(
b
-1
•
a
-1
) • (
a
•
b
) =
b
-1
• (
a
-1
•
a
) •
b
=
b
-1
•
e
•
b
=
b
-1
•
b
=
e
.
Z drugiej strony mamy analogicznie:
(
a
•
b
) • (
b
-1
•
a
-1
) =
a
• (
b
•
b
-1
) •
a
-1
=
a
•
e
•
a
-1
=
a
•
a
-1
=
e
.
ƚ
Twierdzenie 3.4.
Dla dowolnej grupy
G
= {X, •} i dowolnych elementów
a
,
b
,
x
,
y
Î
G
równania
a
•
x
=
b
i
y
•
a
=
b
maj
Ģ
rozwi
Ģ
zania w
G
.
x
=
a
-1
•
b
i
y
=
b
•
a
-1
.
Rzeczywi
Ļ
cie,
a
• (
a
-1
•
b
) = (
a
•
a
-1
) •
b
=
e
•
b = b
,
(
b
•
a
-1
) •
a
=
b
•
(
a
-1
•
a
) =
b
•
e = b
Dowód.
3
Pot
ħ
ga grupy
Je
Ň
eli
a
Î
G
, to okre
Ļ
limy
pot
ħ
g
ħ
a
o wykładniku całkowitym
k
w sposób
nast
ħ
puj
Ģ
cy:
a
0
=
e;
a
n+1
=
a
n
•
a
a
-n
= (
a
n
)
-1
gdzie
n
Î
N
.
Twierdzenie 3.5.
a
n
•
a
m
=
a
n+m
,
(
a
n
)
m
=
a
nm
dla "
a
Î
G
i dla "
n
,
m
Î
Z
.
ƞ
Definicja.
Grupa
G
nazywa si
ħ
sko
ı
czon
Ģ
,
je
Ļ
li zawiera sko
ı
czon
Ģ
liczb
ħ
elementów. W
innym przypadku grupa nazywa si
ħ
niesko
ı
czon
Ģ
.
Rz
ħ
dem
grupy sko
ı
czonej
nazywamy liczb
ħ
elementów tej grupy. Rz
Ģ
d grupy niesko
ı
czonej jest równy
¥.
Wniosek
Ka
Ň
dy wiersz ( ka
Ň
da kolumna) tablicy Cayley’a grupy sko
ı
czonej nie zawiera
dwa jednakowe elementy grupy.
ƞ
Definicja.
Element
a
grupy
G
=(X, •) nazywa si
ħ
elementem sko
ı
czonego rz
ħ
du
, je
Ň
eli
istnieje naturalna liczba
n
, taka
Ň
e
a
n
=
e
. Najmniejsza liczba naturalna z takiej
własno
Ļ
ci
Ģ
nazywa si
ħ
rz
ħ
dem elementu
a
i oznaczamy przez
r
(
a
).
Je
Ļ
li grupa
G
ma
m
elementów, to
r
(
a
) £
m
.
Grupa cykliczna
ƞ
Definicja.
Grupa
G
=(X, •) nazywa si
ħ
cykliczn
Ģ
, je
Ļ
li istnieje taki element
a
Î
G
,
Ň
e
ka
Ň
dy element grupy
G
jest pot
ħ
g
Ģ
elementu
a
. Element
a
nazywa si
ħ
generatorem
grupy
G
.
ƛ
Przykłady
1. (
Z
, +) - niesko
ı
czona grupa cykliczna, generatorem której jest liczba 1.
4
2. Grupa
G
={
e
,
a
,
b
,
c
} z działaniem mno
Ň
enia zapisanego w postaci nast
ħ
puj
Ģ
cej
tabeli:
e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
jest grup
Ģ
cykliczn
Ģ
rz
ħ
du 4.
Grup
ħ
cykliczn
Ģ
rz
ħ
du
n
oznaczamy przez C
n
.
Je
Ļ
li
a
jest generatorem grupy C
n
, to
C
n
= {
e
,
a
,
a
2
, ..., a
n-
1
},
gdzie
a
n
=
e
.
Element
a
grupy C
n
jest generatorem tej grupy wtedy i tylko wtedy, gdy
a
n
=
e
.
Ka
Ň
da grupa cykliczna jest grup
Ģ
przemienn
Ģ
, poniewa
Ň
a
n
•
a
m
=
a
n+m
=
a
m+n
=
a
m
•
a
n
.
Grupa dihedralna
Definicja
Grupa wszystkich symetrii
n
-k
Ģ
ta foremnego nazywa si
ħ
grup
Ģ
dihedraln
Ģ
i
oznaczana jest symbolem
D
n
.
Grupa dihedralna
D
n
jest niecykliczna grup
Ģ
rz
ħ
du 2
n
.
Je
Ļ
li
g
jest obrotem n-k
Ģ
ta o k
Ģ
t 2
ʩ
/n
h
jest jest niewła
Ļ
ciwym obrotem wokół osi przechodz
Ģ
cej przez
Ļ
rodek i
wierzchołek 1,
to
D
n
= {
e
,
g
,
g
2
, …,
g
n-1
,
h
,
gh
, …,
g
n
-1
h
}
[ Pobierz całość w formacie PDF ]