wykład 3 RozkładyZmLos, Studia - Politechnika Śląska, Zarządzanie, II STOPIEŃ, Statystyka matematyczna

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->2013-11-27III: Rozkłady zmiennych losowychIII:A. X – zmienna losowa skokowa1.Rozkład zero – jedynkowyX przybiera dwie wartości:xipi1pqx1=1ix2=JeśliP(X=x1)=ptoP(X=x2)=1−p=q,gdyżP(X=x1)+P(X=x2)=1Rozkład zmiennej losowej jestrozkładem zero-jedynkowym,jeślizero-ta zmienna losowa przyjmuje wartość 1 z prawdopodobieństwemp, a wartość 0 z prawdopodobieństwemq=1-pq=1-Wtedy dystrybuantax≤q 0<x≤1F( x )=1x>1Wartość oczekiwana zmiennej losowej X wynosiE(X)=x1⋅p+x2⋅(1−p)=1⋅p+⋅(1−p)=pa wariancja:D2(X)=(x1−E(X))2⋅p+(x2−E(X))2⋅(1−p)==(1−p)2⋅p+(0−p)2⋅(1−p)==(1−p)⋅p⋅(1−p+p)==(1−p)⋅p=q⋅ p12013-11-27Przykład 6.•Rzucamy kością. Wyrzuceniu parzystej liczbyoczek przyporządkujemy 1, a nieparzystej 0.•Zatem:P(X = 1) = 0,5P(X = 0) = 0,5•Dystrybuanta:x≤0,5 0<x≤1F(x)=1x>1•Wartość oczekiwana i wariancja:E(X) = 0,5D2(X) = 0,5 ·0,5 = 0,252.Rozkład dwumianowyZmienna losowa ma rozkład dwumianowy, gdy opisujeeksperyment noszący nazwę prób Bernoulliego.Bernoulliego•Przeprowadza sięnniezależnych doświadczeń.•W każdym doświadczeniu prawdopodobieństwo sukcesuwynosip.•X– liczba sukcesów wndoświadczeniachUWAGA:Rozkład dwumianowy występuje, gdy losowanie zpopulacji ograniczonej jest zwrotne, a wynik losowania jestzmienną losową o rozkładzie 0-1.22013-11-27Zmienna losowa X ma rozkładdwumianowyB( n , p),jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa danajest wzorem:kP(X=k)=B(k,n,p)=Cnpkqn−kgdziek=0,1,…,n,nkCn= k p+q=1Wtedy dystrybuanta:Wartość oczekiwana:Wariancja:kF(x)=∑Cnpkqn−kk<xE(X)=npD2(X)=npqPrzykład 7.Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza.Wiadomo, że trafia on w 80% przypadków.Znajdź rozkład zmiennej losowejXprzyjmującej wartości celnych rzutów dokosza.32013-11-27Przykład 7 - rozwiązanie•Prawdopodobieństwa poszczególnej liczby sukcesów(trafionych rzutów) w 4 próbach:425644P4(k=4)= ⋅(0,8)⋅(0,2)= =46255 4 4 141 256P3(k=3)= ⋅ ⋅ =4⋅ ⋅ =3555 625    54 4 1964 1P2(k=2)= ⋅ ⋅ =6⋅ ⋅ =255 5625    51334 4 14116P(k=1)= ⋅ ⋅ =4⋅ ⋅ =11555625    5222243134 4 1 11P(k=)= ⋅ ⋅ = =5625    5 544Przykład 7 - rozwiązanie•Rozkład prawdopodobieństwa szukanej zmiennejlosowej:xipi12341/625 16/625 96/625 256/625 256/625•wartość oczekiwana:11696256256+1⋅+2⋅+3⋅+4⋅=62562562562562516 192 768 1024 1024 200016 192 768 2000=+=+++++==3,2= =3,2=4⋅0,8=n⋅p625 625 625 625 625625 625625 625E(X)=⋅42013-11-273. Rozkład PoissonaZmienna losowa X, która przyjmuje wartości 0,1,2,…..z prawdopodobieństwemk=0,1,…(gdziemjest rzeczywistą stałą dodatnią) nazywa sięzmienną losową o rozkładziePoissonakWtedy dystrybuantaF( x )=e−mm∑k!k<xWartość oczekiwanaWariancjaD2(X)=mE(X)=mmk−mP(X=k)=ek!UWAGA:Rozkład Poissona jest dobrym przybliżeniemrozkładu dwumianowego, gdy prawdopodobieństwosukcesupjest małe (p < 0,2), a liczba realizacjinjestduża (n > 100), tak żenp=mjest prawie stałe.Rozkład dobrze opisuje te doświadczenia, w którychobserwuje się dużą serię przypadków, przy małymprawdopodobieństwiesukcesuwpojedynczychobserwacjach5 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • telefongry.keep.pl







    • Formularz

    POst

    Post*

    **Add some explanations if needed