wyklad 3, analiza zespolona
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WykładIII
Wst¦pdoanalizyzespolonej
(rokakademicki2010/2011)
dr Andrzej Ganczar
WydziałMatematyki,FizykiiInformatykiUMCS
InstytutMatematyki
12 lutego 2012
drAndrzejGanczar
WMFiIUMCS
Analizazespolona2010/2011
WykładIII
Wykład III
Funkcje zespolone
drAndrzejGanczar
WMFiIUMCS
Analizazespolona2010/2011
WykładIII
Interesowa¢ nas b¦d¡ funkcje zmiennej zespolonej o warto±ciach
zespolonych. Załó»my wi¦c, »e f jest okre±lona na pewnym zbiorze
C:
Mo»emy traktowa¢ f ; jak odwzorowanie okre±lone wzorem
2
(x;y) 7! (u(x;y);v(x;y)); (x;y) 2 R
w którym u(x;y) =Ref (x + iy) oraz v(x;y) =Imf (x + iy):
drAndrzejGanczar
WMFiIUMCS
Analizazespolona2010/2011
WykładIII
Przykład 3.1
Gdy f (z) = z
2
wtedy u(x;y) = x
2
y
2
oraz v(x;y) = 2xy dla
(x;y) 2R
2
: Je±li wyznaczamy obraz odcinka = [1i;1 + i];
to w pierwszym kroku parametryzujemy go przyjmuj¡c
x(t) = t
y(t) = t; t 2 [1;1]
i mamy u(x(t);y(t)) = 0; v(x(t);y(t)) = 2t
2
: St¡d
f ([1i;1 + i]) = f(0;2t
2
) : jtj 1g = [0;2i]:
drAndrzejGanczar
WMFiIUMCS
Analizazespolona2010/2011
WykładIII
Przykład 3.2
Niech = fz 2 D(2) : jArg(z)j <
6
g: Kład¡c z = re
it
2
mo»emy przyj¡¢, »e r 2 (0;2) oraz jtj <
6
: Je±li chcemy wyznaczy¢
f () dla f z poprzedniego przykładu, to mo»na wyczerpa¢
promieniami
= fre
i
: r 2 (0;2)g = (0;2e
i
)
dla ustalonego dowolnie 2 (
6
;
6
): Poniewa»
f (
) = fr
2
e
2i
: r 2 (0;2)g = (0;4e
2i
);
wi¦c f () = fw 2 D(4) : jArg(w)j <
3
g:
drAndrzejGanczar
WMFiIUMCS
Analizazespolona2010/2011
[ Pobierz całość w formacie PDF ]